Lognormalverteilung

Log-Normalgesetz
Wahrscheinlichkeitsdichte μ = 0


Verteilungsfunktion μ = 0

die Einstellungen	$\ sigma> 0$ $- \ infty <\ mu <\ infty$
Unterstützung	${\ displaystyle] 0; + \ infty [\!}$
Wahrscheinlichkeitsdichte	${\ frac {1} {x \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}} \ exp \ left (- {\ frac {\ left [\ ln (x) - \ mu \ right] ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right)$
Verteilungsfunktion	${\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ mathrm {erf} \ left [{\ frac {\ ln (x) - \ mu} {\ sigma {\ sqrt {2 }}}} \ Recht]$
Hoffen	$e ^ {\ mu + \ sigma ^ {2} / 2}$
Median	$e ^ {\ mu}$
Mode	$e ^ {\ mu - \ sigma ^ {2}}$
Varianz	$(e ^ {\ sigma ^ {2}} \! \! - 1) e ^ {2 \ mu + \ sigma ^ {2}}$
Asymmetrie	$(e ^ {\ sigma ^ {2}} \! \! + 2) {\ sqrt {e ^ {\ sigma ^ {2}} \! \! - 1}}$
Normalisierte Kurtosis	$e ^ {4 \ sigma ^ {2}} \! \! + 2e ^ {3 \ sigma ^ {2}} \! \! + 3e ^ {2 \ sigma ^ {2}} \! \! - 6$
Entropie	${\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ pi \ sigma ^ {2}) + \ mu$

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und -statistik soll eine Zufallsvariable X einer logarithmischen Normalverteilung von Parametern folgen, und wenn die Variable einer Normalverteilung von Erwartung und Varianz folgt . $\ mu$ $\ sigma ^ {2}$ $Y = \ ln (X)$ $\ mu$ $\ sigma ^ {2}$

Dieses Gesetz wird manchmal Galtons Gesetz genannt . Dies wird normalerweise bei einer einzelnen Variablen oder in einem mehrdimensionalen Kontext festgestellt . $\ operatorname {Log - {\ mathcal {N}}} (\ mu, \, \ sigma ^ {2})$ $\ operatorname {Log - {\ mathcal {N}}} (\ mu, \, \ Sigma)$

Eine Variable kann durch eine logarithmische Normalverteilung modelliert werden, wenn sie das Ergebnis der Multiplikation einer großen Anzahl kleiner unabhängiger Faktoren ist.

Charakterisierung

Dichte

Die logarithmische Normalverteilung von Parametern und lässt die Wahrscheinlichkeitsdichte zu $\ mu$ $\ sigma$

{\ displaystyle f_ {Y} (x; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {x \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}} \ exp \ left (- {\ frac {(\ ln x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) = {\ frac {1} {x}} f_ {X} (\ ln (x); \ mu, \ Sigma)}

für . Die Parameter und sind die Erwartung und die Standardabweichung des Logarithmus der Variablen (da per Definition der Logarithmus der Variablen nach einem normalen Gesetz der Erwartung und Standardabweichung verteilt ist ). $x> 0$ $\ mu$ $\ sigma$ $\ mu$ $\ sigma$

Verteilungsfunktion

Durch die Integration der Dichtefunktion kommt es dazu, dass die Verteilungsfunktion als Funktion der Fehlerfunktion $erf$ ausgedrückt wird :

{\ displaystyle F_ {X} (x; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ mathrm {erf} \ left [{\ frac { \ ln (x) - \ mu} {\ sigma {\ sqrt {2}}} \ right] = F_ {Y} (\ ln (x); \ mu, \ sigma).}

Momente

Alle Momente existieren und sind gegeben durch:

\ mu _ {k} = e ^ {k \ mu + k ^ {2} \ sigma ^ {2} / 2}.

