Berechnung von Vorschlägen

Das Kalkül von Sätzen oder Aussagenkalkül ist ein Teil der mathematischen Logik . Es zielt darauf ab, die logischen Beziehungen zwischen "Aussagen" zu untersuchen und definiert die formalen Gesetze, nach denen komplexe Aussagen gebildet werden, indem einfache Aussagen mit Hilfe von logischen Konnektoren zusammengesetzt und diese zu einer gültigen Argumentation verkettet werden. Es ist eines der formalen Systeme , Säulen der mathematischen Logik, von denen es bei der Formulierung von Konzepten hilft. Sie gilt als die moderne Form der stoischen Logik .

Allgemeine Einführung

Der Begriff der Proposition war im Laufe der Geschichte der Logik Gegenstand vieler Debatten ; die Konsensidee ist, dass ein Satz eine syntaktische Konstruktion ist , die von der Wahrheit sprechen soll. In der mathematischen Logik ist die Berechnung von Aussagen der erste Schritt bei der Definition von Logik und Argumentation. Es definiert die Deduktionsregeln, die die Sätze miteinander verbinden, ohne ihren Inhalt zu prüfen; es ist somit ein erster Schritt in der Konstruktion der Prädikatenkalküle , die sich für den Inhalt der Aussagen interessiert und eine abgeschlossene Formalisierung des mathematischen Denkens darstellt . Der Kalkül oder Aussagenkalkül wird immer noch Aussagenlogik , Aussagenlogik oder Aussagerechnung genannt .

Definition eines Vorschlags

Obwohl es bei der Berechnung von Aussagen nicht um den Inhalt von Aussagen geht, sondern nur um ihre Beziehungen, kann es interessant sein, zu diskutieren, was dieser Inhalt sein könnte. Eine Aussage gibt Auskunft über einen Sachverhalt. „2 + 2 = 4“ oder „das Buch ist offen“ sind also zwei Aussagen.

In der klassischen Logik ( bivalente Logik ) kann ein Satz nur die Werte wahr oder falsch annehmen . Ein optionaler Satz (der einen Wunsch ausdrückt wie „Möge Gott uns beschützen!“), ein Imperativsatz („komm!“, „Halt die Klappe!“) oder eine Frage ist kein Vorschlag. „Möge Gott uns beschützen! Kann weder wahr noch falsch sein: es drückt nur einen Wunsch des Sprechers aus.

Andererseits ist ein Satz wie "Bei dieser Berechnung sind alle Computervariablen immer streng positiv " ein Satz, dessen Inhalt durch den Quantor alle und die zeitliche Modalität immer modifiziert wurde und der sich daher als in Dauer erweisen soll . . Diese Art von Satz fällt unter die Modallogik und genauer gesagt unter die Zeitlogik . Tatsächlich behauptet die Modalität immer ihre Dauerhaftigkeit und wird daher immer wahr sein, während der Quantifizierer alle festlegt, dass die Aussagen immer positiv sind, gilt für alle datenverarbeitenden Variablen, was außerdem den Bereich der Berechnung von Vorschlägen überschreitet.

Satz und Prädikat

Wenn eine Aussage eine Aussage mit einem Wahrheitswert ist, ist ein Prädikat ein Ausdruck, dessen Wahrheitswert von den darin enthaltenen Variablen abhängt. Das Prädikat "Mein Land befindet sich in Europa" ist je nach Wert der Variablen "Mein Land" wahr, falsch oder unbestimmt. Wenn der Leser Schweizer ist, erhalten wir die Aussage „Die Schweiz liegt in Europa“ , was wahr ist; wenn der Leser Kanadier ist, erhalten wir die Aussage „Kanada liegt in Europa“ , was falsch ist; wenn der Leser Russe ist, erhalten wir den Satz „Russland liegt in Europa“, der unbestimmt ist, weil Russland bekanntlich rittlings auf Europa und Asien liegt.

Definition eines deduktiven Systems

Eine Berechnung oder ein deduktives System ist in der Logik ein Regelwerk, das es erlaubt, in endlich vielen Schritten und nach expliziten Regeln zu bestätigen, ob eine Aussage wahr ist. Ein solcher Vorgang wird als Demonstration bezeichnet . Wir verbinden mit den Sätzen auch eine mathematische Struktur, die es ermöglicht, die Bedeutung dieser Argumente oder Demonstrationen zu garantieren, wir sagen, wir haben ihr eine Semantik gegeben. In der klassischen Aussageberechnung verwendet diese Semantik nur zwei Werte, wahr und falsch (oft als 1 und 0 bezeichnet). Ein ganz bestimmter Satz (d. h. einer, von dem die Werte der Elementarbestandteile bestimmt werden) nimmt nur einen dieser beiden Werte an.

Struktur

In den Theorien der mathematischen Logik betrachten wir daher zwei sogenannte syntaktische und semantische Gesichtspunkte , dies ist in der Aussagenkalkül der Fall.

Syntax von Aussagenformeln : Dies beinhaltet die Definition der Sprache zum Berechnen von Aussagen durch die Regeln zum Schreiben von Aussagen.
Die Bedeutung von Aussagenformeln (die syntaktisch korrekte Ausdrücke sind) ergibt sich aus der Bedeutung der Konnektoren. Es kann auf zwei Arten beschrieben werden.
- Durch die Semantik : es ist eine Frage , hier die Symbole der Interpretation der logischen Verknüpfungen von Funktionen des Wahrheitswertes der grundlegenden Aussagen darstellen (also bedeutet nicht ). Diese Bedeutung wird in der klassischen Logik durch Wahrheitstabellen gegeben , in anderen Logiken beispielsweise durch Kripke-Modelle . $\ nicht$
- Durch Deduktion : Die Bedeutung der Konnektoren wird operativ durch rein syntaktische Regeln, die sogenannten Inferenzregeln, beschrieben . Diese Regeln erlauben die Ableitung von Aussagen von anderen. Sie erzeugen spezifische Aussagen, die als Theoreme bezeichnet werden .

Für eine gegebene Logik sind die betrachteten Deduktionsregeln semantisch korrekt, in dem Sinne, dass aus wahren Aussagen nur wahre Aussagen abgeleitet werden können. Entspricht die Deduktion der Semantik perfekt, wird das System als vollständig bezeichnet.

