Parabolische Flugbahn

In der Himmelsmechanik und in der Weltraummechanik ist eine parabolische Bahn (oder parabolische Bahn ) eine Kepler-Bahn, deren Exzentrizität gleich 1 ist.

Das Objekt in der Umlaufbahn beschreibt dann auf der Umlaufbahnebene eine Parabel, deren Brennpunkt das massereichere Objekt ist.

Die Bewegung parabolische tritt auf, wenn das Projektil auf eine Anfangsgeschwindigkeit und an der Sohle unterworfen wird Beschleunigung der Schwerkraft . Ein gängiges Beispiel für eine parabolische Bewegung ist eine Granate, die aus einer Kanone abgefeuert wird .

Galileo in 1638 ist einer der ersten , um diese Theorie zu entwickeln (war es notwendig , von der Stimme zu enthalten Widerstand der Luft ). Torricelli wird weitermachen.

Beispiele

Wenn ein Gegenstand in die Luft geworfen wird, außer wenn er streng senkrecht nach oben geworfen wurde, ist seine Flugbahn eine Kurve, die mit einer Parabel verglichen werden kann. Das Abschießen einer Kanonenkugel oder einer Pétanque-Kugel beschreibt beispielsweise eine fast parabolische Flugbahn. Die Kometen ziehen in einer "parabolischen" Umlaufbahn in der Nähe der Sonne oder der Erde vorbei. Wenn ein Flugzeug eine parabelförmige Flugbahn macht, befinden sich die Passagiere an Bord in der Schwerelosigkeit .

Untersuchung der Flugbahn eines Projektils

Die Bewegung eines Objekts, das einem gleichmäßigen Gravitationsfeld ausgesetzt ist (ohne Reibung), ist eine parabolische ( ballistische ) Flugbahn .

Sei ein angenommener Punkt Körper der Masse m untersucht, in einem Rahmen (O, x, y, z) , sollte Galilean z nach oben die vertikal, wobei gerichtet. Dieser Körper befindet sich in einem Schwerefeld, die Erdbeschleunigung beträgt g . Der Körper wird vom Punkt ( x 0 , y 0 , z 0 ) mit einer Anfangsgeschwindigkeit gestartet : ${\ vec V} _ {0} = {\ begin {pmatrix} V_ {x} \\ 0 \\ V_ {z} \ end {pmatrix}}$

Es wird hier davon ausgegangen, dass es keine Geschwindigkeitskomponente entlang der Achse gibt , die gesamte Bewegung findet daher in einer Ebene parallel zur Ebene ( xOz ) statt. Hinweis t die Zeit. $\ vec y$

Lösen der Gleichung

Die einzige Kraft, der der Körper ausgesetzt ist, ist die Schwerkraft (wir können das Problem verfeinern, indem wir beispielsweise die Reibung durch die Luft hinzufügen). Die einzige auf den Körper ausgeübte Beschleunigung ist daher die Erdbeschleunigung.

${\ vec a} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - g \ end {pmatrix}}$

Um die Geschwindigkeit abzuleiten, genügt es , die Beschleunigung zu integrieren :

${\ vec V} = {\ begin {pmatrix} C1 \\ C2 \\ - g \, t + C3 \ end {pmatrix}}$

C1, C2 und C3 sind Integrationskonstanten ,von den Anfangsbedingungen gegeben. Tatsächlich bei t = 0 ,oder, ${\vecV} = {\vecV} _{0}$ ${\ begin {pmatrix} C1 \\ C2 \\ - g \ mal 0 + C3 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} V_ {x} \\ 0 \\ V_ {z} \ end {pmatrix} }$

daher C1 = Vx , C2 = 0 und C3 = Vz .

Also haben wir :

${\ vec V} (t) = {\ begin {pmatrix} V_ {x} \\ 0 \\ - g \, t + V_ {z} \ end {pmatrix}}$

Um die Bahngleichung zu erhalten , muss die Geschwindigkeit integriert werden:

$\ overrightarrow {OM} (t) = {\ begin {pmatrix} V_ {x} \, t + C4 \\ C5 \\ - {1 \ über 2} \, g \, t ^ {2} + V_ {z } \, t + C6 \ end {pmatrix}}$

C4, C5 und C6 sind (wieder) Integrationskonstanten, die unter Verwendung der Anfangsbedingungen bestimmt werden.

