Modale Logik

In der mathematischen Logik ist ein logisches Modal eine Form der formalen Logik, die die Aussagenlogik , die Logik erster oder höherer Ordnung, um Modalitäten erweitert . Eine Modalität spezifiziert Eigenschaften der Wahrheit . Einem Satz wie „es regnet“ kann beispielsweise eine Modalität vorangestellt werden:

Es ist notwendig, dass es regnet;
Morgen regnet es;
Christopher Columbus denkt, es regnet;
Es wird gezeigt, dass es regnet;
Es ist obligatorisch, dass es regnet.

Es gibt eine Vielzahl von Modallogiken wie Temporallogiken , epistemische Logiken (Wissenslogik). In der Informatik wird die Modallogik wegen ihrer Ausdruckskraft und algorithmischen Aspekte verwendet. Beispielsweise wird Timing-Logik verwendet, um Programme zu spezifizieren und sie dann zu überprüfen .

Alethische Modallogik

In der alethischen Modallogik (oder Aristotelisch oder Klassik) identifizieren wir vier Modalitäten:

notwendig (was nicht wahr sein kann), notiert ; $\Box$
kontingent (was falsch sein kann), notiert ; $\ neg \ Box$
möglich (was stimmen kann), notiert ; $\ Diamant$
unmöglich (was nicht falsch sein kann), notiert. $\ negativ \ Diamant$

Diese 4 Modalitäten sind miteinander verbunden, nur eine reicht aus, um die anderen drei zu definieren.

Die intuitive Interpretation (die nicht von der gesamten philosophisch-logischen Gemeinschaft geteilt wird) lautet wie folgt:

Notwendig ≡ nicht unmöglich;
Quote ≡ nicht erforderlich ≡ nicht möglich;
Möglich ≡ nicht unmöglich.
Unmöglich = nicht möglich.

Wir unterscheiden daher zwei unäre Dual-Konnektoren voneinander:

Das Notwendige ; $\Box$
Das Mögliche . $\ Diamant$

$\Box$ p bedeutet, dass p notwendigerweise wahr ist, während p bedeutet, dass p möglicherweise wahr ist, also mit dem aktuellen Wissen kompatibel ist. $\ Diamant$

Beispiele:

$\ neg \ Box$ Arbeit: es ist nicht notwendig, dass die Schüler arbeiten;
$\ negativ \ Diamant$ Arbeit: es ist den Schülern nicht möglich zu arbeiten;
$\ Box \ neg$ trav: es ist notwendig, dass die Schüler nicht arbeiten;
$\ Diamant \ neg$ trav: Es ist möglich, dass die Schüler nicht arbeiten.

In der alethischen Modallogik (oder aristotelisch oder klassisch) können wir die vier Operatoren mit nur einem (hier Notwendigkeit) und der Negation ausdrücken. So :

Unmöglich ist ; $\ quadrat \ neg$
Möglich ist . $\ neg \ quadrat \ neg$

Ein notwendiger Satz kann nicht falsch sein, ohne einen Widerspruch zu implizieren , ein Contrario eines zufälligen Satzes, der falsch sein kann, ohne einen Widerspruch zu implizieren.

Unterschiedliche Modallogiken

Es werden auch andere Arten von Modallogik verwendet, deren Modi sind:

epistemisch (auf Wissen bezogen):
- bekannte Agenten festgestellt , $ich$ $Diese}$
- fraglich
- ausgeschlossen
- plausibel
- allgemeines Wissen der Agentengruppe, notiert $G$ $CK_ {G}$
- geteiltes Wissen der Agentengruppe, notiert (jeder weiß) $G$ $EK_ {G}$
Deontik (moralisch):
- obligatorisch , vermerkt O
- verboten , bemerkte ich
- Erlaubnis , notiert P
- optional , mit F . bezeichnet
zeitlich :
- immer , notiert oder G $\Box$
- eines Tages , notiert oder manchmal F $\ Diamant$
- nie bemerkt $\ negativ \ Diamant$
- morgen , notierte X
- bis , binärer Operator, bezeichnet mit U
- immer in der Vergangenheit , bemerkte H
- ein Tag verging , bemerkte P
doxastisch (über Überzeugungen):
- roh , notiert B
- gemeinsame Überzeugung der Agentengruppe, festgestellt $G$ $CB_ {G}$
Kontrafakten :
- Wenn A wahr wäre , wo wir wissen, dass A nicht wahr ist.
Dynamik (Wirkung von Handlungen, notiert a , auf Aussagen):
- Es gibt eine Ausführung von a, so dass nach a , p wahr ist , notiert $\ langle a \ rangle p$
- p ist wahr nach jeder Ausführung von a , notiert . $[a] p$

Axiome der Modallogik

Jede Modallogik ist mit einer Reihe von Axiomen versehen, die die Funktionsweise der Modalitäten definieren.

Somit können wir nach den zugelassenen Axiomen verschiedene Systeme konstruieren.