Das unten diskutierte System liegt im Rahmen der klassischen Logik , dem Zweig der mathematischen Logik, der in der Mathematik am häufigsten verwendet wird. Eine Darstellung der nichtklassischen Logiken findet sich später . Das Adjektiv „klassisch“ ist nicht im Sinne von „Normalität“ zu verstehen, sondern hätte als logisches Attribut ebensogut „Boolean“ heißen können.

Präsentation

Syntax

Die Bestandteile der Sprache

An der Basis der Syntax des Kalküls der Aussagen stehen die aussagenvariablen oder atomaren Aussagen , mit p , q usw. bezeichnet, die im Allgemeinen eine abzählbare unendliche Menge bilden .

Die zweiten Grundbestandteile der Sprache der Aussagenkalküle sind die Operatoren oder Konnektoren . Dies sind Symbole, die es uns ermöglichen, ausgefeiltere Vorschläge zu erstellen. Die gebräuchlichsten dieser logischen Konnektoren sind:

und	$\ Keil$
oder	$\ vee$
Nein	$\ negativ$
beteiligt	$\ rechter Pfeil$
gleich	${\ displaystyle \ leftrightarrow}$

Wir betrachten auch oft die mit ⊥ bezeichnete Konstante, die als „Klee nach oben“, „ leerer Typ “, „ unten “ oder „bot“ ausgesprochen wird , was darauf abzielt, das Falsche darzustellen .

Neben diesen Symbolen werden Klammern verwendet, um Mehrdeutigkeiten in den Formeln zu beseitigen (Auswahl unten übernommen) oder eine Schreibweise wie die polnische Schreibweise , die vom polnischen Logiker Jan Łukasiewicz erfunden wurde . Es ist wichtig, dass die Definition der Formeln einfach und eindeutig ist, um insbesondere die induktiven Definitionen über den Aufbau der Formeln zu ermöglichen, aber in der Praxis ist es möglich, die Klammern zu sparen, entweder durch Übernahme bestimmter Konventionen, um die Mehrdeutigkeiten zu beseitigen , oder weil der Kontext diese Mehrdeutigkeiten irrelevant macht.

Aussageformeln

Die Berechnung der Aussagen beruht außerdem auf Bildungsregeln, die angeben, wie komplexe Aussagen ausgehend von den elementaren Aussagen oder Atomen, die die Aussagenvariablen sind, und möglichen Konstanten wie konstruiert werden. Diese Regeln bestimmen, welche Ansammlungen von Zeichen, welche Wörter wohlgeformt sind und bezeichnen Aussagen. Die Definition hängt von einer Auswahl von Konnektoren und einer Auswahl von Atomen ab.

Wir geben uns eine Menge von propositionalen Variablen. Die Menge der Formeln zur Berechnung von Sätzen (on ) oder einfach Sätzen wird durch Induktion definiert, d.h. es ist die kleinste Menge wie: ${\ displaystyle {} {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle {} {\ mathcal {P}}}$

eine Aussagevariable p von ist eine Formel; ${\ displaystyle {} {\ mathcal {P}}}$
⊥ eine Formel ist;
wenn P und Q Formeln sind, dann ist ( P ∧ Q ), ( P ∨ Q ), ( P → Q ), ( P ↔ Q ) und ¬ P sind Sätze.

Beispiele : Wenn P , Q und R Aussagen sind,

( P → Q ) → (¬ Q → ¬ P ) ist ein Satz. ( P → ⊥) → ⊥ ist ein Satz. P ∧ ¬ P ist ein Satz. ( P ∧ Q ) ∨ R ist ein Satz. P ∧ Q ∨ ist kein Satz. Einige syntaktische Konventionen

Um die Darstellung von Ausdrücken zu erleichtern, ohne die Mehrdeutigkeit zu gefährden, sind gewisse Abweichungen von der obigen Definition durch syntaktische Konventionen erlaubt.

Normalerweise lassen wir die extremen Klammern der Formeln weg.

Wir entfernen oft die Klammern durch Zuordnen der Ausdrücke von links nach rechts , wenn es über den gleichen Anschluss ist: A ∧ B ∧ C für (( A ∧ B ) ∧ C ).

Beteiligung ist ein Sonderfall. Laut Konvention ist es rechts assoziativ: A → B → C → D wird als A → ( B → ( C → D )) gelesen .

Aus Gründen der Lesbarkeit werden auch verschiedene Formen von Klammern verwendet (Größe, Ersetzung durch Klammern usw.)

Weiterhin wird gezeigt, dass zum eindeutigen Lesen der Formeln nur die öffnenden Klammern notwendig sind, die aus diesem Grund durch einen Punkt "." ersetzt werden. in einigen Notationen.

Deduktive Systeme

Die Propositionsrechnung ermöglicht es, die drei bekanntesten deduktiven Systeme darzustellen. Wir beschränken uns dabei auf Aussagen, die neben Aussagenvariablen nur Implikationen, Disjunktionen und Vorkommen von false, also von , enthalten. Wir geben zu, dass ¬ P eine Abkürzung von P → ⊥ ist. Wenn P ein Theorem ist, also ein Vorschlag, der eine Demonstration hat, bemerken wir dies durch ⊢ P .

Deduktive Systeme verwenden Deduktionsregeln (auch Inferenzregeln genannt ), die geschrieben werden:

${\ frac {\ varphi_ {1} \ quad ... \ quad \ varphi _ {n}} {\ psi}}.$

Das sind die genannten Räumlichkeiten und ist die genannte Schlussfolgerung . $\varphi_{i}$ $\ psi$

Der Hilbert-Abzug

Es gibt nur eine Regel namens modus ponens , sie steht geschrieben:

${\ frac {\ vdash (P \ zu Q) \ quad \ vdash P} {\ vdash Q}}.$

Es kann wie folgt verstanden werden: wenn ist ein Theorem und ist ein Theorem, dann ist ein Theorem $P \ zu Q$ $P$ $Q$ . Dazu können wir hinzufügen:

drei Axiome für Implikation und Falschheit :

$\ vdash P \ bis (Q \ bis P)$ ,
$\ vdash (P \ bis (Q \ bis R)) \ bis ((P \ bis Q) \ bis (P \ bis R))$ ,
$\ vdash (\ nicht P \ bis \ nicht Q) \ bis (Q \ bis P)$ ;

drei Axiome für die Disjunktion:

${\ big (} P \ zu R) \ zu ((Q \ zu R) \ zu ((P \ vee Q) \ zu R))$ ,
$P \ bis {\ groß (} P \ vee Q)$ ,
$Q \ bis {\ big (} P \ vee Q)$ .

drei Axiome für die Konjunktion :

${\ displaystyle {\ big (} R \ zu P) \ zu ((R \ zu Q) \ zu (R \ zu (P \ Keil Q)))}$ ,
${\ displaystyle {\ big (} P \ Keil Q) \ zu P}$ .
${\ displaystyle {\ big (} P \ Keil Q) \ zu Q}$ .

