Quotientenmodul

In der Mathematik ist ein Quotientenmodul der Modul , der durch Quotientieren eines Moduls an einem Ring durch eines seiner Submodule erhalten wird .

Definition

Lassen Sie M ein Modul auf einem Ring A und N ein Modul von M .

Da die Gruppe ( M , +) abelisch ist , ist ihre Untergruppe ( N , +) normal , wodurch die Quotientengruppe ( M / N , +) definiert werden kann.

Auf dieser Gruppe ( M / N , +), die abelisch ist, gibt es eine einzigartige externe Gesetzgebung , die M / N zu einem A- Modul macht, so dass die kanonische Projektion nicht nur ein Morphismus von Gruppen ist , sondern ein Morphismus von A - Module: ${\ displaystyle \ pi: M \ rightarrow M / N}$

{\ displaystyle \ forall a \ in A, ~ \ forall m \ in M, \ qquad a. (m + N) = (am) + N ~.}

Beispiele

M / M ist das triviale Modul {0}.
M / {0} ist isomorph zu M .
Wenn M in den Ring gleich A (wie auf der linken Modul selbst zu sehen ist ), dessen Teilmodule sind Ideale links von A . Der Quotientenmodul von A durch ein zweiseitiges Ideal I ist der Quotientenring A / I , gesehen als A- Modul.
Wenn I ein zweiseitiges Ideal von A ist , moduliert die Struktur von A den Quotienten von M durch das Submodul

{\ displaystyle IM = \ {\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} m_ {j} ~ | ~ n \ in \ mathbb {N}, ~ a_ {1}, \ ldots, a_ { n} \ in I, ~ m_ {1}, \ ldots, m_ {n} \ in M ​​\}}

wird durch seine natürliche A / I- Modulstruktur induziert .

Eigenschaften

Jeder Morphismus von A- Modulen, deren Kern N enthält, wird von M / N eindeutig berücksichtigt , dh es gibt einen einzigartigen Morphismus von A- Modulen, so dass . ${\ displaystyle f: M \ rightarrow L}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}}: M / N \ bis L}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}} \ circ \ pi = f}$