Bei t = 0 , $\ overrightarrow {OM} (0) = \ overrightarrow {OM_ {0}}$

Also woher? ${\ begin {pmatrix} V_ {x} \ mal 0 + C4 \\ C5 \\ - {1 \ über 2} \, g \ mal 0 ^ {2} + V_ {z} \ mal 0 + C6 \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x_ {0} \\ y_ {0} \\ z_ {0} \ end {pmatrix}}.$
$\ overrightarrow {OM} (t) = {\ begin {pmatrix} V_ {x} \, t + x_ {0} \\ y_ {0} \\ - {1 \ über 2} \, g \, t ^ { 2} + V_ {z} \, t + z_ {0} \ end {pmatrix}}$

Gleichung der Flugbahn

Wir können die Gleichung in der Form z = f (x) geben, indem wir t in der Gleichung von z durch den Ausdruck ersetzen , den wir daraus in der Gleichung von x erhalten , also ${x-x_ {0} \ über V_ {x}}$

Wir erhalten daher: $z (x) = - {1 \ über 2} \, g \, \ links ({x-x_ {0} \ über V_ {x}} \ rechts) ^ {2} + V_ {z} \, {x -x_ {0} \ über V_ {x}} + z_ {0}$

$z (x) = - {1 \ über 2} \, {g \ über V_ {x} ^ {2}} \, x ^ {2} + \ links ({V_ {z} \ über V_ {x}} + {g \ über V_ {x} ^ {2}} x_ {0} \ rechts) \, x- {1 \ über 2} \, {g \ über V_ {x} ^ {2}} \, x_ { 0} ^ {2} - {V_ {z} \ über V_ {x}} \, x_ {0} + z_ {0}$

Die Gleichung dieses Satzes weist deutlich auf das Gleichnis hin, das diesem Satz seinen Namen gibt. Diese Gleichung ermöglicht es auch, einige nützliche Informationen zu entfernen, wie z. B. die Stellen, an denen das Projektil auf dem Boden auftrifft (lösen Sie die Gleichung z (x) = 0 ).

Die Gleichung vereinfacht sich daher erheblich, wenn wir den Achsenursprung am Startpunkt wählen:

$z (x) = - {1 \ über 2} \, {g \ über V_ {x} ^ {2}} \, x ^ {2} + {\ frac {V_ {z}} {V_ {x}} } \, x$

Oft wird die Notation der Artilleristen verwendet: man nennt den Steigwinkel des Geschützes, den Winkel, den die Flugbahn am Anfang mit der Horizontalen bildet. Die Geschwindigkeit beim Start wird notiert , dann und . Die Gleichung wird dann geschrieben: $\ phi$ $V_ {0}$ ${\ displaystyle V_ {x} = V_ {0}. \ cos (\ phi)}$ ${\ displaystyle V_ {z} = V_ {0}. \ sin (\ phi)}$

{\ displaystyle z (x) = - {\ frac {1} {2}} {\ frac {g} {V_ {o} ^ {2}}} x ^ {2} [1+ \ tan ^ {2} (\phi)] + x.\tan (\phi)}

Wenn der Schütze ein Ziel erreichen möchte, das sich bei M (xo, zo) befindet, muss er die Höhe des Geschützes anpassen, dh wählen ; wie es auf dieser quadratischen Gleichung in erscheint , gibt es zwei Lösungen, eine Doppellösung oder keine Lösung (siehe Sicherheitsparabel ). ${\ displaystyle \ tan (\ phi)}$ ${\ displaystyle \ tan (\ phi)}$

Mathematischer Ansatz

Ein weiterer Ansatz, direkter, kann von der Suche direkt die gemacht wird Polynom des zweiten Grades , die Höhe des Geschosses zu geben nach seiner Entfernung aus dem Boden des Startpunktes.