Der natürliche Abzug

Während die Deduktion im Hilbert-Stil Theoreme manipuliert und beweist, beweist die natürliche Deduktion Aussagen unter Hypothesen, und wenn es keine (mehr) Hypothesen gibt, sind sie Theoreme. Um zu sagen, dass ein Satz die Folge einer Reihe von Hypothesen ist, schreiben wir . Während es bei der Hilbert-Deduktion nur eine Regel und mehrere Axiome gibt, gibt es bei der natürlichen Deduktion nur ein Axiom und mehrere Regeln. Für jeden Konnektor eine Klasse Regeln in Regeleinführungs- und Eliminierungsregeln . $P$ $\Gamma$ $\ Gamma \ vdash P$

Das Axiom ist . $\ Gamma, P \ vdash P$
Die Regel für die Einführung von Implikationen :

{\ frac {\ Gamma, P \ vdash Q} {\ Gamma \ vdash P \ zu Q}}

Die Regel der Eliminierung der Implikation :

{\ frac {\ Gamma \ vdash P \ zu Q \ qquad \ Gamma \ vdash P} {\ Gamma \ vdash Q}}

Die beiden Regeln zur Einführung von Disjunktionen , rechts und links:

{\ frac {\ Gamma \ vdash P} {\ Gamma \ vdash P \ vee Q}} \ qquad \ qquad {\ frac {\ Gamma \ vdash Q} {\ Gamma \ vdash P \ vee Q}}

Die Disjunktionsbeseitigungsregel :

{\ frac {\ Gamma \ vdash P \ vee Q \ qquad \ Gamma, P \ vdash R \ qquad \ Gamma, Q \ vdash R} {\ Gamma \ vdash R}}

Die gefälschte Eliminierungsregel :

{\ frac {\ Gamma \ vdash \ perp} {\ Gamma \ vdash P}}

Darüber hinaus gibt es eine in der klassischen Logik notwendige Regel der Reduktion auf das Absurde :

{\ frac {\ Gamma, \ neg P \ vdash \ perp} {\ Gamma \ vdash P}}

Es sei darauf hingewiesen , dass die Regel der Eliminierung von Implikationen dem Modus Ponens sehr nahe kommt , außerdem wird sie auch Modus Ponens genannt . Es sei bemerkt, dass es keine Regel für die Einführung des Falschen gibt und dass die Regel für die Eliminierung des Falschen darauf hinausläuft, dass ich, wenn ich aus einer Reihe von Hypothesen das Falsche (oder das Absurde) ableite, daraus sogar zusammen alles ableiten kann. Wir werden bemerken, dass die Reduktion auf das Absurde die Regel ist, die der Argumentation des Absurden entspricht: um zu beweisen , fügt man zu den Hypothesen hinzu , und wenn man das Absurde erhält, dann hat man . $P$ $\ neg P$ $P$

Die Berechnung von Sequenzen

Eine der Ideen, die zur Berechnung der Sequenzen geführt haben, besteht darin, neben einer Regel namens Cutoff- und Strukturregeln nur einleitende Regeln zu haben . Dafür verwendet man Formeln , die man Anrufe Sequenten und welche von der Form , wo und sind Multimengen von Sätzen. Die Sequenz wird als Behauptung der Konjunktion von interpretiert, wir leiten die Disjunktion von ab . Sie werden als Vorläufer und als Folgerungen bezeichnet . Wenn die Liste der Antezedenten leer ist, schreiben wir , wenn die Liste der Folgen leer ist, schreiben wir . Ein Theorem ist immer noch ein Sequent ohne Antezedens und mit nur einer Konsequenz. $\ Gamma \ vdash \ Delta$ $\Gamma$ $\Delta$ $P_ {1}, ..., P_ {m} \ vdash Q_ {1}, ..., Q_ {n}$ $Pi$ $Q_ {j}$ $Pi$ $Q_ {j}$ $\ vdash \ Delta$ $\ Gamma \ vdash$

Das Axiom ist . $A \ vdash A$

Einführung der Beteiligung rechts :

{\ frac {\ Gamma, A \ vdash \ Delta, B} {\ Gamma \ vdash \ Delta, A \ bis B}}

Einführung der linken Beteiligung :

{\ frac {\ Gamma, A \ vdash \ Delta \ qquad \ Gamma '\ vdash \ Delta', B} {\ Gamma, \ Gamma ', B \ bis A \ vdash \ Delta, \ Delta'}}

Einführung der Disjunktion rechts :

{\ frac {\ Gamma \ vdash \ Delta, A, B} {\ Gamma \ vdash \ Delta, A \ v B}}

Einführung der Disjunktion links :

{\ displaystyle {\ frac {\ Gamma, A \ vdash \ Delta \ qquad \ Gamma ', B \ vdash \ Delta'} {\ Gamma, \ Gamma ', A \ vee B \ vdash \ Delta, \ Delta'}} }

Einführung des Falschen rechts :

{\ frac {\ Gamma \ vdash \ Delta} {\ Gamma \ vdash \ Delta, \ perp}}

Einführung des Falschen auf der linken Seite hat die Form eines Axioms: $\ quad \ perp \ \ vdash$

Abbruch :

{\ frac {\Gamma\vdash\Delta, A\qquad\Gamma', A\vdash\Delta'} {\Gamma,\Gamma'\vdash\Delta,\Delta'}}

Schwächen :

{\ frac {\ Gamma \ vdash \ Delta} {\ Gamma, A \ vdash \ Delta}} \ qquad {\ frac {\ Gamma \ vdash \ Delta} {\ Gamma \ vdash \ Delta, A}}

Kontraktionen

{\ frac {\ Gamma, A, A \ vdash \ Delta} {\ Gamma, A \ vdash \ Delta}} \ qquad {\ frac {\ Gamma \ vdash \ Delta, A, A} {\ Gamma \ vdash \ Delta ,BEIM}}

Ein Schnitt spiegelt die Haltung des Mathematikers wider, der ein Lemma (den Satz ) beweist, das er an anderer Stelle beim Beweis eines Satzes verwendet. Dieses Lemma kann etwas ausdrücken, was mit dem Hauptsatz nichts zu tun hat, daher der Wunsch, diejenigen Lemmata zu eliminieren, die wie Umwege in der Progression zum Hauptergebnis sind. Eine Schwächung entspricht der Hinzufügung eines überflüssigen Satzes entweder als Vorläufer oder als Folge. $BEIM$

Beispiele für Theoreme

Wir geben unten eine Liste von Theoremen an, die mit Hilfe der vorhergehenden Regeln gezeigt werden können, sowie die ihnen durch die Tradition gegebene gebräuchliche Bezeichnung.