Erwartung und Standardabweichung

Die Hoffnung ist

\ mathrm {E} (X) = e ^ {\ mu + \ sigma ^ {2} / 2}

und die Varianz ist

\ mathrm {Var} (X) = (e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1) e ^ {2 \ mu + \ sigma ^ {2}}. \,

Äquivalente Beziehungen ermöglichen es , die Erwartung und die Standardabweichung zu erhalten und zu geben: $\ mu$ $\ sigma$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} \ mu & = \ ln (\ mathrm {E} (X)) - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \\\ sigma ^ {2} & = \ ln \ left (1 + {\ frac {\ mathrm {Var} (X)} {(\ mathrm {E} (X)) ^ {2}}} \ right) \ end {ausgerichtet }} \ Recht.}

Andere Beziehungen

\ mathrm {Cov} (X, Y) = \ mathrm {E} (X) \, \ sigma ^ {2} (Y)

\ mathrm {Cov} (X, Z) = \ mathrm {E} (X) \, \ mathrm {Cov} (Y, Z)

\ mathrm {Cor} (X, Z) = \ mathrm {Cor} (Y, Z) \, \ sigma (Y) \, (e ^ {\ sigma ^ {2} (Y)} - 1) ^ {- 1/2}

wo irgendeine normale variable Varianz . $Z.$ $\ sigma ^ {2} (Z)$

Für zwei logarithmische Variablen werden die Beziehungen im folgenden mehrdimensionalen Kontext angezeigt.

Dichteverhalten

Es reicht aus, die Dichte aus der logarithmischen Normalverteilung abzuleiten , um die folgenden Ergebnisse zu überprüfen:

Bei x = 0 ist die Singularität der Dichte nur sichtbar, weil sie erfüllt

{\ displaystyle \ lim _ {x \ bis 0+} f_ {X} (x; \ mu, \ sigma) = 0.}

Die Funktion kann somit kontinuierlich auf 0 erweitert werden, indem ihr der Wert 0 zugewiesen wird. Wenn der Wert des Modus sehr niedrig ist ( und wie in der obigen Kassette), scheint der Dichtediagramm bei 0 zu divergieren, was formal nicht der Fall ist.

\ mu = 0 \,

\ sigma = 10 \,

Wie durch seinen Modus angezeigt , lässt die Dichte ein Maximum dort zu, wo ihr Wert erreicht wird $x_ {m} = \ exp (\ mu - \ sigma ^ {2})$

{\ displaystyle f_ {X} (x_ {m}; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ exp \ left ({\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} - \ mu \ right).}

Mehrdimensionale logarithmische Normalverteilung

Ein Zufallsvektor soll einer mehrdimensionalen logarithmischen Normalverteilung von Parametern folgen, und wenn der Vektor (Komponente für Komponente) einer mehrdimensionalen Normalverteilung folgt , deren Erwartungsvektor und Kovarianzmatrix ist . ${\ boldsymbol {X}}$ ${\ boldsymbol {\ mu}} \ in \ mathbb {R} ^ {N}$ ${\ boldsymbol {\ Sigma}} \ in {\ mathcal {M}} _ {N} (\ mathbb {R})$ ${\ boldsymbol {Y}} = \ ln ({\ boldsymbol {X}})$ ${\ boldsymbol {\ mu}}$ ${\ boldsymbol {\ Sigma}}$

Dieses Gesetz wird normalerweise beachtet . $\ operatorname {Log - {\ mathcal {N}}} ({\ boldsymbol {\ mu}}, \, {\ boldsymbol {\ Sigma}})$

Die Wahrscheinlichkeitsdichte und die Verteilungsfunktion sind wie folgt:

f _ {{\ boldsymbol {X}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}}} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = {\ frac {1} { \ prod _ {i = 1} ^ {N} x_ {i}}} \; f _ {{\ boldsymbol {Y}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}}} \ links (\ ln ({\ boldsymbol {x}}) \ rechts)

wo ist die Dichte von .

f _ {{\ boldsymbol {Y}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}}} ()

{\ boldsymbol {Y}}

F _ {{\ boldsymbol {X}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}}} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = F _ {{\ boldsymbol { Y}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}}} \ left (\ ln ({\ boldsymbol {x}}) \ right)

wo ist die Verteilungsfunktion von .

F _ {{\ boldsymbol {Y}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}}} ()

{\ boldsymbol {Y}}

Die Erwartungen und Kovarianzen ergeben sich aus den Beziehungen (auch im entarteten Fall gültig):

\ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \ right) = e ^ {{\ boldsymbol {\ mu}} _ {i} + {\ frac {1} {2} } {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ii}},

\ operatorname {Cov} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i}, [{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right) = \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \ right) \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right) \; (e ^ {{\ boldsymbol {\ Sigma} } _ {ij}} - 1).