Im gleichen Rahmen wie zuvor wird das Projektil von einem Punkt mit einer Anfangsgeschwindigkeit abgeschossen und bildet einen Winkel mit der horizontalen Achse. ${\ displaystyle P (x_ {P}; y_ {P})}$ $v_0$ $\Alpha$

Ohne Berücksichtigung der Schwerkraft ist daher die Höhe als Funktion des Abstands zum Boden , wobei die seit dem Abschuss des Projektils verstrichene Zeit bezeichnet wird. Dieser erste Ausdruck ist in der Tat die einfache trigonometrische Projektion der zurückgelegten Entfernungslinie auf der y-Achse, die die Höhe repräsentiert. Es ist also die Gleichung der Linie, die mit der x-Achse einen Winkel bildet, und der Term entspricht der auf dieser Linie zurückgelegten Strecke. Durch Addition der Schwerkraftwirkung , nämlich des Höhenunterschieds, der durch den Fall des Geschosses entsteht, erhalten wir: $G$ ${\ displaystyle y = y_ {P} + v_ {0} t \ sin (\ alpha)}$ $t$ $D_ {1}$ $\Alpha$ ${\ displaystyle v_ {0} t}$ $d$

${\ displaystyle h (t) = y_ {P} + v_ {0} t \ sin (\ alpha) - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$ das ist die Gleichung, die die Höhe als Funktion der Zeit angibt. An dieser Stelle genügt es dann, den Abstand zu eliminieren und einzuführen . Dazu verwenden wir diese Beziehung in der Ebene: $t$ $x$

${\ displaystyle v_ {0} t \ cos (\ alpha) = x}$ und deshalb . Wir ersetzen diesen Ausdruck für in der Gleichung: ${\ displaystyle t = {\ frac {x} {v_ {0} \ cos (\ alpha)}}}$ $t$

${\ displaystyle h (x) = y_ {P} + v_ {0} \ left ({\ frac {x} {v_ {0} \ cos (\ alpha)}} \ right) \ sin (\ alpha) - { \ frac {1} {2}} g \ left ({\ frac {x} {v_ {0} \ cos (\ alpha)}} \ right) ^ {2}}$ , dann erhalten wir vereinfachend:

${\ displaystyle h (x) = y_ {p} + x \ tan (\ alpha) - {\ frac {g} {2v_ {0} ^ {2} \ cos ^ {2} (\ alpha)}} x ^ {2}}$ welches die entwickelte Form des Polynoms zweiten Grades ist, wobei , und . Um beispielsweise herauszufinden, welche maximale Höhe erreicht wird und in welchem Wert von , müssen wir nur die quadratische Funktion mit den Parametern studieren, um und zu finden . Ebenso genügt es, die Entfernung zu kennen, in der das Projektil auf den Boden fällt, zu lösen . Die Lösung wird der einzige kohärente Wert für alles sein (man stellt sich an den Ursprung der Referenzmarke, um das Projektil abzufeuern, um die Fälle von Nichtlösungen in . ${\ displaystyle a = - {\ frac {g} {2v_ {0} ^ {2} \ cos ^ {2} (\ alpha)}}}$ ${\ displaystyle b = \ tan (\ alpha)}$ ${\ Displaystil c = y_ {P}}$ $x$ $\Alpha$ $\Beta$ $h(x) = 0$ $x$ ${\ Displaystil x_ {P} = 0, y_ {P} = 0}$ $\ mathbb{R}$

Grafik

Hier ist der Winkel, den der Anfangsgeschwindigkeitsvektor mit der Horizontalen bildet: $\ phi$
$\ phi = \ arctan \ left ({\ frac {V_ {y}} {V_ {x}}} \ right)$

Hinweise und Referenzen

Der Begriff Parabelbahn ist unglücklich, denn eine Bahn wird als geschlossene Kurve definiert, was bei der Parabel nicht der Fall ist .

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Ballistik
Freier Fall (physisch)
g , Erdbeschleunigung
Schwerelosigkeit
Gleichnis der Sicherheit
Umfang
Parabelflug eines Airbus A300 ZERO-G , dieser führt 15 aufeinanderfolgende Parabeln in „Ressource“ mit konstantem Übergewicht von 1,8 g aus , dann in Schwerelosigkeit bei 0 g , während eine konstante horizontale Geschwindigkeit beibehalten wird, wodurch eine Parabel analog zu beschrieben wird die Kurve der Trajektorie als Funktion der Zeit
Beschleunigung
Achterbahn , insbesondere die " Top Hat " - Noppen , parabolisch profiliert für Gefühle von Schwerelosigkeit und Schwerelosigkeit

Externe Links