Holomorphe Funktion

In komplexer Analyse eine holomorphe Funktion ist eine Funktion mit komplexen Werten , definiert und differenzierbar an jedem Punkt einer offenen Teilmenge von der komplexen Ebene c.

Diese Bedingung ist viel stärker als die reale Ableitbarkeit . Dies impliziert (über die Cauchy-Theorie), dass die Funktion analytisch ist : Sie ist unbegrenzt differenzierbar und gleich der Umgebung eines beliebigen Punktes der offenen Summe ihrer Taylor-Reihen . Es folgt eine bemerkenswerte Tatsache: Die Begriffe der komplexen analytischen Funktion und der holomorphen Funktion fallen zusammen. Aus diesem Grund bilden holomorphe Funktionen die zentrale Säule der komplexen Analysis.

Definition

Definition - Sei eine offene Menge der Menge komplexer Zahlen und eine Karte von in . $U$ $\ mathbb {C}$ $f$ $U$ $\ mathbb {C}$

Wir sagen , dass ist differenzierbar (im komplexen Sinne) oder holomorphe an einem Punkt , der , wenn die folgenden Grenze , die so genannten Derivat von in besteht: $f$ $z_0$ $U$ $f$ $z_0$
${\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ bis z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) \ über z-z_ {0}}.}$
Wir sagen, dass das holomorph ist, wenn es an irgendeinem Punkt von holomorph ist . $f$ $U$ $U$
Insbesondere nennen wir eine ganzzahlige Funktion eine holomorphe Funktion auf . $\ mathbb {C}$

Es sei darauf hingewiesen, dass bestimmte Autoren verlangen, dass die so erhaltene Funktion stetig ist. Es ist eigentlich nur eine Möglichkeit, Demonstrationen zu vereinfachen; tatsächlich impliziert die hier vorgestellte Definition ohnehin ihre Stetigkeit (aufgrund des Satzes von Morera ). $f'$

Beispiele

Rationale Funktionen

Jede Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten ist vollständig.

Jede rationale Funktion mit komplexen Koeffizienten ist holomorph auf dem Komplement der Menge ihrer Pole (dh den Nullstellen ihres Nenners, wenn sie in irreduzibler Form geschrieben ist). Zum Beispiel ist die Umkehrfunktion auf * holomorph . ${\ displaystyle z \ mapsto 1 / z}$ $\ mathbb {C}$

Funktionen definiert durch eine ganze Reihe

Sei eine ganze Reihe mit komplexen Koeffizienten mit einem Konvergenzradius ungleich Null (endlich oder nicht); wir bezeichnen seine Konvergenzscheibe. Die Funktion von in definiert ist holomorph und für alle , . Tatsächlich ist diese Funktion auf unendlich differenzierbar . ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}$ $D$
$f$ $D$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}$ ${\ displaystyle z \ in D}$ ${\ displaystyle f '(z) = \ sum _ {n \ geq 1} na_ {n} z ^ {n-1}}$ $D$

Die Exponentialfunktion ist ganzzahlig. Das gleiche gilt für trigonometrische Funktionen (die sich aus der Exponentialfunktion mit Hilfe der Eulerschen Formeln definieren lassen ) und hyperbolischen Funktionen .

Komplexer Logarithmus

Wir nennen Bestimmung des komplexen Logarithmus auf einem offenen U von c * Jeder holomorphe Funktion $L$ der U in c so daß für all $z \in U$ , $exp ( L ( z )) = z$ oder , was äquivalent ist (im Fall eines offenen verwandt ), Funktion $L$ holomorph auf U Ableitung $z \mapsto1 / z$ für die es $z 0 \in U gibt$ als $exp ( L ( z 0 )) = z 0$ .

Auf jedem offenen U von ℂ * mit einer Bestimmung $L$ des Logarithmus können wir für jede relative ganze Zahl $k$ die Funktion $z L ( z ) + 2 k πi definieren$ . Jede dieser Funktionen ist eine Bestimmung des Logarithmus über U , und wenn U ist verbunden , sie sind die einzigen.

Es erfolgt keine Bestimmung des Logarithmus auf dem offenen *.

Es existiert eine Bestimmung des Logarithmus auf jedem offenen vom Typ ℂ * \ D wobei D eine Halblinie von ℂ vom Ende 0 ist (wir sprechen von " Schnitt "), insbesondere auf der Menge der privaten komplexen Zahlen der Hälfte -Linie von negativen oder Null-Realzahlen. Unter allen Bestimmungen des Logarithmus auf diesem offenen gibt es eine und nur eine, die den realen natürlichen Logarithmus erweitert .