Elemente der Rechtfertigung

Eine Bewertung der Dichte von kann auf der informellen Definition der Dichte basieren , indem die von (mehrdimensionale Normalverteilung) nach der Änderung der Variablen ausgenutzt wird ${\ boldsymbol {X}}$ ${\ boldsymbol {Y}}$

[{\ boldsymbol {X}}] _ {i} = \ exp {\ left ([{\ boldsymbol {Y}}] _ {i} \ right)}.

Die Ausdrücke, die sich auf die Erwartung und auf die Kovarianz beziehen, werden aus der Generatorfunktion der Momente der mehrdimensionalen Normalverteilung abgeleitet, nämlich

M _ {\ boldsymbol {Y}} ({\ boldsymbol {t}}) = \ exp \ left ({\ boldsymbol {\ mu}} ^ {\ top} {\ boldsymbol {t}} + {\ frac {1 } {2}} {\ boldsymbol {t}} ^ {\ top} {\ boldsymbol {\ Sigma}} {\ boldsymbol {t}} \ right).

Mit der gleichen Änderung der Variablen erhalten wir jeweils

mit ( Kronecker-Symbol ): $t_ {k} = \ delta _ {ik}$ $\ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \ right) = \ exp \ left ({\ boldsymbol {\ mu}} _ {i} + {\ frac {1} { 2}} {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ii} \ right)$
mit : $t_ {k} = \ delta _ {ik} + \ delta _ {jk}$ $\ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \, [{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right) = \ exp \ left ({\ boldsymbol {\ mu}} _ {i} + {\ boldsymbol {\ mu}} _ {j} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ii} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {jj} + {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ij} \ right).$ Die Schlussfolgerung folgt aus $\ operatorname {Cov} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i}, [{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right) = \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \, [{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right) - \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \ right) \ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right).$

Anmerkungen :

Warnung: Der Oberbegriff Matrix hat nichts mit dem Exponential der Matrix zu tun $e ^ {{\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ij}}$ ${\ boldsymbol {\ Sigma}}.$
${\ boldsymbol {\ Sigma}}$ kann singulär sein (entarteter Fall), ohne notwendigerweise zu implizieren, dass dies der Fall ist. Beispiel: $VS$ ${\ boldsymbol {\ Sigma}} = {\ begin {pmatrix} 1 & -0,5 & 0,5 \\ - 0,5 & 1 & 0,5 \\ 0,5 & 0,5 & 1 \\\ end {pmatrix}}.$
Jeder positiven semidefiniten Matrix können wir einen normalen Vektor zuordnen, dessen Kovarianz es ist. Andererseits existiert nicht notwendigerweise ein logarithmischer Normalvektor, dessen Kovarianz es ist. In der Tat führt mit der Beziehung jede positive semidefinitive Matrix zu einer positiven semidefiniten Matrix , aber das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht der Fall. Ein Gegenbeispiel, bei dem es definitiv positiv ist, ist nicht: $C_ {ij} = e ^ {{\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ij}} - 1$ ${\ boldsymbol {\ Sigma}}$ $VS$ $VS$ ${\ boldsymbol {\ Sigma}}$ $C = {\ begin {pmatrix} 1 & -0,5 & 0,9 \\ - 0,5 & 1 & -0,5 \\ 0,9 & -0,5 & 1 \\\ end {pmatrix}}.$

Positivität der Kovarianz

Da die Beziehungen, die die Erwartungen und die Kovarianzen charakterisieren, aus der Funktion abgeleitet werden können, die die Momente des mehrdimensionalen Normalgesetzes erzeugt, muss die Kovarianzmatrix natürlich positiv semidefinit sein . Dieses Ergebnis wird hier direkt dargestellt.

Da die Erwartungen streng positiv sind, ist sie genau dann halb definitiv positiv, wenn dies der Fall ist: Es reicht aus, nur diese letzte Matrix zu berücksichtigen. Da die Positivität von die einzige Eigenschaft ist, die ausgenutzt wird, werden wir diese Matrix bemerken, die sich nicht mehr auf eine Kovarianz bezieht. $\ operatorname {E} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i} \ right)$ $\ operatorname {Cov} \ left ([{\ boldsymbol {X}}] _ {i}, [{\ boldsymbol {X}}] _ {j} \ right)$ $e ^ {{\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {ij}} - 1$ ${\ boldsymbol {\ Sigma}}$ $BEIM$

