Lokaler Ring

In der Mathematik und insbesondere in der kommutativen Algebra ist ein lokaler Ring ein kommutativer Ring mit einem eindeutigen Maximalideal . In der algebraischen Geometrie repräsentieren lokale Ringe Funktionen, die in der Nähe eines bestimmten Punktes definiert sind.

Definitionen

Der Quotient eines lokalen Rings A mit seinem einzigartigen Maximalideal wird als Restfeld von A bezeichnet .

Ein lokaler Ringhomomorphismus ist ein Ringmorphismus, der das maximale Ideal von in das von sendet . $f: A \ bis B.$ $BEIM$ $B.$

Hinweis : Für einige Autoren wird ein Ring mit einem eindeutigen Maximalideal als quasi-lokal bezeichnet, wodurch der Name lokaler Ringe für quasi-lokale Noether - Ringe reserviert wird . Diese Konvention ist jedoch nicht weit verbreitet.

Beispiele

Jedes kommutative Feld ist ein lokaler Ring von maximalem Ideal . ${\ displaystyle (0)}$
Für jede Primzahl ist die Menge der rationalen Zahlen, deren Nenner nicht durch teilbar ist, ein lokaler Ring; sein einzigartiges maximales Ideal ist . Dieser Ring ist auch Hauptring, er entspricht einer diskreten Bewertungsringstruktur . $p$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)}}$ $p$ ${\ displaystyle p \ mathbb {Z} _ {(p)}}$
Jede Bewertung Ring ist lokal.
Für jedes kommutative Feld ist der Ring formaler Reihen mit Koeffizienten in und mit Variablen ein lokaler Ring, dessen maximales Ideal durch erzeugt wird . $K.$ ${\ displaystyle K [[X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]]}$ $K.$ $nicht$ $X_1, \ ldots, X_n$
Der Ring aus Samen von holomorphen Funktionen mit n Variablen , die am Ursprung (0, ..., 0) ist ein Ring , dessen maximale örtliche ideal ist durch die holomorphe Funktionen induziert seitig am Ursprung Cancelling. Wir können die holomorphen Funktionen auch durch die Funktionen der Klasse C k für jede feste ganze Zahl k positiv oder null ersetzen .

Kriterium

Ein Ring A ist genau dann lokal, wenn die nicht invertierbaren Elemente von A ein Ideal bilden (das dann das maximale Ideal von A ist ).

Konstruktionen

Der Lokalisierungsprozess bewirkt , dass lokale Ringe auf natürliche Weise erscheinen. In der Tat, wenn es sich um ein Hauptideal von handelt , dann ist das in Bezug auf den multiplikativen Teil A \ P lokalisierte von ein lokaler Ring des maximalen Ideals, das durch das Bild von in erzeugt wird . Das Beispiel der obigen Rationalen ist die Lokalisierung im Hauptideal . $P.$ $BEIM$ ${\ displaystyle A_ {P}}$ $BEIM$ $P.$ ${\ displaystyle A_ {P}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)}}$ $\ mathbb {Z}$ ${\ displaystyle p \ mathbb {Z}}$

Der Quotient eines lokalen Rings durch ein geeignetes Ideal ist immer noch ein lokaler Ring.

Eigenschaften

In einem lokalen Ring ist jedes invertierbare Ideal das Prinzip .

Ein einheitlicher kommutativer Ring wird als semi-lokaler (en) Ring bezeichnet, wenn er nur eine endliche Anzahl maximaler Ideale aufweist. Die direkte Summe einer endlichen Anzahl lokaler Ringe ist semi-lokal. Wenn das Komplement der Vereinigung einer endlichen Anzahl von Primidealen in einem einheitlichen kommutativen Ring ist , dann ist das Lokalisierte semi-lokal. Seine maximalen Ideale sind die Ideale, die durch die Bilder von erzeugt werden (wir behalten nur den Inhalt in keinem anderen ). $S.$ ${\ displaystyle P_ {1}, \ ldots, P_ {n}}$ $BEIM$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $Pi$ $Pi$ $P_ {j}$

Anmerkungen und Referenzen

(in) Masayoshi Nagata , Lokale Ringe , p. 13.
Jean-Pierre Serre , Lokales Korps [ Detail der Ausgaben ], p. 21.

Zum Thema passende Artikel

Abschluss (Ringtheorie )
Jacobson Radical