In der Mathematik , insbesondere in Topologie , die anfängliche Topologie auf einem Satz mit einer Familie von Anwendungen mit den Werten in den topologischen Räumen ist die Topologie weniger fein , für die diese Anwendungen laufende . Zwei wichtige Sonderfälle von Anfangstopologien sind die induzierte Topologie und die Produkttopologie . Der doppelte Begriff ist der der endgültigen Topologie .
Sei X eine Menge und ( f i ) i ∈ I eine Familie von Karten, die jeweils auf X definiert sind und Werte in einem topologischen Raum Y i haben . Die anfängliche Topologie, die diesen Daten zugeordnet ist, ist die am wenigsten feine Topologie auf X, für die alle f i stetig sind.
Mit anderen Worten, es ist die Topologie, die durch die Menge aller Teile von X der Form f i −1 ( U ) erzeugt wird , wobei i zu I gehört und U eine Öffnung des entsprechenden Raums Y i ist .
Diese anfängliche Topologie auf X ist durch die folgende universelle Eigenschaft gekennzeichnet : Für jeden topologischen Raum Z ist eine Karte g : Z → X stetig ( X ist mit der anfänglichen Topologie ausgestattet), wenn - und natürlich nur - alle Karten f i ∘ g : Z → Y i sind.
Dies ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Anfangstopologie durch eine Vorbasis und aus dem zugehörigen Kontinuitätskriterium .
Die anfängliche Topologie auf X ist die am wenigsten feine, für die die kanonische Karte f von X im Produkt von Y i stetig ist. Diese Karte f ist dann eine Einbettung , wenn (und nur wenn) es ist injektive , mit anderen Worten , wenn die Familie von f i wird Trennen (in) , das heißt , wenn für alle verschiedenen Punkten x und y in X gibt einen Index existiert i solchen dass f i ( x ) ≠ f i ( y ).
Damit eine gegebene Topologie auf X mit der anfänglichen Topologie übereinstimmt, die mit f i assoziiert ist , ist eine ausreichende Bedingung, dass die f i −1 ( U ) für i ∈ I und U, die von Y i offen sind , nicht nur eine Vorbasis bilden, sondern a Basis . Wir beweisen, dass diese Bedingung der Tatsache entspricht, dass die Familie von f i die Punkte der geschlossenen trennt , das heißt, dass für jedes geschlossene F von X und jeden Punkt x von X, der nicht zu F gehört , ein Index existiert i , so dass f i ( x ) nicht haften zu f i ( F ) .
Wenn außerdem X ein Raum T 0 ist , trennt das f i auch die Punkte, so dass X in das Produkt des Y i eingetaucht ist .