Lemma - Sei eine positive semidefinitive Matrix und eine positive ganze Zahl. Die durch definierte Matrix ist also auch. $BEIM$ $p$ $A ^ {{(p)}}$ $(A ^ {(p)}) _ {ij} = (A_ {ij}) ^ {p}$

Satz 1 - Wenn positiv halbbestimmt ist, ist es auch so. $BEIM$ $C_ {ij} = e ^ {A_ {ij}} - 1 \,$

Ergebnisse in Bezug auf das Spektrum der Anzeige von Grenzwerten für seine Eigenwerte : $VS$

Satz 2 - Lassen Sie das positive Halbbestimmte und bezeichnen Sie $BEIM$

$0 \ leq d _ {-} \ leq d _ {+}$ die Extremwerte der Diagonalkoeffizienten , $A _ {{ii}}$
$0 \ leq \ lambda _ {-} \ leq \ lambda _ {+}$ die extremen Eigenwerte von , $BEIM$
$0 \ leq \ lambda _ {-} ^ {(p)} \ leq \ lambda _ {+} ^ {(p)}$ die extremen Eigenwerte von , $A ^ {{(p)}}$
$0 \ leq \ mu _ {-} \ leq \ mu _ {+}$ die extremen Eigenwerte von $C_ {ij} = e ^ {A_ {ij}} - 1.$

$\ lambda _ {-} ^ {(p)} \, d _ {-} \ leq \ lambda _ {-} ^ {(p + 1)} \ leq \ lambda _ {+} ^ {(p + 1) } \ leq \ lambda _ {+} ^ {(p)} \, d _ {+},$
$\ lambda _ {-} \, e ^ {d _ {-}} \ leq \ mu _ {-} \ leq \ mu _ {+} \ leq \ lambda _ {+} \, e ^ {d _ {+ }}.$

Beweise

Beweis des Lemmas:

Da ist diagonalizable , kann es in der Form geschrieben werden , wobei eine orthogonale Matrix (deren Spalten die Eigenvektoren von ) und wo eine diagonale Matrix , deren Koeffizienten genau die Eigenwerte . $BEIM$ $A = ODO ^ {T}$ $Ö$ $BEIM$ $D.$ $BEIM$

Angenommen , durch Induktion , die positiv ist. Für jeden Vektor können wir schreiben $p$ $A ^ {{(p)}}$ $x$

x ^ {T} A ^ {(p + 1)} x = \ sum _ {ij} (A_ {ij}) ^ {p + 1} x_ {i} x_ {j} = \ sum _ {ij} ( A_ {ij}) ^ {p} A_ {ij} \, x_ {i} x_ {j} = \ sum _ {ijk} (A_ {ij}) ^ {p} \, (O_ {ik} D_ {k } O_ {jk}) \, x_ {i} x_ {j} =

= \ sum _ {k} D_ {k} \ sum _ {ij} (A_ {ij}) ^ {p} \, (O_ {ik} x_ {i}) \, (O_ {jk} x_ {j} ) = \ sum _ {k} \, D_ {k} \, (y ^ {(k)}) ^ {T} \, A ^ {(p)} \, y ^ {(k)} \ geq 0

wo ist ein Vektor definiert durch $y ^ {{(k)}}$ $y_ {i} ^ {(k)} = O_ {ik} \, x_ {i}.$

Die Ungleichung ergibt sich aus der Positivität von (involvierend ) und der von Induktionshypothese. $BEIM$ $D_ {k} \ geq 0$ $A ^ {{(p)}}$

Diese Ungleichung zeigt, dass die Positivität Schritt für Schritt erhalten bleibt.

Beweis von Satz 1:

Es genügt zu bemerken, dass es sich um eine Summe positiver semi-definierter Matrizen durch die Beziehung handelt $VS$

C = \ sum _ {p \ geq 1} {\ frac {1} {p!}} A ^ {(p)}.

Beweis von Satz 2:

Ausgehend von der Gleichheit des Lemmas, wo ein Eigenvektor der Norm 1 für den kleinsten Eigenwert ist , zeichnen wir $x$ $A ^ {{(p)}}$ $\ lambda _ {-} ^ {(p + 1)}$

\ lambda _ {-} ^ {(p + 1)} = \ sum _ {k} \, D_ {k} \, (y ^ {(k)}) ^ {T} \, A ^ {(p) } \, y ^ {(k)} \ geq \ lambda _ {-} ^ {(p)} \ sum _ {k} \, D_ {k} \, \ left \ | y ^ {(k)} \ rechts \ | ^ {2} = \ lambda _ {-} ^ {(p)} \ sum _ {i} \, A_ {ii} \, (x_ {i}) ^ {2} \ geq \ lambda _ { -} ^ {(p)} \, d _ {-}.