${\ groß (} A \ Pfeil rechts \; A)$	Identität
$A \ lor \ nicht A$	ausgeschlossene Dritte
$A \ Pfeil nach rechts \ nicht \ nicht A$	doppelte Verneinung
$\ nicht \ nicht A \ rightarrow A$	klassische Doppelnegation
${\ big (} {\ big (} A \ nach B {\ big)} \ nach A {\ big)} \ nach A$	Peirces Gesetz
$\ nicht (A \ land \ nicht A)$	kein Widerspruch
$\ nicht (A \ land B) \ leftrightarrow (\ nicht A \ lor \ nicht B)$	De Morgans Gesetze
$\ nicht (A \ lor B) \ leftrightarrow (\ nicht A \ land \ nicht B)$	De Morgans Gesetze
$(A \ nach B) \ nach (\ nicht B \ nach \ nicht A)$	Kontraposition
${\ groß (} (A \ nach B) \ land A) \ nach B$	modus ponens (propositional)
$((A \ nach B) \ land \ nicht B) \ nach \ nicht A$	modus tollens (propositional)
${\ groß (} (A \ nach B) \ land (B \ nach C)) \ nach (A \ nach C)$	modus barbara (propositional)
$(A \ nach B) \ nach {\ big (} (B \ nach C) \ nach (A \ nach C) {\ big)}$	modus barbara (implizit)
${\ big (} A \ land (B \ lor C)) \ leftrightarrow ((A \ land B) \ lor (A \ land C))$	Verteilbarkeit
${\ big (} A \ lor (B \ land C)) \ leftrightarrow ((A \ lor B) \ land (A \ lor C))$	Verteilbarkeit

Bemerkungen

Alle drei Systeme verwenden das gleiche Symbol , aber diese Notation ist konsistent. Das für die natürliche Deduktion verwendete Format ist tatsächlich eine Folge, in der es nur eine Konklusion gibt, wir sprechen dann von einer natürlichen Folge. Das für Theoreme in Hilbert-Systemen verwendete Format entspricht einer natürlichen Sequenz, in der es keine Hypothese gibt. $\ vdash$ $\ Gamma \ vdash P$ $\ vdash P$

Wir können zeigen, dass diese drei Systeme in dem Sinne äquivalent sind, dass sie genau die gleichen Sätze haben.

Der „klassische“ Aspekt der Satzkalküle wird im Hilbertschen System durch das Axiom der Kontraposition erhalten , er erscheint in natürlicher Deduktion durch Reduktion auf das Absurde. Die Berechnung von Sequenzen ist klassisch, aber wenn wir uns auf Sequenzen mit einer einzigen Konsequenz beschränken, wird sie intuitionistisch. $\ vdash (\ nicht P \ bis \ nicht Q) \ bis (Q \ bis P)$

Semantik

Die Semantik bestimmt die Regeln für die Interpretation von Aussagen. Jedem der elementaren Sätze, die in einen Satz eingreifen, Wahrheitswerte zuzuschreiben, bedeutet, ein Modell dieses Satzes zu wählen .

Genauer gesagt, wenn wir uns die klassische Logik ansehen, ist die Interpretation eines Satzes A die Tatsache, den propositionalen Variablen einen Wahrheitswert (0 oder 1) zuzuordnen und zu erklären, wie sich die Konnektoren gegenüber den Werten verhalten der Wahrheit. Wir geben dieses Verhalten durch eine Wahrheitstabelle an. Auf diese Weise können wir jedem Satz einen Wert 0 oder 1 zuweisen, der von den Werten der Wahrheitstabellen abhängt. Es gibt drei Auslegungsfälle:

Wenn der Satz unabhängig von den Werten der propositionalen Variablen immer den Wert 0 annimmt, wird der Satz als Antilogie oder Widerspruch bezeichnet . Es wird auch gesagt, dass es unbefriedigend ist .
Wenn Proposition A immer den Wert 1 annimmt, ist A eine Tautologie . Wir sagen auch , dass A ist gültig , und wir werden diese Behauptung beachten . $\ vStrich A$
Wenn der Satz einmal den Wert 1 zumindest nimmt, sagen wir , dass wir erfüllen können A , oder dass A ist erfüllbar (oder auch „erfüllbar“ von Mimikry mit dem englischen Begriff).
Wenn der Satz mindestens einmal den Wert 1 und mindestens einmal den Wert 0 annimmt, handelt es sich um einen synthetischen oder kontingenten Satz .

Boolesche Interpretation von Konnektoren

Wir erklären das Verhalten, geben dann die zugehörige Wahrheitstabelle an

$P \ oder Q$ nimmt den Wert 1 an, wenn mindestens einer der beiden Aussagen P oder Q den Wert 1 annimmt.

P	Q	$P \ oder Q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

$P \ land Q$ nimmt den Wert 1 genau dann an, wenn die beiden Aussagen P und Q gleichzeitig den Wert 1 annehmen.

P	Q	$P \ land Q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

$P \ zu Q$ nimmt den Wert 0 an, wenn P den Wert 1 und Q den Wert 0 annimmt.

P	Q	$P \ zu Q$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

$\ nicht P$ nimmt den Wert 1 an, wenn P den Wert 0 annimmt.

P	$\ nicht P$
0	1
1	0

$P \ leftrightarrow Q$ nimmt den Wert 1 an, wenn P und Q den gleichen Wert haben.

P	Q	$P \ leftrightarrow Q$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

$\ perp$ nimmt den Wert 0 an.