Allgemeiner gesagt gibt es eine Bestimmung des Logarithmus für jeden offenen Logarithmus, der einfach verbunden ist und keine 0 enthält.

Potenz- und n-te Wurzelfunktionen

Auf jedem offenen U von ℂ * mit einer Bestimmung $L$ des Logarithmus können wir für jede komplexe Zahl $a$ eine holomorphe Bestimmung der Potenz des Exponenten $a$ auf U definieren, indem wir für alle $z \in U$ , $z$ $a$ $=, exp ($ $a L$ $($ $z$ $))$ .

Insbesondere für jede ganze Zahl $n > 0$ , ist die Funktion $z \mapsto z 1 / n = exp ((1 / n ) L ( z ))$ überprüft die Identität ∀ $z \in U , ( Z 1 / n ) n = z$ . Es wird gesagt, dass diese Funktion eine Bestimmung von U der Wurzel $n-$ th ist . Wir können $n \sqrt z$ anstelle von $z 1 / n bezeichnen$ (wenn streng positive reelle Zahlen zu U gehören , kann es dann zu einem Konflikt zwischen dieser Notation und ihrer üblichen Bedeutung kommen, die dazu dient, die positive $n-$ te Wurzel zu bezeichnen ).

Reziproke trigonometrische Funktionen haben in ähnlicher Weise Schnitte und sind überall außer an Schnitten holomorph.

Komplexes Derivat

Die Regeln für die Berechnung von Ableitungen im komplexen Sinne sind identisch mit denen für die Ableitungen der Funktionen einer reellen Variablen : Linearität , Ableitung eines Produkts , eines Quotienten, einer zusammengesetzten Funktion. Daraus folgt, dass die Summen, Produkte oder die aus holomorphen Funktionen zusammengesetzt sind, holomorph sind und der Quotient zweier holomorpher Funktionen auf jeder offenen Stelle holomorph ist, bei der der Nenner nicht verschwindet.

Eine holomorphe Funktion an einem Punkt ist an diesem Punkt erst recht stetig .

In der Nähe eines Punktes $z 0, an$ dem die Ableitung einer holomorphen Funktion $f$ ungleich Null ist, ist $f$ eine konforme Transformation , d. h. sie behält die (orientierten) Winkel und die Formen kleiner Figuren (aber nicht die Längen im Allgemeinen) bei.

Tatsächlich ist sein Differential am Punkt $z 0$ die ℂ-lineare Abbildung , wobei : das Differential daher mit einer direkten Ähnlichkeit der Ebene identifiziert wird , da A nicht Null ist. ${\ displaystyle df_ {z_ {0}}: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, \, u \ mapto A \, u}$ $A = f '(z_ {0})$

Eigenschaften

Cauchy-Riemann-Gleichungen

Identifizieren wir ℂ mit ℝ 2 , dann fallen die holomorphen Funktionen auf einer offenen Menge von ℂ mit den Funktionen zweier reeller Variablen zusammen, die auf dieser offenen Menge ℝ-differenzierbar sind und verifizieren dort die Cauchy-Riemann-Gleichungen, ein System von zwei Gleichungen mit partielle Ableitungen :

Wir betrachten eine Funktion einer komplexen Variablen, wobei $U$ eine offene Menge der komplexen Ebene ℂ ist. Hier werden folgende Notationen verwendet: ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$

die komplexe Variable wird bezeichnet , wobei x , y reell sind; $z$ $x + {{\rm{i}}} \,y$
der Real- und der Imaginärteil von werden jeweils bezeichnet und d. h.: wo sind zwei reelle Funktionen zweier reeller Variablen. $f (z) = f (x + {{\ rm {i}}} \,y)$ $P (x, y)$ $Q (x, y)$ $f (z) = P (x, y) + {{\ rm {i}}} \, Q (x, y)$ $P, \, Q$

Cauchy-Riemann-Gleichungen - Wenn $f$ an einem Punkt $z 0$ von $U$ ℝ-differenzierbar ist , sind die folgenden vier Eigenschaften äquivalent:

$f$ ist holomorph in $z 0$
${\ frac {\ partielle f} {\ partielle y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ partielle f} {\ partielle x}} (z_ {0})$
${\ frac {\ partielles P} {\ partielles x}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ partielles Q} {\ partielles y}} (x_ {0}, y_ {0} )$ und ${\ frac {\ partielles P} {\ partielles y}} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {\ partielles Q} {\ partielles x}} (x_ {0}, y_ {0 })$
$\ overline \ partiell f (z_ {0}) = 0$ , wobei der Differentialoperator per Definition gleich ist . $\ überstreichen \ partiell$ ${\ frac 12} \ links ({\ frac \ partielle {\ partielle x}} + {{\ rm {i}}} {\ frac \ partielle {\ partielle y}} \ rechts)$

Beachte, wenn $f$ in $z 0$ holomorph ist :

{\ displaystyle \ f '(z_ {0}) = {\ frac {\ partiell f} {\ partiell x}} (z_ {0}) = - {\ rm {i}} \, {\ frac {\ partiell f} {\ partielles y}} (z_ {0})}

{\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ partiell f (z_ {0})}

, wobei der Differentialoperator per Definition gleich ist .

\ partiell

{\ frac 12} \ links ({\ frac \ partielle {\ partielle x}} - {{\ rm {i}}} {\ frac \ partielle {\ partielle y}} \ rechts)

Verbindungen zwischen holomorphen und harmonischen Funktionen

Wir zeigen weiter, dass holomorphe Funktionen von der Klasse sind (siehe Cauchys Integralformel). $C ^ {\infty}$

Eine Folge der Cauchy-Riemann-Gleichungen ist, dass die Laplace-Operatoren des Realteils und des Imaginärteils einer holomorphen Funktion $f$ null sind:

Wenn der Real- und der Imaginärteil von jeweils mit und bezeichnet werden , d. h. wenn:, wo zwei reelle Funktionen zweier reeller Variablen sind, haben wir: $f (z) = f (x + {{\ rm {i}}} \,y)$ $P (x, y)$ $Q (x, y)$ $f (z) = P (x, y) + {{\ rm {i}}} \, Q (x, y)$ $P, \, Q$

\ \ Delta P = \ Delta Q = 0

Wir sagen das und sind harmonische Funktionen . $P$ $Q$

Wir haben auch:

{\ frac {\ partielles P} {\ partielles x}} {\ frac {\ partielles Q} {\ partielles x}} + {\ frac {\ partielles P} {\ partielles y}} {\ frac {\ partielles Q } {\ partielles y}} = 0

$P$ und heißen konjugierte Harmonische . $Q$

Wir haben eine Umkehrung:
Jede reelle harmonische Funktion der komplexen Variablen ist lokal der Realteil einer holomorphen Funktion.

Integralsatz von Cauchy

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen ermöglichen es, das Goursat-Lemma , das im Wesentlichen der untenstehende Cauchy-Integralsatz im speziellen Fall einer polygonalen Spitze ist, zu beweisen und daraus abzuleiten:

Cauchy Integralsatz - Let $& ggr; ist$ eine rectifiable Schleife in c und $f$ eine holomorphe Funktion auf einen einfach zusammenhängenden offenen Satz enthält $γ$ , dann ist das krummlinige Integral von $f$ auf $γ$ null ist :

\ int _ {\ gamma} f (z) ~ {\ mathrm d} z = 0.

Dieser Satz bleibt gültig, wenn die Funktion bei endlich vielen Punkten des offenen nicht holomorph, sondern nur stetig sein soll.

Bestimmtes :

wenn $γ$ eine einfache Schleife ist, dann ist es nach dem Satz von Jordan-Schoenflies die Grenze eines zusammenhängenden und einfach zusammenhängenden Kompakten K , und der Satz gilt dann (wenn $γ$ richtbar ist) für jede holomorphe Funktion auf einer offenen, die K . enthält ;
wenn $f$ auf einem offenen $U$ holomorph ist und wenn $γ$ und $Γ$ zwei streng homotope gleichrichtbare Pfade in $U sind,$ dann sind die Integrale von $f$ auf $γ$ und $Γ$ gleich.

Wir können das Lemma von Goursat vermeiden, aber auf Kosten einer zusätzlichen Hypothese:

Direkter Beweis unter der zusätzlichen Annahme, dass

f

stückweise Klasse C 1 ist 1

Wie im Beweis mit dem Lemma von Goursat kommen wir (durch Näherung, dann Schneiden ) zu dem Fall zurück, in dem die Schleife $γ$ ein einfaches Polygon ist . Der Satz von Green , verbunden mit dem Cauchy-Riemann , dann zum Schluss: Wenn $D$ das Innere des Polygons bezeichnet,

\ int _ {\ gamma} f (z) ~ {\ mathrm d} z = \ int _ {\ gamma} (f {\ mathrm d} x + wenn {\ mathrm d} y) = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partielle if} {\ partielle x}} - {\ frac {\ partielle f} {\ partielle y}} \ right) ~ {\ mathrm d} x {\ mathrm d} y = \ iint _ {D} 0 ~ {\ mathrm d} x {\ mathrm d} y = 0.