Nach dem gleichen Verfahren leiten wir den Punkt 1 ab. $\ lambda _ {+} ^ {(p + 1)}$

Schließlich genügt es, die im Beweis von Satz 1 angegebene Entwicklung erneut zu nehmen , um Punkt 2 zu zeigen. $VS$

Hinweis: Angesichts der abrupten Verringerungen (insbesondere der zweiten Ungleichung) sind die erhaltenen Grenzwerte nicht optimal .

Gibrats Gesetz

Historisch als das Gesetz des proportionalen Effekts bezeichnet , dann manchmal als logarithmisches Normalgesetz mit 3 Parametern , ist dieses Gesetz eine Verallgemeinerung des logarithmischen Normalgesetzes, das durch Hinzufügen einer einfachen Übersetzung durch Setzen erhalten wird

Y = \ ln (X-X_ {0})

Es wird notiert und betrifft nur Werte. Seine Verwendung sollte auf Situationen beschränkt sein, in denen diese Untergrenze eine physikalische Bedeutung hat und deren Wert bekannt ist. $\ operatorname {Log - {\ mathcal {N}}} (X_ {0}, \, \ mu, \, \ sigma ^ {2})$ $X> X_ {0}.$

Anwendungsbereiche

Finanzmärkte

Die logarithmische Normalverteilung wird häufig in quantitativen Analysen verwendet , um den Verlauf der Finanzinstrumente (einschließlich Aktien , Wechselkurse , Zinssätze ) darzustellen . Mit dem mehrdimensionalen Gesetz ist es möglich, Modelle vorzustellen, die unterschiedliche Wertpapiere und ihre Korrelationen berücksichtigen , wodurch es möglich wird, die Risiken eines Portfolios zu verstehen und zu quantifizieren .

Da die Preise nicht negativ sind, ist es wichtig, ihre Abweichungen in relativer Form (in Prozent) auszudrücken. In erster Näherung werden die Preise durch eine logarithmische Normalverteilung beschrieben.

Ein tieferer Grund liegt jedoch in der Schätzung der Volatilität des Aktienkurses, die durch die Standardabweichung der Rendite definiert werden kann :

Wenn der Preis eines Angebots während eines Zeitraums von einem Tag von P1 auf P2 steigt , beträgt die tägliche Rendite r = P2 / P1 -1 und bei dieser Rate der kontinuierliche Ausdruck der zufriedenen jährlichen Rendite R ( T = 365 Tage). ::

e ^ {R} = (1 + r) ^ {T} = (P_ {2} / P_ {1}) ^ {T}, \; dh \; R = T \, [\ ln (P_ {2} ) - \ ln (P_ {1})].

Wir sehen dann den Zusammenhang zwischen der Volatilität und der Zufallsvariablen, die den Logarithmus des Preises beeinflusst. $\ sigma (R)$

Andere Gebiete

Die Anzahl der Wörter in einem Satz kann durch eine logarithmische Normalverteilung modelliert werden.
Die Einkommensverteilung in der Bevölkerung kann auch durch eine logarithmische Normalverteilung angenähert werden.
In der Biologie kann es verwendet werden, um das Gewicht lebender Organismen zu modellieren.
In der Hydrologie fließen monatlich kleine Wassereinzugsgebiete mit Niederschlagsregimen .
In der Genomik wurde beobachtet, dass die Mutationsraten entlang der Chromosomen variieren und ihre Verteilung durch eine logarithmische Normalverteilung angenähert werden kann.
In der Strömungsmechanik liefert das logarithmische Normalgesetz eine gute Annäherung an die Tropfengrößenverteilungsfunktion am Auslass eines Aerosols oder eines Sprühstrahls.

Anmerkungen und Referenzen

Bernard Delmas, Descriptive Statistics , Paris, Nathan, 1996, p. 143 .
Stéphane Tufféry, Data Mining und Entscheidungsstatistik: Data Intelligence , p. 347 in Google Books .

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