Beispiel 1 :

(¬ A → A ) → A ist eine Tautologie.

Wenn wir nämlich zuzuschreiben A den Wert 0, dann ¬ A nimmt den Wert 1, (¬ A → A ) den Wert 0, und (¬ A → A ) → A den Wert 1. ähnlich nimmt, wenn wir ordnen A den Wert 1, dann nimmt ¬ A den Wert 0 an, (¬ A → A ) nimmt den Wert 1 an und (¬ A → A ) → A nimmt den Wert 1 an.

Beispiel 2 :

A → ( A → ¬ A ) ist keine Tautologie.

In der Tat, wenn wir A den Wert 1 zuschreiben , dann nimmt ¬ A den Wert 0 an, ( A → ¬ A ) nimmt den Wert 0 an und A → ( A → ¬ A ) nimmt den Wert 0 an.

Komplette Stecksysteme

Eine n- Eintrag Wahrheitstabelle definiert einen n - ary - Anschluss . Ein Satz aussagenlogischer Konnektoren heißt vollständig, wenn ein Konnektor durch die Konnektoren des Satzes definiert werden kann. Jede Wahrheitstabelle wird durch Konjunktionen von Disjunktionen und Negation beschrieben, zum Beispiel beschreiben wir die Wahrheitstabelle der obigen Äquivalenz vollständig durch " p ↔ q nimmt den Wert wahr genau dann an, wenn p und q den Wert falsch annehmen oder p und q den Wert annehmen Wert true“, dh p ↔ q ≡ (¬ p ∧ ¬ q ) ∨ ( p ∧ q ). Diese Methode ist allgemein und erlaubt zu zeigen, dass das System {¬, ∧, ∨} ein vollständiges System von Konnektoren ist. Wir folgern, dass {¬, ∧}, {¬, ∨} auch vollständige Systeme sind (wegen der Morganschen Gesetze, A ∨ B ≡ ¬ (¬ A ∧ ¬ B ), A ∧ B ≡ ¬ (¬ A ∨ ¬ B )) . Die Menge {¬, →} ist vollständig: A ∨ B ≡ ¬ A → B .

Der Satz bestehend aus dem einzigen NAND- Verbinder (von Henry Sheffer mit "|" bezeichnet und daher Sheffer-Bar ) ist ebenfalls vollständig, wobei ¬ P äquivalent zu P | . ist P und P ∨ Q zu ( P | P ) | ( Q | Q ). Dieses Merkmal wird für den Aufbau von Logikschaltungen verwendet , ein einziges Gatter reicht dann aus, um alle vorhandenen Schaltungen zu entwerfen.

Haupteigenschaften

Das Aussagenkalkül hat daher verschiedene Mittel, um die Aussagen zu „validieren“: die Deduktionssysteme, die die Theoreme beweisen, und die semantischen Methoden, die die Tautologien definieren . Es stellt sich die Frage, ob diese Methoden übereinstimmen.

Entscheidbarkeit, Konsistenz, Vollständigkeit, Kompaktheit

Die Tatsache, dass jeder Satz beweisbar ist, wenn es sich um eine Tautologie handelt, drückt eine Eigenschaft des Aussagenkalküls aus, die wir Vollständigkeit nennen. Das bedeutet, dass die deduktive Darstellung des Aussagenkalküls der semantischen Darstellung äquivalent ist. Die Vollständigkeit basiert auf den folgenden Bemerkungen.

Jeder bewiesene Satz resultiert aus einem Axiom oder aus der Anwendung einer Regel auf bereits demonstrierte Sätze. Nun lässt sich leicht verifizieren, dass Axiome Tautologien liefern und Regeln Tautologien bewahren. Jeder bewiesene Satz ist daher eine Tautologie. Die Aussagenrechnung ist richtig .
Die Umkehrung basiert auf der folgenden Tatsache: Wir können zeigen, dass es für jeden Satz der Aussagenkalküle einen Satz gibt, der so und so in einer sogenannten Normalform ist, wobei jeder von der Form ist , wobei jeder ein Literal ist (d.h. dh ein Satz der Form oder ). Wenn es sich um eine Tautologie handelt, dann erscheinen in jeder notwendigerweise eine propositionale Variable und ihre Negation . Sonst gäbe es die, die diese Bedingung nicht überprüfen würden und es wäre möglich, Werte zu zuweisen , um den Wert 0 zu geben , und damit sich selbst. Aber wir können zeigen, dass das beweisbar ist ( ), dann dass es für jedes , dann für sich selbst und schließlich für dasselbe ist . Jede Tautologie ist dann nachweisbar. Die Aussagenrechnung ist abgeschlossen . $P$ $P '$ $P \ leftrightarrow P '$ $P '$ $Q_ {1} \ land Q_ {2} \ land \ cdots \ land Q_ {n}$ $Q_i$ $R_ {1} \ lor R_ {2} \ lor \ cdots \ lor R_ {k}$ $R_ {i}$ $p$ $\ nicht p$ $P '$ $Q_i$ $p$ $\ nicht p$ $Q_i$ $p_ {j}$ $Q_i$ $P '$ $p \ lor \ nicht p$ $\ vdash p \ lor \ nicht p$ $Q_i$ $P '$ $P$

Das Artikeltheorem von der Vollständigkeit der Berechnung von Aussagen bietet einen weiteren detaillierteren Beweis.

Aus der Vollständigkeit der Berechnung der Sätze folgt:

Die Berechnung von Aussagen ist entscheidbar , in dem Sinne, dass es einen Algorithmus gibt, der es erlaubt zu entscheiden, ob eine Aussage ein Theorem ist oder nicht. Sie müssen nur Ihre Wahrheitstabelle erstellen und sehen, ob es sich um eine Tautologie handelt.
Die Berechnung der Sätze ist kohärent (konsistent), also nicht widersprüchlich. Es gibt keinen solchen Satz , den wir gleichzeitig haben können, und weil diese beiden Sätze Tautologien wären und wir 1 = 0 haben würden. $P$ $\ vdash P$ $\ vdash \ nicht P$
Die Berechnung der Aussagen ist sehr vollständig (maximal kohärent) in dem Sinne, dass jede Hinzufügung eines neuen Axiomenschemas, das im Ausgangssystem nicht beweisbar ist, dieses System inkohärent macht.

