Projektives Modul

In der Mathematik ist ein Projektivmodul ein Modul P (zum Beispiel links) an einem Ring A, so dass für jeden surjektiven Morphismus f : N → M zwischen zwei A- Modulen (links) und für jeden Morphismus g : P → gilt M , es existiert ein Morphismus h : P → N, so dass g = fh ist , d. H. So, dass das folgende Diagramm pendelt :

Mit anderen Worten, P ist projektiv, wenn für jedes Modul N ein Morphismus von P zu einem Verhältnis von N Faktoren durch N vorliegt .

Eigenschaften

Die A- Module sind projektive projektive Objekte (in) der abelschen Kategorie der A- Module: P ist genau dann projektiv, wenn der Funktor Hom ( P ,) (kovariante links exakt) genau ist .
Ein Modul ist genau dann projektiv, wenn es ein direkter Faktor in einem freien Modul ist .
Daher ist jeder Projektionsmodul flach . Die Umkehrung ist falsch, aber jedes flache Modul mit endlicher Präsentation ist projektiv.
Auf einem Dedekind - Ring A jede projektiven Modul endlichen Typs isomorph zu A n ⊕ I für ein ideales I von A .
Auf einem Noether-Ring ist ein endlicher Modul genau dann projektiv, wenn er lokal frei ist.
Nach dem Quillen-Suslin-Theorem (en) ist an einem Ring von Polynomen A [ X 1 , ..., X n ], wobei A ein Hauptring ist (zum Beispiel ein kommutatives Feld), jeder projektive Modul endlichen Typs frei . Diese Eigenschaft ist auch genau, wenn A ein kommutativer Bézout- Ring oder ein Bewertungsring ist und wenn A ein kommutatives Feld ist, wenn der obige Ring von Polynomen durch den Ring von Laurent-Polynomen A [ X 1 ,…, X ersetzt wird n , Y 1 ,…, Y m , Y 1 –1 ,…, Y m –1 ]. Siehe auch den Artikel Anneau d'Hermite .
Wenn A a ist Noetherian kommutativer Ring ohne ein nicht-triviale idempotent ( dh e 2 = e Das bedeutet , e = 0 oder 1), mit anderen Worten, wenn sein Spektrum für Zariski Topologie verbunden ist, jedes nicht-finite projektive Modulus auf A ist kostenlos.
Auf einem lokalen Ring ist jedes projektive Modul kostenlos.

Rang

Für jeden projektiven Modul von endlichem Typ P auf einem kommutativen Ring A , der Rang von A p -freie Modul P p ist der Rang der genannten P auf P , und P ist der vom Rang n , wenn sein Rang in allen p ist n .

Anmerkungen und Referenzen

Anmerkungen

(in) Daniel Quillen , " Projektive Module über Polynomringe " , Invent. Mathematik. , Vol. 36, n o 1,1976, p. 167-171 ( DOI 10.1007 / BF01390008 )
Daniel Ferrand , „ Projektive Module endlichen Typs auf einem Ring von Polynomen auf einem Feld sind frei “, Séminaire Bourbaki , vol. 18, n o 484,Juni 1976, p. 202-221 ( online lesen )
(in) Tsit Yuen Lam , Serres Problem mit projektiven Modulen , Berlin, Springer,2006414 p. ( ISBN 978-3-540-23317-6 ), p. 334 und Kap. V, Cor. 4.10
(in) Hyman Bass , " Große projektive Module sind kostenlos " , Illinois J. Math. , Vol. 7, n o 1,1963, p. 24-3, Folgerung 4.5 ( online lesen )
(in) Irving Kaplansky , " Projektive Module " , Annals of Mathematics , vol. 68,1958, p. 372-377
(en) N. Bourbaki , Kommutative Algebra : Kapitel 1-7 , Springer,1998625 p. ( ISBN 978-3-540-64239-8 , online lesen ) , p. 111-112Kap. II, § 5.3

Referenz