Dieser Satz wird durch den Restsatz auf holomorphe Funktionen mit isolierten Singularitäten verallgemeinert .

Primitive einer holomorphen Funktion

Aus dem obigen Satz leiten wir ab :

Eigenschaft - Sei

f

eine holomorphe Funktion auf einem offenen U zusammenhängend und einfach zusammenhängend,

z 0

ein Punkt von U und

F

die auf U definierte Funktion durch

F (z) = \ int _ {{P (z)}} f (\ xi) ~ {\ mathrm d} \ xi,

wobei

P ( z )

ein beliebiger gleichrichtbarer Pfad in U von

z 0

bis

z ist

. Dann ist

F

ein primitiver Komplex von

f

auf U .

Dieser Satz bleibt gültig, wenn die Funktion bei endlich vielen Punkten des offenen nicht holomorph, sondern nur stetig sein soll.

Es ist wichtig, dass das offene einfach zusammenhängend ist, damit das Integral von $f$ zwischen zwei Punkten nicht vom Weg zwischen diesen beiden Punkten abhängt.

Zum Beispiel ist die Funktion $h : z \mapsto 1 / z$ holomorph über ℂ *, das zusammenhängend, aber nicht einfach zusammenhängend ist. Das Integral von $h$ auf dem Kreis von Mittelpunkt 0 und Radius 1 (in trigonometrischer Richtung durchlaufen) hat den Wert $2πi$ , aber den Wert 0 auf einem geschlossenen Pfad, der 1 mit sich selbst verbindet, ohne 0 zu umgeben. Andererseits kann man definieren eine Stammfunktion von $h$ auf jeder einfach zusammenhängenden offenen Menge von ℂ * (vgl. Bestimmungen des komplexen Logarithmus im Abschnitt „Beispiele“ oben ).

Cauchy-Integralformel und Anwendungen

Integralformel

Sei $f$ eine holomorphe Funktion auf einem offenen $U$ von ℂ, dann ist C ein positiv orientierter Kreis, der in z zentriert und (sowie sein Inneres) in U eingeschlossen ist.

f (z) = {1 \ über 2 \ pi i} \ int _ {C} {f (\ xi) \ über \ xi -z} ~ {\ mathrm d} \ xi.

Vollständige Seriendarstellung

Theorem - Let $f seine$ eine holomorphe Funktion auf einem offenen $U$ von c, dann $f$ ist analytische auf $U$ und für jeden Punkt $z 0$ von $U$ , bezeichnet $R$ den (euklidischen) Abstand von $z 0$ bis c \ $U$ :

\ forall z \ in D (z_ {0}, R), ~~ f (z) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {nicht}

mit

\ forall r \ in] 0, R [, \ quad c_ {n} = {\ frac 1 {2 \ pi i}} \ int _ {{C (z_ {0}, r)}} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {{n + 1}}}} ~ {\ mathrm d} w.

Also ist $f$ auf $U$ unbegrenzt differenzierbar , mit

{\ displaystyle \ forall z_ {0} \ in U, f ^ {(n)} (z_ {0}) = c_ {n} .n! = {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ int _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} ~ \ mathrm {d} w.}

Anmerkungen:

Die Taylor-Reihe in $z 0$ konvergiert auf jeder offenen Scheibe mit Zentrum $z 0$ und in $U eingeschlossen$ , kann aber natürlich auf einer größeren Scheibe konvergieren; zum Beispiel konvergiert die Taylorreihe der Hauptbestimmung des Logarithmus auf jeder Scheibe, die keine 0 enthält, auch wenn sie negative reelle Zahlen enthält. Dies ist die Grundlage des Prinzips der analytischen Erweiterung .
Es gibt eine Äquivalenz zwischen Holomorphie über offenem und Analytizität, wobei Analytizität eindeutig Holomorphie impliziert.
Jede holomorphe Funktion f ist eine analytische Funktion , daher werden das Prinzip des Maximums , das Prinzip der isolierten Nullstellen, die Cauchy-Ungleichung durch eine holomorphe Funktion verifiziert.