Nehmen wir an, es gebe unendlich viele Sätze. Können wir diese Vorschläge gleichzeitig erfüllen? Mit anderen Worten, gibt es Wahrheitswerte für ihre Aussagenvariablen, die für alle Aussagen 1 als Wahrheitswert ergeben? Wenn die Antwort für eine endliche Teilmenge dieser Aussagen positiv ist, dann gilt sie für alle Aussagen. Diese Eigenschaft, die sicherstellt, dass wir von allen endlichen Teilmengen auf die gesamte unendliche Menge übergehen können, heißt Kompaktheit .

Berechnungsmethoden, NP-Vollständigkeit

Wir haben gesehen, dass es ausreicht, um zu entscheiden, ob ein Satz klassisch beweisbar ist, zu überprüfen, ob es sich um eine Tautologie handelt, d. h. zu überprüfen, ob er den Wahrheitswert 1 unabhängig von den Wahrheitswerten seiner aussagenvariablen Variablen annimmt.

Dieser brutale Ansatz stößt jedoch auf die erforderliche Rechenzeit. In der Tat, wenn der Satz n aussagende Variablen hat, müssen 2 n mögliche Kombinationen von Werten für die aussagenden Variablen berechnet werden, was für n große schnell unmöglich wird . Wenn also n = 30 ist, müssen mehr als eine Milliarde Wertekombinationen aufgezählt werden.

Es gibt sicherlich Verbesserungsmöglichkeiten. Wenn wir beispielsweise einer Aussagevariablen p den Wahrheitswert 0 zuweisen , können wir unabhängig vom nachfolgenden Wert, der q zugewiesen wird, direkt den Wert 0 zuweisen , was die Anzahl der durchzuführenden Berechnungen verringert. $p \ land q$

Wir können auch prüfen, ob es möglich ist, die Auswirkungen zu entkräften. Betrachten Sie zum Beispiel den Satz:

((p \ bis (q \ land r \ land s)) \ land \ nicht s) \ bis \ nicht p

Wird eine Implikation aus, um es ungültig ist , reicht es aus, dass der Abschluss den Wert annehmen kann 0 (und damit den Wert 1) und dass die Hypothese den Wert annehmen kann 1 (und damit und mit dem Wert 1). Nimmt dann aber den Wert 0 und kann nur den Wert 0 annehmen. Es ist daher unmöglich, die Implikation zu entkräften und dies ist eine Tautologie. $\ nicht p$ $p$ $((p \ bis (q \ land r \ land s)) \ land \ nicht s)$ $\ nicht so$ $p \ zu (q \ land r \ land s)$ $so$ $(p \ zu (q \ land r \ land s)$

Aber die bisherigen Verbesserungen ändern die Schwierigkeit des Problems nicht grundlegend. Wir stehen daher vor folgender Situation. Bei einer gegebenen Aussage f fragen wir uns, ob f eine Tautologie ist oder nicht, und fragen uns deshalb, ob den Aussagenvariablen von f Wahrheitswerte zugeschrieben werden können, die f ungültig machen würden .

Eine erschöpfende Suche erfordert 2 n überprüft , ob f hat n Propositionsvariablen. Dieser Ansatz wird als deterministisch bezeichnet, seine Rechenzeit ist jedoch exponentiell.
Wenn f hingegen keine Tautologie ist, reicht eine Überprüfung aus, nämlich die Konfiguration genau zu testen, die f ungültig macht . Diese Prüfung erfordert eine einfache Boolesche Berechnung, die in polynomieller Zeit (tatsächlich im Wesentlichen linear) durchgeführt wird. Die Rechenzeit ist daher nicht mehr exponentiell, sofern Sie wissen, welche Konfiguration Sie testen möchten. Dies könnte zum Beispiel von einem allwissenden Wesen gegeben werden, dem wir nicht vollständig vertrauen würden. Ein solcher Ansatz wird als nicht deterministisch bezeichnet .

Die Frage nach der Ungültigkeit von f sowie alle Probleme, die nach der eben skizzierten Methode gelöst werden, heißen NP (für nichtdeterministisches Polynom). Das Testen der Ungültigkeit von f ist durch sehr einfache Berechnungen (in polynomieller Zeit) äquivalent zum Testen der Erfüllbarkeit seiner Negation. Das Problem der Erfüllbarkeit eines Satzes, nämlich eine Konfiguration zu finden, die als Wahrheitswert des Satzes 1 ergibt, wird SAT-Problem genannt (vom englischen booleschen SAT isfiability problem ). Sie spielt eine grundlegende Rolle in der Komplexitätstheorie , da gezeigt werden kann , dass die Entdeckung eines deterministischen Algorithmus in polynomieller Zeit für dieses Problem es ermöglichen würde , daraus deterministische Algorithmen in polynomialer Zeit für alle Probleme vom NP - Typ abzuleiten ( Satz von Cook ) . Wir sagen, dass SAT (und damit auch das Problem der Nichtbeweisbarkeit eines Satzes) ein NP-vollständiges Problem ist . Das Problem der Beweisbarkeit eines Satzes heißt co-NP (für Komplementär zu NP).

Das SAT-Problem bezeichnet am häufigsten das Problem der Erfüllbarkeit einer Konjunktion von Klauseln (ein Sonderfall unter Propositionen), aber wir reduzieren das Problem der Erfüllbarkeit einer Proposition darauf durch eine polynomielle Reduktion (eine durch Äquierfüllbarkeit in eine Klauselform gebrachte, die durch logische Äquivalenz funktionieren nicht).

boolsche Algebra

Sei E die Menge von Aussagen über einer Menge von aussagenden Variablen. Die binäre Relation, die auf E durch die (klassische) Äquivalenz zwischen zwei Sätzen definiert ist, wird als bezeichnet. Es ist eine Äquivalenzrelation auf E, kompatibel mit der Konjunktion (die die untere Grenze von zwei Elementen ergibt), der Disjunktion (die die obere Grenze von zwei Elementen ergibt) und der Negation (die das Komplement ergibt). Die Quotientenmenge E / ≡ des Aussagenkalküls.

Sobald die Menge der Aussagenvariablen unendlich ist, hat die Lindenbaum-Algebra der Aussagenformeln keine Atome, d. h. kein minimales Element ungleich Null (für jede Formel, die keine Antilogie ist, erhalten wir ein streng niedrigeres Element durch Verbindung mit einer Aussagevariablen nicht in der Formel enthalten). Dies unterscheidet sie von der Booleschen Algebra aller Teile einer Menge, die ihre Singletons als Atome hat.

