Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist in der Mathematik eine Zahl, die als Quotient zweier relativer Ganzzahlen ausgedrückt werden kann . Wir können nicht-ganzzahlige rationale Zahlen als Bruch schreiben , was oft erwähnt wird , wobei a , der Zähler , eine relative ganze Zahl und b , der Nenner , eine relative ganze Zahl ungleich Null ist. beimb{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a} {b}}}

Eine ganze Zahl ist eine rationale Zahl: Sie kann als Bruch der Form ausgedrückt werden . beimb{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a} {b}}}

Jede rationale Zahl kann auf unendlich viele verschiedene Arten als Bruch geschrieben werden, z. B. 1/2 = 2/4 = 3/6 = ... aber es gibt eine privilegierte Schreibweise: Jede rationale Zahl ungleich Null ist eindeutig ausgedrückt als Bruch, dessen Zähler und Nenner mit positivem Nenner prim zueinander sind . Wir nennen diesen Ausdruck einen irreduziblen Bruch .

Die Dezimalentwicklung einer rationalen Zahl ist immer periodisch nach einer bestimmten Dezimalstelle (zB bei endlicher Dezimalschrift stellt die Addition von Nullen die Periodizität sicher). Dies gilt auf jeder Grundlage . Umgekehrt, wenn eine Zahl eine periodische Dezimalentwicklung in mindestens einer Basis hat, dann ist sie eine rationale Zahl.

Eine reelle Zahl, die nicht rational ist, heißt irrational . Die Menge der rationalen Zahlen ist ein kommutativer Körper , der mit Q oder ℚ bezeichnet wird (so von Peano 1895 nach dem Anfangsbuchstaben des italienischen Wortes quoziente , dem Quotienten) getauft . Per Definition:

Q={ichnicht|(ich,nicht)∈Z×(Z∖{0})}{\ displaystyle \ mathbb {Q} = \ left \ {\ left. {\ frac {m} {n}} \ right | (m, n) \ in \ mathbb {Z} \ mal (\ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \}) \ rechts \}}

wobei ℤ der Ring der relativen ganzen Zahlen ist.

Dezimalerweiterung

Wie alle reellen Zahlen lassen auch rationale Zahlen eine Darstellung in unbegrenzter Dezimalentwicklung zu . Die dezimale Entwicklung rationaler Zahlen hat die Besonderheit, periodisch zu sein . Das heißt, es gibt ein Suffix, das aus einer endlichen Folge von sich ständig wiederholenden Ziffern besteht . Diese Folge heißt: "Periode der unbegrenzten Dezimalentwicklung".

Die unbegrenzte Dezimalentwicklung einer reellen Zahl und erst recht einer rationalen Zahl ist eindeutig, wenn wir nicht mit einer periodischen Folge aus '9' enden dürfen. Tatsächlich existiert im letzteren Fall eine äquivalente Schrift, die mit einer aus '0' zusammengesetzten Periode endet, und besser noch eine äquivalente begrenzte dezimale Erweiterung.

Herkömmlicherweise zeichnen wir, wenn wir eine Zahl mit arabischen Ziffern im Dezimalsystem schreiben, bei Bedarf einen horizontalen Balken unter die periodische Folge. Es ist auch möglich, über jede Ziffer des Punktes einen Punkt zu setzen, aber diese Schreibweise wird viel seltener verwendet.

Wenn eine Periode angegeben wird, müssen wir uns auf eine rationale Zahl beziehen, und aus diesem Grund gilt streng:

13=0,3_...=limx→+∞(Σnicht=1x310nicht).{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0 {,} {\ underline {3}} ... = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} \ left (\ sum _ {n = 1 } ^ {x} {\ frac {3} {10 ^ {n}}} \ rechts).}

Aber auch :

1=1,0_...=0,9_...=0,99999 ...{\ displaystyle 1 = 1 {,} {\ underline {0}} ... = 0 {,} {\ underline {9}} ... = 0 {,} 99999 ...}

Die unbegrenzte Dezimalentwicklung einer rationalen Zahl ist periodisch und umgekehrt ist eine Zahl mit periodischer Dezimalentwicklung immer rational. Dieses Kriterium ist jedoch unbequem, um die Rationalität einer Zahl zu beurteilen. Ein zweites Kriterium ist der Kettenbruch . Eine Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Erweiterung in einen Kettenbruch endlich ist. Diese Methode ist bei der Entstehung der ersten Demonstrationen der Irrationalität der Basis e des natürlichen Logarithmus und von π .

Daher ist die Zahl (wo wir immer längere Folgen von '2' haben) irrational, weil es keinen Punkt gibt. 0,12122122212222 ...{\ displaystyle 0 {,} 12 \, 122 \, 1222 \, 12222 ... \,}

Rationale Arithmetik

Seien a, b, c, d vier ganze Zahlen, wobei b und d nicht null sind.

