Gesetz der Zusammensetzung

In der Mathematik , und genauer in allgemeinen Algebra , da zwei Sätze E und F , eine Zusammensetzung Gesetz (oder einfach Gesetz ) auf E ist entweder eine Karte von F × E in E , oder eine Karte von E × F in E . Mit anderen Worten ist es eine binäre Operation, für die die Menge E stabil ist .

Es gibt zwei Arten von Kompositionsgesetzen:

wenn F = E, sprechen wir vom internen Kompositionsgesetz ;
wenn F ≠ E ist, sprechen wir von einem externen Kompositionsgesetz .

In der Praxis verwenden viele Autoren "Gesetz der Komposition" als Synonym für "Gesetz der inneren Komposition" (z. B. Bourbaki und Lang).

Die internen und externen Kompositionsgesetze dienen dazu, algebraische Strukturen zu definieren , die in der allgemeinen Algebra einen privilegierten Platz einnehmen .

Detaillierte Definition

Ein Zusammensetzungsgesetz * : E × F → G mit G = E oder G = F ist eine Abbildung von E × F nach G, die mit jedem Paar ( x , y ) von E × F assoziiert ist , einem Element von G, das üblicherweise bezeichnet wird " x * y " (anstelle der funktionalen Notation "* ( x , y )") und eine Verbindung von x und y oder das Produkt von x und y genannt .

x und y werden manchmal als Operanden qualifiziert , weil ein Gesetz nichts anderes als eine binäre Funktion ist , daher ein besonderer Fall der Operation (dh einer n-fachen Funktion).

G muss gleich E oder F sein . Etwas präziser :

wenn E = F = G , wird das Gesetz *: E × E → E das Gesetz der inneren Zusammensetzung in E genannt ;
wenn E ≠ F und G = F , wird das Gesetz *: E × F → F das Gesetz der äußeren Zusammensetzung links auf F oder das Gesetz der äußeren Zusammensetzung genannt , und E ist dann die Domäne der Operatoren ;
wenn E ≠ F und G = E , wird Gesetz *: E × F → E das Gesetz der externen Zusammensetzung direkt auf der E- Domäne F genannt .

Interne Kompositionsgesetze

Zusammenfassung

Interne Zusammensetzung Gesetze (manchmal auch als „interne Gesetze“ genannt) sind Anwendungen von E × E → E . Sie werden verwendet, um die in der allgemeinen Algebra untersuchten algebraischen Strukturen zu definieren : Gruppen , Ringe , Felder usw.

Ein internes Kompositionsgesetz kann verschiedene Eigenschaften haben: Kommutativität , Assoziativität usw.

Beispiele für interne kommutative Zusammensetzungsgesetze

die Zugabe in , , , oder $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
die Multiplikation in , , , oder . $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
jedes Gesetz einer abelschen Gruppe
jedes additive Gesetz eines Rings
jedes additive Gesetz eines Feldes
jedes additive Gesetz eines Vektorraums
jedes multiplikative Gesetz eines kommutativen Rings
jedes multiplikative Gesetz eines kommutativen Feldes

Andere Beispiele für interne Zusammensetzungsgesetze

die Subtraktion in , , oder $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
die Division in , oder ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ mathbb {C}} ^ {*}$
die Matrixmultiplikation
die Komposition funktioniert
jedes Gesetz einer Gruppe
jedes multiplikative Gesetz eines Rings
jedes multiplikative Gesetz eines Körpers

Externe Kompositionsgesetze

Zusammenfassung

Laws externe Zusammensetzung (manchmal auch als "externe Gesetze" genannt) sind Anwendungen , F × E → E . Sie dienen auch dazu, die in der allgemeinen Algebra untersuchten algebraischen Strukturen zu definieren .

Im Gegensatz zu einem internen Kompositionsgesetz umfasst ein externes Kompositionsgesetz jedoch Elemente von außen, die als Operatoren oder Skalare bezeichnet werden . Ein externes Zusammensetzungsgesetz kann daher als eine Operation von F auf E angesehen werden . Wir sagen dann, dass " F auf E arbeitet ".

Beispiele für externe Zusammensetzungsgesetze

Die gesamte Potenzierung reeller Zahlen ist ein Gesetz von in . ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {R}$
Für K - Vektorraum E , die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ist ein Gesetz von K × E in E .

Notationen

Es gibt verschiedene Notationen für die Kompositionsgesetze:

am gebräuchlichsten ist die Infixnotation ; Es erfordert die Verwendung von Klammern, um die Reihenfolge der Ausführung von Operationen anzugeben, wenn mehrere vorhanden sind:

{\ displaystyle x * y}

das Symbol des Gesetzes wird manchmal weggelassen, die Multiplikation wird zum Beispiel oft durch einfaches Nebeneinander notiert:

{\ displaystyle xy}

Die Präfix- oder polnische Notation benötigt keine Klammern:

{\ displaystyle * xy}

, manchmal

{\ displaystyle * x, y}

Die Suffixnotation oder die umgekehrte Politur verzichtet ebenfalls auf Klammern:

{\ displaystyle xy *}

, manchmal

{\ displaystyle x, y *}

Siehe auch

Anmerkungen

vgl. Bourbaki p. A I.1
vgl. Lang p. 3.

Verweise

N. Bourbaki , Elemente der Mathematik , vol. II: Algebra, Kapitel 1 bis 3 , Berlin, Springer,1970( Repr. 2007), 2 th ed. ( ISBN 978-3-540-33849-9 , Online-Präsentation ).
(en) Serge Lang , Algebra , New York / Berlin / Heidelberg usw., Springer, Slg. "Grundlagentexte in Mathematik",2002( Repr. 2010), 3 e ed. 914 p. ( ISBN 0-387-95385-X , online lesen ).