Direktes Bild

Das direkte Bild einer Teilmenge A von X durch eine Abbildung f : X → Y ist die Teilmenge von Y, die aus den Elementen gebildet wird , die durch f mindestens einen Vorgänger haben , der zu A gehört :

{\ displaystyle f (A) = \ {f (x) \ mid x \ in A \} = \ {y \ in Y \ mid \ existiert a \ in A, y = f (a) \}.}

Beispiele

Insbesondere definieren wir das Bild einer Anwendung f, die auf X definiert ist : ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (f) = f (X).}$
Wir sollten darauf achten, das direkte Bild durch f eines Teils A von X , mit dem Bild durch f eines Elements x von X oder mit dem Bild der Karte f nicht zu verwechseln .
Betrachten Sie die Abbildung f von {1, 2, 3} in { a , b , c , d }, definiert durch f (1) = a , f (2) = c und f (3) = d . Das direkte Bild von {2, 3} durch f ist f ({2, 3}) = { c , d }, während das Bild von f { a , c , d } ist.

Elementare Eigenschaften

Für alle Teile und für , $A_1$ $A_ {2}$ $X.$ ${\ displaystyle f \ left (A_ {1} \ cup A_ {2} \ right) = f (A_ {1}) \ cup f (A_ {2}).}$ Allgemeiner für jede Familie von Teilen von , ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $X.$ ${\ displaystyle f \ left (\ bigcup _ {i \ in I} A_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i \ in I} f (A_ {i}).}$
Für alle Teile und für , $A_1$ $A_ {2}$ $X.$ ${\ displaystyle f \ left (A_ {1} \ cap A_ {2} \ right) \ subset f (A_ {1}) \ cap f (A_ {2})}$ und diese Einbeziehung kann streng sein, es sei denn, sie ist injektiv . Wir können sogar beweisen, dass dies genau dann injektiv ist, wenn wir es für alle Teile und von haben . $f$
$f$ $A_1$ $A_ {2}$ $X.$ ${\ displaystyle f \ left (A_ {1} \ cap A_ {2} \ right) = f (A_ {1}) \ cap f (A_ {2})}$

Im Allgemeinen für jede Familie, die nicht leer ist von Teilen von , ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $X.$

{\ displaystyle f \ left (\ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} \ right) \ subset \ bigcap _ {i \ in I} f (A_ {i})}

Jeder Teil B von Y enthält das direkte Bild seines reziproken Bildes f −1 ( B ); etwas präziser : ${\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap \ mathrm {Im} (f).}$ Insbesondere wenn dann surjektiv ist . $f$ $f (f ^ {{- 1}} (B)) = B.$

Wir können sogar beweisen, dass dies nur dann surjektiv ist, wenn wir einen Teil davon haben .

f

B.

Y.

f (f ^ {{- 1}} (B)) = B.

(Eine Demonstration finden Sie im Artikel Surjection .)

Jeder Teil A von X ist im reziproken Bild seines direkten Bildes enthalten: $A \ Teilmenge f ^ {{- 1}} (f (A))$ und diese Einbeziehung kann streng sein, es sei denn, sie ist injektiv. Wir können sogar beweisen, dass dies genau dann injektiv ist, wenn wir es für alle Teile von haben . $f$ $f$ $BEIM$ $X.$ ${\ displaystyle A = f ^ {- 1} (f (A))}$

Anmerkungen und Referenzen

Um Verwirrung zu vermeiden, Saunders Mac Lane und Garrett Birkhoff , Algebra [ Detail der Ausgaben ], Flug. 1, p. 8 , sprechen Sie von einer Mengenabbildung , die sie mit f * bezeichnen .
Eine Demonstration finden Sie beispielsweise im Antwortschlüssel für die entsprechende Übung zu Wikiversity .

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Naive Mengenlehre
Bild eines Teils durch eine mehrwertige Funktion (mit anderen Worten: durch eine binäre Beziehung )