In Mathematik und insbesondere in allgemeinen Algebra , der Kern eines morphism misst die nicht injectivity einen morphism.
In vielen Fällen ist der Kern eines Morphismus eine Teilmenge der Morphismus- Definitionsmenge : die Menge der Elemente, die an das neutrale Element der Ankunftsmenge gesendet werden . In allgemeineren Kontexten wird der Kernel als Äquivalenzrelation auf dem Definitionssatz interpretiert : die Relation, die die Elemente verbindet, die vom Morphismus auf dasselbe Bild gesendet werden .
In jeder dieser Situationen ist der Kernel genau dann trivial, wenn der Morphismus injektiv ist. In der ersten Situation bedeutet " trivial ", nur aus dem neutralen Element zu bestehen , während in der zweiten Situation bedeutet, dass die Beziehung Gleichheit ist .
Der Kern eines Morphismus f wird als Ker ( f ) oder Ker ( f ) bezeichnet. Diese Abkürzung stammt vom englischen Wort kernel, was "Kern" bedeutet (im wahrsten Sinne des Wortes : Die Analogie hat sich von einer Sprache zur anderen verbreitet).
Dieser Artikel enthält verschiedene Definitionen des Kerns für die am häufigsten verwendeten Arten von Morphismen.
Der Kern eines Gruppenmorphismus f einer Gruppe G zur Gruppe M besteht aus allen Elementen G , die von f auf das Identitätselement e H von H gesendet werden . Formal:
Der Kern ist eine Untergruppe von G .
Einer der Isomorphismus-Sätze besagt, dass die Quotientengruppe G / ker ( f ) isomorph zum Bild von f ist . Dieser Isomorphismus wird durch f selbst induziert . Ein etwas allgemeinerer Satz ist der Faktorisierungssatz von Morphismen.
Der Morphismus der Gruppen f ist genau dann injektiv, wenn sein Kern die triviale Gruppe ist .
Entsprechend den Eigenschaften des reziproken Bildes ist der Kern eines zusammengesetzten Morphismus gleich:
Wenn f eine lineare Abbildung von einem Vektorraum V auf einen Vektorraum W ist , wird der Kern von f durch definiert
Der Kern ist ein Unterraum des Vektorraums V , und der Quotientenvektorraum V / ker ( f ) ist isomorph zum Bild von f ; Insbesondere bezieht sich der Rangsatz auf die Dimensionen :
Die lineare Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn ker ( f ) = {0} ist.
Wenn V und W endliche dimensionale Vektorräume auf einem kommutativen Feld K mit den jeweiligen Dimensionen n und p sind und wenn Basen dieser Räume angegeben sind, kann f durch eine Matrix dargestellt werden , und der Kern kann durch Lösen des Homogenen bestimmt werden lineares Gleichungssystem M X = 0.
In dieser Darstellung entsprechen die Lösungen dieses Systems den Koordinaten der Kernvektoren f , aber auch dem Kern des Vektors der linearen Abbildung, der kanonisch mit der Matrix M assoziiert ist .
Die Kerngröße wird durch die Anzahl der Spalten der gegebene M dest den Rang von M .
Das Lösen homogener Differentialgleichungen führt häufig zur Bestimmung des Kerns einer bestimmten linearen Karte .
Zum Beispiel, wenn wir die doppelt differenzierbaren Funktionen f von R nach R so bestimmen wollen, dass
wir müssen den Kern der linearen Karte betrachten , wobei V der Vektorraum aller Funktionen ist, die zweimal von R nach R differenzierbar sind , W der Vektorraum aller Funktionen von R nach R ist und das Bild durch d 'ein Element f von V definiert ist durch die Bedingung
Der Kern eines Ringmorphismus f von einem Ring A in einen Ring B besteht aus allen Elementen x von A, für die f ( x ) = 0. Formal:
Der Kern ist ein zweiseitiges Ideal von A .
Der oben erwähnte Isomorphismus-Satz für Gruppen und Vektorräume bleibt bei Ringen gültig.
Der Kern eines Körpermorphismus (d. H. Ein Ringmorphismus, bei dem die betrachteten Ringe Körper sind ) wird immer auf das neutrale Element 0 reduziert, so dass jeder Körpermorphismus injektiv ist.
Auf einem realen Vektorraum E ist eine quadratische Form eine Polynomkarte, die vom Grad 2 homogen ist. Sie ist der symmetrischen bilinearen Form zugeordnet
.Der Kern von q ist der Vektorunterraum
Die Kontraktion von B um v bezeichnet die lineare Karte , und N erscheint als Kern der linearen Karte
Das Bild ist ein Unterraum des Doppelraums E *, der der Canceller des Kerns N ist .
Alle diese Begriffe von Kerneln werden im Rahmen der Theorie der abelschen Kategorien verallgemeinert .
Die komplexe Exponentialfunktion exp ist ein Beispiel für Gruppenmorphismus von (ℂ, +) bis (ℂ *, ×). Sein Kernel ist die Menge komplexer Zahlen z, so dass e z = 1 ist .
Wenn wir es bemerken , bekommen wir
wovon