Die Heyting-Algebra wurde von Arend Heyting definiert, der die intuitionistische Logik interpretiert.

Konjunktive Normalformen, disjunktive Normalformen

Eine Disjunktion ist ein Satz der Form und eine Konjunktion ist ein Satz der Form . Eine Klausel liegt in konjunktiver Normalform (FNC) vor, wenn sie aus Konjunktionen von Disjunktionen besteht . Ein Satz liegt in disjunktiver Normalform (FND) vor, wenn er aus Disjunktionen von Konjunktionen besteht . $p \ lor q$ $p \ land q$

Beispiele:

$p, \ nicht p,$ $p \ lor q$ und sind sowohl FNC als auch FND. $p \ land q$
$(p \ lor q) \ land (\ nicht p \ lor r) \ land s$ steht in normaler Konjunktivform .
$(p \ land q \ land r) \ lor (\ nicht p \ land \ nicht s) \ lor \ nicht q$ ist in disjunktiver Normalform .

Wenn jeder disjunktive Block eines FND ein und nur ein Vorkommen derselben propositionalen Variablen hat, sprechen wir von einem ausgezeichneten FND .

Wenn jeder konnektive Block eines FNC ein und nur ein Vorkommen derselben propositionalen Variablen hat, sprechen wir von einem ausgezeichneten FNC .

Beispiele:

$(p \ lor q \ lor r) \ land (\ lnot p \ lor \ lnot q \ lor r) \ land (\ lnot p \ lor \ lnot q \ lor \ lnot r)$ ist in ausgezeichneter konnektiver Normalform .
$(p \ land q \ land r) \ lor (\ nicht p \ land q \ land \ nicht r) \ lor (\ nicht p \ land \ nicht q \ land r)$ ist in unterschieden disjunktive Normalform .

Wir können zeigen, dass jeder Satz äquivalent zu einem FND ist (vorausgesetzt, dass dies die Disjunktion einer leeren Menge von Aussagen ist) und einem FNC äquivalent ist (angenommen, dass T die Konjunktion einer leeren Menge von Aussagen ist). Mit anderen Worten, für jeden Satz gibt es einen Satz in disjunktiver Normalform wie und einen Satz in konjunktiver Normalform wie . $\ perp$ $p$ $q$ $p$ $\ leftrightarrow$ $q$ $r$ $p$ $\ leftrightarrow$ $r$

Klassische, minimalistische, intuitive Logik

Die von uns vorgestellten Axiome und Regeln der Aussagenrechnung sind die der klassischen Logik . Sie induzieren den Satz p ¬ ¬p, das ausgeschlossene dritte Prinzip genannt wird , den Satz ¬¬ p → p, genannt Elimination der doppelten Negation und den Satz ((p → q) → p) → p genannt Peircesches Gesetz . Diese Logik basiert auf dem Prinzip, dass eine Eigenschaft P notwendigerweise wahr oder falsch ist. Sie ist eine der Säulen der sogenannten formalistischen Position von Hilbert und anderen. Diese Position, die impliziert, dass es Demonstrationen gibt, die nicht das Objekt konstruieren, das die bewiesene Aussage erfüllt, wurde jedoch von mehreren Mathematikern in Frage gestellt, von denen der bekannteste Brouwer ist, was zur Schaffung einer intuitionistischen Logik führte .

Es gibt Variationen der unklassischen Logik, insbesondere die minimale Logik von Ingebrigt Johansson (1936) und die intuitionistische Logik von Heyting (1930). Die primitiven Konnektoren sind →, ∧, ∨ und ¬. Diese Varianten unterscheiden sich in der Wahl der verwendeten Axiome.

Absolute Logik

Absolute Logik verwendet die folgenden Axiome bezüglich Implikation, Konjunktion und Disjunktion. Es geht nicht um Negation.

Implikationsaxiome (das sind die ersten beiden Axiome der klassischen Logik):

ax.1:

p \ Pfeil rechts \; (q \ Pfeil rechts \; p)

ax.2:

(p \ rightarrow \; (q \ rightarrow \; r)) \ rightarrow \; ((p \ rightarrow \; q) \ rightarrow \; (p \ rightarrow \; r))

Axiome der Konjunktion : $\ land$

ax.3:

(p \ land q) \ nach p

ax.4:

(p \ land q) \ zu q

ax.5:

(p \ zu q) \ zu ((p \ zu r) \ zu (p \ zu (q \ land r)))

Disjunktionsaxiome , ( Duale der vorherigen): $\ lor$

ax.8:

p \ zu (p \ oder q)

ax.9:

q \ zu (p \ oder q)

ax.10:

(p \ zu r) \ zu ((q \ zu r) \ zu ((p \ lor q) \ zu r))

Die Satzmenge dieser Logik ist strikt in die Satzmenge der klassischen Logik eingeschlossen, die keine Negation verwendet. Zum Beispiel ist es dort unmöglich, die Formel oder das Gesetz von Peirce zu beweisen . ${\ displaystyle p \ lor (p \ zu q)}$ ${\ displaystyle ((p \ bis q) \ bis p) \ bis p}$

Positive Logik

Addieren wir zu den Axiomen ax.1 bis ax.8 das folgende Axiom:

ax.9:

{\ displaystyle p \ lor (p \ zu q)}

Wir bekommen positive Logik. Die Satzmenge dieser Logik ist identisch mit der Satzmenge der klassischen Logik, die keine Negation verwendet.

Minimale Logik

Addieren wir zu den Axiomen ax.1 bis ax.8 die folgenden zwei Axiome, die sich auf die Negation beziehen:

ax.10: ¬ p → ( p → ¬ q ) ax.11: ( p → ¬ p ) → ¬ p

Wir erhalten minimale Logik . Das erste Axiom definiert das Verhalten der Logik gegenüber einem Widerspruch. Das zweite Axiom drückt aus, dass p ungültig ist , wenn p seine eigene Negation impliziert .

