Anfangsobjekt und Endobjekt

In der Mathematik und insbesondere in der Kategorietheorie sind ein Anfangsobjekt und ein Endobjekt Objekte, die es ermöglichen, eine universelle Eigenschaft zu definieren .

Definition

Geben wir uns eine Kategorie . Ein Objekt von wird als initial bezeichnet, wenn für ein Objekt von nur ein Pfeil von in Richtung existiert . Ebenso wird ein Objekt als endgültig (oder endständig ) bezeichnet, wenn für ein Objekt nur ein Wurmpfeil vorhanden ist . Insbesondere ist der einzige Pfeil von einem anfänglichen (oder endgültigen) Objekt zu sich selbst die Identität. Ein Nullobjekt ist sowohl ein Anfangs- als auch ein Endobjekt. VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}ich{\ displaystyle I}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}E.{\ displaystyle E}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}ich{\ displaystyle I}E.{\ displaystyle E}F.{\ displaystyle F}E.{\ displaystyle E}E.{\ displaystyle E}F.{\ displaystyle F}

Das Interesse dieser Definition ist die folgende Eigenschaft:

Zwei anfängliche (bzw. endgültige ) Objekte in einer Kategorie sind isomorph, und der Isomorphismus zwischen den beiden ist eindeutig (sie werden als kanonisch isomorph bezeichnet).

Mit anderen Worten, wenn und beide initial sind , ist der einzige Pfeil in Versen ein Isomorphismus. Tatsächlich ist , wie initial ist, gibt es in der gleichen Art und Weise einen einzigartigen Pfeil von Versen , und die Verbindung kann nur der Pfeil Identität sein , immer da initial ist. Aus dem gleichen Grund kann nur die Identität von sein . ich{\ displaystyle I}J.{\ displaystyle J}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}f{\ displaystyle f}ich{\ displaystyle I}J.{\ displaystyle J}J.{\ displaystyle J}G{\ displaystyle g}J.{\ displaystyle J}ich{\ displaystyle I}G∘f{\ displaystyle g \ circ f}ich{\ displaystyle I}ich{\ displaystyle I}f∘G{\ displaystyle f \ circ g}J.{\ displaystyle J}

Wenn Sie darum bitten, dass ein Objekt initial ist, wird es bis zum kanonischen Isomorphismus definiert . Mit anderen Worten, solche Definitionen ermöglichen es, sich auf das Wesentliche (das Verhalten des definierten Objekts) zu konzentrieren, ohne sich um die Details seiner Konstruktion zu kümmern.

Natürlich beweist eine solche Definition nicht die Existenz des Objekts, was möglicherweise durch eine Konstruktion bewiesen werden muss. Es wird nur alles Kontingente aus der Definition des Objekts entfernt. Andererseits ist es verpflichtet, die notwendigen und ausreichenden Werkzeuge für die Manipulation des Objekts in die Definition zu integrieren.

Wenn ein mathematisches Objekt auf diese Weise definiert wird, spricht man von einem universellen Problem . Bei einem Konstruktionsproblem (zum Beispiel der Suche nach der kleinsten Gruppe, die zwei gegebene Gruppen "enthält") wird es strenger transformiert, um eine Kategorie zu definieren, in der die Lösungen des Problems Anfangsobjekte sind, die alle durch Hypothese kanonisch isomorph sind (in diesem Fall) Beispiel: Es ist die Kategorie von Gruppen, in die die beiden angegebenen Gruppen injizieren, und die Lösung ist das freie Produkt der beiden Gruppen.

Beispiele

Jeder der folgenden Sätze ist eine Definition dessen, was fett gedruckt ist .