Die beiden durch a / b und c / d repräsentierten rationalen Zahlen sind genau dann gleich, wenn ad = bc ist .

Die Ergänzung ist gegeben durch:

beimb+vsd=beimd+bvsbd.{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + bc} {bd}}.}

Wir zeigen, dass diese Gleichheit nicht von der Wahl der Repräsentanten „a/b“ und „c/d“ abhängt.

Die Multiplikation mit:

beimb×vsd=beimvsbd.{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ mal {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}.}

Das Gegenteil und umgekehrt :

-(beimb)=-beimb=beim-bund(beimb)-1=bbeim wenn beim≠0.{\ displaystyle - \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = {\ frac {-a} {b}} = {\ frac {a} {- b}} \ quad {\ mbox { und}} \ quad \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {- 1} = {\ frac {b} {a}} {\ mbox {si}} a \ neq 0.}

Wir folgern, dass der Quotient gegeben ist durch:

(beimb)/(vsd)=beimdbvs.{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) / \ left ({\ frac {c} {d}} \ right) = {\ frac {ad} {bc}}.}

Ägyptische Fraktion

Jede positive rationale Zahl kann als Summe der Inversen verschiedener natürlicher Zahlen ausgedrückt werden. Wir haben zum Beispiel:

57=12+16+121.{\ displaystyle {\ frac {5} {7}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {21}}.}

Formale Konstruktion

Wir können eine rationale Zahl als die Äquivalenzklasse eines geordneten Paars von ganzen Zahlen durch die folgende Äquivalenzrelation sehen:

∀(beim,b)∈Z×(Z∖{0})∀(vs,d)∈Z×(Z∖{0})(beim,b)R(vs,d)⟺beimd=bvs.{\displaystyle\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\})\quad\forall\left( c,d\rechts)\in\mathbb{Z}\mal (\mathbb{Z}\setminus\links\{0\rechts\})\quad(a,b)\,{\mathcal{R} } \, ( c, d) \ Longleftrightarrow ad = bc.}

Dann bemerkt , das heißt, die Menge der rationalen Zahlen ist der Quotient aus der Äquivalenzrelation. Q=(Z×(Z∖{0}))/R{\ displaystyle \ mathbb {Q} = {\ big (} \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ left \ {0 \ right \}) ​​​​{\ big)} / {\ mathcal {R}}}Z×(Z∖{0}){\ displaystyle \ mathbb {Z} \ mal (\ mathbb {Z} \ setminus \ left \ {0 \ right \})}

Wir können dann die ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen injizieren und Gesetze der inneren Zusammensetzung definieren , um uns eine Körperstruktur zu geben.

Diese Konstruktion gilt von jedem ganzzahligen Ring , wir sprechen dann vom Körper der Brüche .

Eigenschaften

• Die mit den oben angegebenen Additions- und Multiplikationsgesetzen versehene Menge bildet einen kommutativen Körper , den Körper der Brüche ganzer Zahlen ℤ.
• Die rationals sind der kleinste Bereich mit Null - Charakteristik . Jedes andere Feld der Eigenschaft Null enthält eine Kopie von ℚ.
• Der algebraische Abschluss von ℚ, d. h. der Wurzelkörper von Polynomen mit rationalen Koeffizienten, ist die Menge der algebraischen Zahlen .
• ℚ ist dicht in ℝ durch sehr Konstruktion von ℝ . "Konkreter" für jede reelle , die durch definierte Folgex{\ Anzeigestil x}du{\ Anzeigestil u}∀nicht∈NICHTdunicht=E(10nicht×x)10nicht{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ qquad u_ {n} = {\ frac {E (10 ^ {n} \ mal x)} {10 ^ {n}}}}(wo ist die ganzzahlige Funktion ) hat rationale Werte (und sogar Dezimalzahlen ) und tendiert dazu , daE{\ Anzeigestil E} x{\ Anzeigestil x}0≤x-dunicht<10-nicht.{\ displaystyle 0 \ leq x-u_ {n} <10 ^ {- n}.}
• Aus der Sicht der diophantischen Näherung sind die rationalen Zahlen die am wenigsten gut approximierbaren Realen: für weitere Details siehe „  Maß der Irrationalität  “.
• Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar . Durch das Cantor-Diagonalargument wissen wir jedoch, dass der Körper der reellen Zahlen dies nicht ist. Wir sagen dann, dass die reellen Zahlen fast alle irrational sind, im Sinne von Lebesgues Maß . Wir sagen, dass ℚ eine vernachlässigbare Menge ist . Die folgende Funktion f , bijektiv von ℕ bis ℚ + , liefert alle positiven oder null rationalen Zahlen, wobei Zähler und Nenner durch Konstruktion immer Primzahlen dazwischen sind. Es ist von Fareys Suiten oder Sterns Diatomeen-Suite inspiriert  :{f(0)=0f(2nicht)=1f(nicht)+1f(2nicht+1)=f(nicht)+1.{\ displaystyle {\ begin {cases} f (0) = 0 \\ f (2n) = {\ frac {1} {f (n) +1}} \\ f (2n + 1) = f (n) +1. \ Ende {Fälle}}}Sie wird durch die folgende Funktion g umgekehrt :{G(0)=0G(pq)={2G(q-pp),wenn q>p2G(p-qq)+1,wenn q≤p.{\ displaystyle {\ begin {cases} g (0) = 0 \\ g \ left ({\ dfrac {p} {q}} \ right) = {\ begin {cases} 2g ({\ frac {qp} { p}}), & {\ text {si}} q> p \\ 2g ({\ frac {pq} {q}}) + 1, & {\ text {si}} q \ leq p. \ end { Fälle}} \ end {Fälle}}}