Intuitionistische Logik

Der einzige Unterschied zwischen intuitionistischer Logik und minimaler Logik betrifft das Axiom ax.10, das ersetzt wird durch:

ax.12: ¬ p → ( p → q )

In Gegenwart eines Satzes und seiner Negation enden die drei Logiken, klassisch, intuitionistisch und minimal, alle drei in einem Widerspruch ⊥. Aber der Unterschied betrifft den Gebrauch, den wir aus diesem Widerspruch machen:

Die klassische Logik leitet aus ¬P → ⊥ ab, dass P wahr ist (Absurdität).
Die intuitionistische Logik leitet aus einem Widerspruch ab, dass jede Aussage beweisbar ist. Aus ¬P → ⊥ leitet es die Gültigkeit von ¬¬P ab, einer Eigenschaft, die schwächer als P ist.
Minimale Logik leitet aus einem Widerspruch ab, dass jede Negation von Aussagen nachweisbar ist, was schwächer ist als das, was die intuitionistische Logik vorschlägt.

Minimale Logik und intuitionistische Logik haben beide den Satz ¬ (p ∧ ¬p) als Theorem. Andererseits ist p ∨ ¬p kein Satz dieser Logiken.

Ebenso erlauben sie uns, p → ¬¬p zu beweisen, aber nicht die Umkehrung. Andererseits erlauben sie den Nachweis der Äquivalenz zwischen ¬p und ¬¬¬p. Schließlich ist der Satz (¬p q) → (p → q) ein Satz der intuitionistischen Logik, aber kein Satz der Minimallogik.

Glivenko (en) demonstrierte 1929, dass p genau dann ein Satz der klassischen Aussagenkalküle ist, wenn ¬¬p ein Satz der intuitionistischen Aussagenkalküle ist. Dieses Ergebnis verlängert sich nicht, wenn wir „intuitionistisch“ durch „minimal“ ersetzen. Sie gilt auch nicht für die Berechnung von Prädikaten ; eine Übersetzung ist jedoch möglich, hängt aber vom Aufbau der Formeln ab.

Um schließlich einen Beweis von p q in der intuitionistischen Logik zu haben, brauchen wir entweder einen Beweis von p oder einen Beweis von q , während in der klassischen Logik ein Beweis von ¬ (¬p ∧ ¬q) ausreicht.

Quantifizierte Aussagenrechnung

Wir können die Quantoren ∃ (gibt es) und ∀ (was auch immer) einführen , um die Aussagen zu quantifizieren (was von der Quantisierung der Berechnung von Prädikaten zu unterscheiden ist ). So haben wir zum Beispiel als gültige Formeln des quantifizierten Aussagenkalküls, auch Aussagenkalkül zweiter Ordnung genannt :

∀p (⊥ → p): Für jeden Satz impliziert das Falsche ihn;
∀p (p → T): Die Wahrheit wird durch jeden Satz impliziert;
∃p (p ∨ q): Nehmen wir zum Beispiel p ↔ ¬q (in der klassischen Logik) oder p ↔ T (allgemeiner).

Hinweise und Referenzen

Ein Satz ist eine abgeschlossene Aussage , dh unabhängig von externen Parametern wie „es gibt unendlich viele Primzahlen“ oder „57 ist eine Primzahl“. Die genaue Definition des Satzbegriffs ist eines der Ziele der Berechnung von Sätzen.
Jose Ferreiros , „ Der Weg zur modernen Logik – eine Interpretation “, Das Bulletin der symbolischen Logik , vol. 7,1 st Dezember 2001, s. 441-484 ( DOI 10.2307 / 2687794 , online gelesen , abgerufen am 12. September 2015 ).
Jean Largeault , Mathematische Logik: Texte. , A. Colin,1 st Januar 1972( OCLC 301440117 ) , „Beitrag zur Geschichte der Aussagenlogik (Jan Łukasiewicz)“, S. 9-25.
(in) " Was ist der Unterschied zwischen Vorschlag und Prädikat? “ , Answers.com.
Beachten Sie, dass wir auch die Türkei hätten in Betracht ziehen können.
[PDF] „Verschiedene mathematische Symbole - A | Bereich: 27C0–27EF ” .
Aber wer kann es trotzdem deutlich verkürzen!
Die Wahrheitstafeln wurden ursprünglich von Charles Peirce vor 1893 entwickelt (siehe Irving H. Annelis, „ Peirce’s Truth-functional Analysis and the Origin of the Truth Table “, History and Philosophy of Logic ,10. Oktober 2011, s. 87-97 ( DOI https://dx.doi.org/10.1080/01445340.2011.621702 , online lesen )) wurde dann 1912 von Wittgenstein und Russell unabhängig wiederentdeckt .
Zur intuitionistischen Logik verweisen wir beispielsweise auf den Artikel Semantik von Kripke .
I. Johansson, Ingebrigt Der Minimalkalkül, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus , Compositio Mathematica , 4 (1937), p. 119-136 .
Logik und wissenschaftliche Erkenntnisse , herausgegeben von Jean Piaget , Encyclopédie de la Pléiade, 1967, S.208-211
Gödel und Kolmogorov haben einige vorgeschlagen.

Siehe auch

Literaturverzeichnis

Robert Blanché , Einführung in die zeitgenössische Logik , Armand Colin - 1951
(von) Józef Maria Bocheński und Albert Menne , Grundriß des Logistik , UTB, Stuttgart, 1973 ( ISBN 3-506-99153-1 )
René Cori und Daniel Lascar , Mathematische Logik I. Aussagenkalkül, Boolesche Algebren, Prädikatenkalkül [ Detail der Ausgaben ] , Kapitel I und II
R. David, K. Nour und C. Raffalli, Einführung in die Logik. Theorie der Demonstration. Korrigierte Kurse und Übungen , Dunod, 2001 ( ISBN 2-10006-796-6 )
Yannis Delmas-Rigoutsos und René Lalement, Logik oder die Kunst des Denkens ,2000[ Detail der Ausgabe ]
G. Dowek, La Logique , Coll. Dominos, Flammarion (1995).
A. Heyting, Die Grundlagen der Mathematik. Intuitionismus. Erkenntnistheorie , Paris, Gauthiers-Villars, 1955.
Logik und wissenschaftliches Wissen , Collection de la Pléiade, Gallimard, 1967
Stephen Kleene, Mathematische Logik , Armand Colin, 1971 oder Gabay 1987 ( ISBN 2-87647-005-5 )
(en) Quine , Elementary Logic , Harvard University Press - 1980 (1941).

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Gottfried Wilhelm Leibniz · George Boole · Auguste De Morgan · Gottlob Frege · Charles Sanders Peirce · Bertrand Russell · Ludwig Wittgenstein
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