• In der Kategorie der Mengen ist die leere Menge das Anfangsobjekt und die Singletons die Endobjekte .
• In der Kategorie der einheitlichen Ringe ist der Ring ℤ der relativen ganzen Zahlen initial und der Nullring ist final.
• Die triviale Gruppe , der Nullring , der Nullvektorraum und der Punkt sind die Nullobjekte in den jeweiligen Kategorien von Gruppen , Pseudoringen , Vektorräumen (auf einem festen Feld ) und spitzen Räumen .
• Der Quotient (mit seiner kanonischen Projektion versehen) eines Vektorraums durch den Vektorunterraum ist in der Kategorie initial, deren Objekte die linearen Karten sind, deren Kernel enthält . Die Pfeile in dieser Kategorie von Objekt zu Objekt sind lineare Karten wie z .π::E.→E./.F.{\ displaystyle \ pi \ Doppelpunkt E \ bis E / F}E.{\ displaystyle E}F.{\ displaystyle F}f::E.→G{\ displaystyle f \ Doppelpunkt E \ bis G}F.{\ displaystyle F}f::E.→G{\ displaystyle f \ Doppelpunkt E \ bis G}G::E.→H.{\ displaystyle g \ Doppelpunkt E \ bis H}φ::G→H.{\ displaystyle \ varphi \ Doppelpunkt G \ bis H}G=φ∘f{\ displaystyle g = \ varphi \ circ f}
• Das Diagramm (wobei es sich um einen Singleton, die eindeutige Bildanwendung und die Nachfolgerfunktion handelt ) ist in der Kategorie der Diagramme des Formulars initial . Die Pfeile in dieser Kategorie von Objekt zu Objekt sind Anwendungen wie und . (Dies ist die Definition, die William Lawvere für natürliche Zahlen gibt ).1→0NICHT→S.NICHT{\ displaystyle 1 \ bis ^ {0} \ mathbb {N} \ bis ^ {S} \ mathbb {N}}1{\ displaystyle 1}0{\ displaystyle 0}{0}}{\ displaystyle \ {0 \}}S.{\ displaystyle S}1→X.→hX.{\ displaystyle 1 \ to X \ to ^ {h} X}1→X.→hX.{\ displaystyle 1 \ to X \ to ^ {h} X}1→Y.→kY.{\ displaystyle 1 \ to Y \ to ^ {k} Y}φ::X.→Y.{\ displaystyle \ varphi \ Doppelpunkt X \ bis Y}φ∘0=0{\ displaystyle \ varphi \ circ 0 = 0}φ∘h=k∘φ{\ displaystyle \ varphi \ circ h = k \ circ \ varphi}
• Die freie Gruppe am Set ist in der Kategorie initial, deren Objekte die Anwendungen sind , wobei es sich um eine Gruppe handelt. Die Pfeile in dieser Kategorie von Objekt zu Objekt sind die Morphismen von Gruppen wie z .E.{\ displaystyle E}beim::E.→G{\ displaystyle a \ Doppelpunkt E \ bis G}G{\ displaystyle G}beim::E.→G{\ displaystyle a \ Doppelpunkt E \ bis G}b::E.→H.{\ displaystyle b \ Doppelpunkt E \ bis H}h::G→H.{\ displaystyle h \ Doppelpunkt G \ bis H}h∘beim=b{\ displaystyle h \ circ a = b}
• Das Tensorprodukt von zwei Modulen (rechter Modul) und (linker Modul) am Ring ist in der Kategorie der bilinearen Quellenabbildungen initial . Pfeile in dieser Kategorie von Objekt zu Objekt sind lineare Zuordnungen , wie z .⊗::M.×NICHT→M.⊗BEIMNICHT{\ displaystyle \ otimes \ Doppelpunkt M \ mal N \ bis M \ otimes _ {A} N}M.{\ displaystyle M}NICHT{\ displaystyle N}BEIM{\ displaystyle A}M.×NICHT{\ displaystyle M \ times N}f::M.×NICHT→BEIM{\ displaystyle f \ Doppelpunkt M \ mal N \ bis A}G::M.×NICHT→B.{\ displaystyle g \ Doppelpunkt M \ mal N \ bis B}φ::BEIM→B.{\ displaystyle \ varphi \ Doppelpunkt A \ bis B}G=φ∘f{\ displaystyle g = \ varphi \ circ f}
• Das vom topologischen Raum verdichtete Stone-Čech ist der erste in der Kategorie, deren Objekte fortlaufende Karten sind , wobei es sich um einen kompakten Raum handelt. Pfeile in dieser Kategorie von Objekt zu Objekt sind fortlaufende Anwendungen wie z .γ::X.→X.ˇ{\ displaystyle \ gamma \ Doppelpunkt X \ bis {\ check {X}}}X.{\ displaystyle X}f::X.→Y.{\ displaystyle f \ Doppelpunkt X \ bis Y}Y.{\ displaystyle Y}f::X.→Y.{\ displaystyle f \ Doppelpunkt X \ bis Y}G::X.→Z.{\ displaystyle g \ Doppelpunkt X \ bis Z}h::Y.→Z.{\ displaystyle h \ Doppelpunkt Y \ bis Z}G=h∘f{\ displaystyle g = h \ circ f}

Andere Formulierungen

Dieser Begriff kann auf raffiniertere Weise (was zur automatischen Erlangung bestimmter Theoreme führt) durch den des benachbarten Funktors ausgedrückt werden .

Literaturverzeichnis

• (en) Saunders Mac Lane , Kategorien für den Arbeitsmathematiker [ Detail der Ausgabe ]
• N. Bourbaki , Elemente der Mathematik  : Mengenlehre [ Detail der Ausgaben ]Kap. 4: Strukturen

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• Universelles Eigentum

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