Eigentum am Mittelwert

Aus der Integralformel von Cauchy leitet man insbesondere ab, dass jede holomorphe Funktion auf einer offenen, die eine geschlossene Scheibe enthält, innerhalb dieser Scheibe vollständig durch ihre Werte an der Grenze dieser Scheibe bestimmt ist: in der obigen Formel für $c 0$ die Änderung des Parameters $w = z 0 + re iθ$ ergibt:

f (z_ {0}) = {\ frac 1 {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} f (z_ {0} + r {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ theta}}) ~ {\ mathrm d} \ theta.

Das Interesse dieser Formel liegt in der numerischen Berechnung. Die Berechnung eines Integrals ist in der Tat stabiler als die von Ableitungen.
Dieses Ergebnis bleibt eindeutig für den Realteil und für den Imaginärteil von $f$ gültig , die harmonische Funktionen sind .

Maximalprinzip

Sei $f$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion auf einem zusammenhängenden offenen $U$ . Also $| f |$ lässt kein lokales Maximum auf $U zu$ . Wenn $U$ also beschränkt ist, wird das Maximum der Funktion $f$ am Rand von $U erreicht$ . Mit anderen Worten, an jedem Punkt $z$ von $U$ :

{\ displaystyle | f (z) | \ leq \ sup \ {| f (\ omega) | \ mid \ omega \ in \ partiell U \}}

Demonstration

Sei $z 0$ ein Punkt $U$ . Die Funktion $f - f ( z 0 )$ ist nicht identisch Null, daher gibt es aufgrund der Eindeutigkeit der analytischen Fortsetzung eine ganze Zahl $k > 0$ und einen von Null verschiedenen Komplex $α$ mit

f (z) = f (z_ {0}) + \ alpha (z-z_ {0}) ^ {k} + (z-z_ {0}) ^ {k} \ varepsilon (z),

wobei $ε$ eine Nullgrenzfunktion bei $z 0 ist$ .

Wenn $f ( z 0 ) = 0$ dann, in der Nachbarschaft von $z 0$ , $f$ nicht verschwindet.
Wenn $f ( z 0 ) \neq 0$ , lassen $β seine$ a $k$ -te Wurzel von $f ( z 0 ) / α$ . So, $f(z_{0} + t\beta) = f(z_{0})\links (1+t^{k}+t^{k}\varepsilon_{1}(t)\rechts),$ wobei $ε 1$ eine Funktion der Nullgrenze bei 0 ist, also für jedes reelle $t > 0, das$ klein genug ist, $| f ( z 0 + t β) | > | f ( z 0 ) |$ .

Somit gilt in beiden Fällen $| f |$ lässt kein lokales Maximum in $z 0 zu$ .

Konvergente Folgen holomorpher Funktionen

Wenn eine Folge ( $f j$ ) von holomorphen Funktionen gegen eine Funktion $f$ konvergiert , gleichmäßig über einem Kompakten des offenen $U$ von ℂ, dann ist $f$ holomorph und für alle $k$ konvergiert die Folge ( $f j ( k )$ ) von Ableitungen gegen $f (k)$ , gleichmäßig auf kompaktem $U$ .

Laurents Entwicklung um einen singulären Punkt

Satz - Sei $f$ eine holomorphe Funktion auf $U \ A$ mit $U$ eine offene Menge von ℂ und $A$ eine abgeschlossene Teilmenge von U, deren Elemente isoliert sind (A ist die Menge der singulären Punkte oder isolierten Singularitäten von $f$ in $U$ ).

Dann wird um jeden Punkt $z 0$ von $U$ , $f$ zugibt eine Laurent Expansion auf einer Krone mit ( bezeichnen den euklidischen Abstand von dem Komplement von U in c): ${\ displaystyle C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}) \ Teilmenge UA}$ ${\ displaystyle 0 <R_ {1} <R_ {2} <d}$ $d$ $z_0$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} -U}$

{\ displaystyle \ forall z \ in C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}), ~~ f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}

mit

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anoint _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {( w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} \, \ mathrm {d} w \ quad {\ text {wo}} \ quad R_ {2}> r> R_ {1}}

Anmerkungen:

Die Notation bezeichnet die Summe der beiden konvergenten Reihen und . ${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} c _ {- n} (z-z_ {0}) ^ {- n}}$
Bei einer rationalen Funktion, die man in Null entwickeln möchte, werden die Koeffizienten über eine klassische Serienentwicklung in Null der einfachen Elemente berechnet . $c_ {n}$
In der Praxis kann die Berechnung der Koeffizienten (an jedem Punkt) auch dank des Residuensatzes durchgeführt werden , der oft komplizierter ist als die Entwicklung rationaler Funktionen in Reihen, der aber im Allgemeinen einfacher bleibt als die Verwendung der direkten Formel.
Der Rest von f in der Singularität ist der Koeffizient . $z_0$ ${\ displaystyle c _ {- 1}}$

Meromorphe Funktionen

Die Berechnung von $c n$ in Laurents Entwicklung kann drei Möglichkeiten ergeben:

$\ für alle n <0, ~~ c_ {n} = 0$ : dann kann $f$ auf alle Punkte der Scheibe zu einer analytischen Funktion erweitert werden , und diese Punkte heißen regulär . Beispiel für eine Funktion, die solche Koeffizienten darstellt: Bei 0 ist 0 ein regulärer Punkt von $f$ . $BEIM$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $f (z) = {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {z} -1} z}$
$\ existiert p \ in \ mathbb{N}$ so dass und wir haben : so ist die Funktion kann in eine analytische Funktion erweitert auf alle Punkte der Inhalt auf der Disc . Dieser Fall verallgemeinert in der Tat den ersten. Diese Punkte sind Pole höchstens von $f$ , es kann existieren, die regulär sind (Ordnung 0). Wir sagen, dass f eine meromorphe Funktion auf U ist, wenn alle Punkte von A Pole sind. Beispiele für Funktionen, die solche Koeffizienten darstellen: bei 0 (0 ist ein Pol der Ordnung k von $f$ ) oder allgemeiner die rationalen Funktionen an ihren Polen. ${\ displaystyle c _ {- p} \ neq 0}$ $\ für alle n <-p$ $\c_{n} = 0$ $\ (z-z_ {0}) ^ {p} f (z)$ $BEIM$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $p$ $f (z) = {\ frac {1} {z ^ {k}}}$
In den anderen Fällen gibt es unter den auf der Platte enthaltenen Punkten mindestens einen Punkt, an dem es nicht möglich ist, eine der obigen Erweiterungen zu versuchen. Ein solcher Punkt von A heißt „ wesentlicher singulärer Punkt “ von $f$ . Beispiel: in 0 ist 0 ein wesentlicher singulärer Punkt von $f$ . $BEIM$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $f (z) = {{\ rm {e}}} ^ {{{\ frac 1z}}}$

Anti-Holomorphie

Eine Funktion f ( z ) heißt antiholomorph auf einem offenen D, wobei f ( z ) auf dem offenen Konjugierten D holomorph ist . Es ist daher analytisch in z .

Eine Funktion sowohl holomorphe und anti-holomorphe auf D ist lokal konstant auf D , so konstant an einer Zugehörigen zu D .

Hinweise und Referenzen

Michèle Audin, Komplexe Analysis ( online lesen ) , Seite 30
Michèle Audin, Analysiere Complexe ( online lesen ) , p. 58
Tatsächlich wissen wir (a posteriori), dass eine komplexwertige Funktion stetig auf einem Open der komplexen Ebene und holomorph auf dem Komplement einer endlichen Teilmenge auf diesem Open holomorph ist. Wir können sogar die Annahme der Stetigkeit durch die der Ortsbeschränktheit ersetzen.
Henri Cartan , Elementare Theorie analytischer Funktionen einer oder mehrerer komplexer Variablen [ Detail der Ausgabe ], s. 70 .
Diese Demonstration stammt von Pierre Colmez , Elemente der Analysis und Algebra (und Zahlentheorie) , Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique,2009, 469 S. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , online lesen ) , p. 238. Walter Rudin , Reale und komplexe Analyse [ Detail der Editionen ], 1977, p. 206, gibt eine andere, basierend auf der Formel des Mittelwertes und der Gleichheit von Parseval , weist aber auch darauf hin (S. 209), dass das Prinzip des Maximums unmittelbar aus dem Satz des offenen Bildes abgeleitet wird . Für einen anderen Beweis siehe Cartan , S. 83, und Übung S. 142 für eine Verallgemeinerung auf subharmonische Funktionen .
Rudin , p. 207, th. 10.27 und Folgerung.

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Externer Link

graphs-functions-holomorphs - Mathematische Wanderungen zwischen holomorphen Funktionen mit unterstützenden Bildern.