Topologie

Ausgestattet mit der Topologie üblicher Ordnung ist ℚ ein topologisches Feld . Dies bedeutet, dass die arithmetischen Operationen stetig sind. Der Zusatz ist zudem mit der Ordnung kompatibel (man spricht von geordneter Gruppe ).

Einschränkungen

Auf der anderen Seite, hat q nicht die Eigenschaft der oberen Grenze  : die Menge der rationalen Zahlen x , so daß x 2 <2 erhöht wird , aber nicht über eine kleineren obere Schranke.

Andererseits ist ℚ kein vollständiger Raum  : Es gibt Cauchy-Folgen von rationalen Zahlen, die nicht gegen eine rationale Zahl konvergieren, wie die Folge ( x n ) durch Induktion nach der Methode von Heron definiert  :

• x 0 = 1
• für alle n natürliche ganze Zahl ungleich Null: x n +1 =x nein/2 + 1/x nein.

Diese beiden Einschränkungen zeigen insbesondere, dass wesentliche Zahlen in der Mathematik, wie √ 2 oder π , nicht rational sind. Dies führt zu vollständigem ℚ, indem eine größere Menge konstruiert wird, die die Eigenschaft der oberen Schranke hat und in der jede Cauchy-Folge konvergiert: die Menge der reellen Zahlen .

Zahl p -adic

Wir können ℚ mit einer anderen Metrik versehen.

Sei eine Primzahl . Wir fragen: p{\ displaystyle p}

• für jede ganze Zahl ungleich Null , wo ist die größte Potenz der Division ,beim{\ Anzeigestil a}|beim|p=p-nicht,{\ displaystyle | a | _ {p} = p ^ {- n},}pnicht{\ displaystyle p ^ {n}}p{\ displaystyle p} beim{\ Anzeigestil a}
• |0|p=0{\ Anzeigestil | 0 | _ {p} = 0}.

Die so definierte Funktion ist vollständig multiplikativ , was es ermöglicht, für jede rationale Zahl ohne Mehrdeutigkeit zu setzen  : beim/b{\ Anzeigestil a / b}

• |beimb|p=|beim|p|b|p{\ displaystyle \ left | {\ frac {a} {b}} \ right | _ {p} = {\ frac {| a | _ {p}} {| b | _ {p}}}}.

So definieren einen metrischen Raum. dp(x,ja)=|x-ja|p{\ displaystyle d_ {p} \ left (x, y \ right) = | xy | _ {p}}

Der metrische Raum ist nicht vollständig, und die Fertigstellung ist das Feld q p von p -adic Zahlen . Der Satz von Ostrowski zeigt, dass jeder nichttriviale Absolutwert ℚ topologisch entweder dem üblichen Absolutwert oder einem Absolutwert p -adic äquivalent ist . (Q,dp){\ displaystyle \ left (\ mathbb {Q}, d_ {p} \ right)}

Referenz

1. Das heißt, sie haben die Zahl 1 als einzigen positiven gemeinsamen Teiler
2. Jean C. Baudet (2005), Mathematik und Wahrheit. Eine Philosophie der Zahlen , Paris, hrsg. L'Harmattan, Coll. "Philosophische Ouvertüre", ( ISBN  978-2-296-39195-6 ) , Teil "Aber was ist eine Zahl?" “, Kap. "Die Zahlenreihen", Anm. 11, S. 124  : „Die Menge der rationalen Zahlen wird im Allgemeinen mit dem Buchstaben Q bezeichnet. […] Notation von Giuseppe Peano 1895 vorgeschlagen, aus dem italienischen Quoziente (Quotient). "

Siehe auch

Stern-Brocot-Baum