Das K-System wurde von Kripke entwickelt und als normales oder Kripke-System bezeichnet. Er gibt die folgenden zwei Axiome zu:
- (K) (Kripke-Verteilungsaxiom); $\ Box (A \ rightarrow B) \ rightarrow (\ Box A \ rightarrow \ Box B)$
- (RN) (oder (N) oder (NEC) ) Wenn ein Satz ist, dann auch (Notwendigkeitsschlussregel). $BEIM$ $\ Feld A$

Das D-System, entworfen durch Hinzufügen des Axioms (D) zum K-System:
- (D ) (in der aristotelischen Logik drückt dies aus, dass Notwendigkeit die Möglichkeit impliziert ). $\ Kasten P \ Pfeil nach rechts \ Raute P$

Das T-System, das 1937 von Robert Feys entworfen wurde, indem das Axiom (T) zum K-System hinzugefügt wurde :
- (T) (oder (M) ): (in der aristotelischen Logik drückt dies aus, dass die Tatsache die Möglichkeit impliziert ). $P \ Pfeil nach rechts \ Raute P$

Die von Clarence Irving Lewis definierten S4- und S5-Systeme .
- Um S4 zu konstruieren, fügen wir dem System T das Axiom (4) hinzu :
  - (4) . $\ Box p \ rightarrow \ Box \ Box p$
- Um S5 zu konstruieren, fügen wir dem System T das Axiom (5) hinzu :
  - (5) (oder (E) ) . $\ Raute p \ Pfeil nach rechts \ Box \ Raute p$

Das B-System (oder Brouwérien), das 1930 von Oskar Becker entworfen wurde , indem das Axiom (B) zum T-System hinzugefügt wurde .
- (B) : . $p \ Pfeil nach rechts \ Box \ Raute p$

Wir sagen, dass ein System schwächer ist als ein anderes, wenn alles, was im ersten System demonstriert wird, im zweiten demonstriert wird, aber nicht umgekehrt.

Diese priorisiert vom schwächsten zum stärksten die Systeme K, T, S4 und S5. Ebenso ist K schwächer als D und T ist schwächer als B.

Die Systemreihen K bis S5 bilden eine verschachtelte Hierarchie, die den Kern der normalen Modallogik bildet. Axiom (D) hingegen wird hauptsächlich in der deontischen, doxastischen und epistemischen Logik verwendet.

Modale Logikmodelle

Kripkes Modelle oder Modelle möglicher Welten geben der modalen Logik Semantik. Ein Kripke-Modell sind die Daten:

einer nicht leeren Menge möglicher Welten ; $W$
eine binäre Beziehung zwischen den möglichen Welten, die als Zugänglichkeitsbeziehung bezeichnet wird; $R$
einer Bewertung, die jeder Aussagevariablen in jeder möglichen Welt einen Wahrheitswert gibt. $V$

Die Semantik eines Modaloperators wird aus einer Zugänglichkeitsrelation wie folgt definiert: Die Formel ist in einer Welt w genau dann wahr , wenn die Formel in allen Welten wahr ist, die von w durch die Relation zugänglich sind . ${\ displaystyle \ quadrat A}$ $BEIM$ $R$

Klassifikation modaler Logiksysteme

Modale Logiksysteme sind nach den Inferenzregeln und den sie charakterisierenden Axiomen organisiert.

Klassische Modallogik

Klassische modale Logiksysteme sind solche, die die folgende Inferenzregel akzeptieren:

$(RE) {\ frac {A \ leftrightarrow B} {\ Box A \ leftrightarrow \ Box B}}$

Es ist üblich, einem solchen System einen kanonischen Namen vom Typ zu geben , wobei dies die Namen der Axiome des Systems sind. $E \ xi _ {1} \ xi _ {2} \ cdots \ xi _ {n}$ $\xi_{i}$

Monotone modale Logiken

Monotone modale Logiksysteme sind solche, die die RM-Inferenzregel akzeptieren:

$(RM) {\ frac {A \ zu B} {\ Box A \ zu \ Box B}}$

Die Menge der monotonen Systeme ist in der Menge der konventionellen Systeme enthalten.

Reguläre Modallogiken

Reguläre modale Logiksysteme sind solche, die die RR-Inferenzregel akzeptieren:

$(RR) {\ frac {(A \ Keil B) \ zu C} {(\ Box A \ Keil \ Box B) \ zu \ Box C}}$

Die Menge der regulären Systeme ist in der Menge der monotonen Systeme enthalten.

Normale modale Logik

Normale modale Logiksysteme sind diejenigen, die die RK-Inferenzregel akzeptieren:

$(RK) {\ frac {(A_ {1} \ Keil \ cdots A_ {n}) \ nach B} {(\ Box A_ {1} \ Keil \ cdots \ Box A_ {n}) \ nach \ Box B} }$

Die Menge der normalen Systeme ist in der Menge der regulären Systeme enthalten.

Eine äquivalente und gebräuchlichere Definition von normalen Systemen ist wie folgt: Ein modales Logiksystem heißt normal, wenn es das Axiom (K) hat und die Regel der Notwendigkeit (RN) als Inferenzregel akzeptiert:

$(K) \ Box (A \ bis B) \ bis (\ Box A \ bis \ Box B)$

$(RN) {\ frac {A} {\ Box A}}$

Die normalen Systeme werden am häufigsten verwendet, da sie der Semantik von Kripke entsprechen . Es ist jedoch möglich, Semantiken für nicht-normale klassische Logiken zu finden, aber sie haben im Allgemeinen schlechtere Eigenschaften.

Verknüpfung mit anderen Logiken

Die intuitionistische Logik kann auf der Logik-Alethik als Modallogik aufgebaut werden. Die Modallogik ist ein Fragment der Logik erster Ordnung.

Hinweise und Referenzen

Jacques Paul Dubucs "unkonventionelle Logik", in Encyclopaedia Universalis , Band 13, Paris, 1990, p. 977-992.

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Externe Links

(en) James Garson, Modal Logic , The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta (Hrsg.), 2007.
(de) S4-Beweiser nach Tableaux-Methode , S4-Beweiser
(de) Ross Kirsling, Modal Logic Playground

Literaturverzeichnis

Patrick Blackburn, Maarten de Rijke und Yde Venema, Modal Logic , Cambridge University Press, 2001
(en) Brian F. Chellas, Modale Logik, eine Einführung , Cambridge University Press,1980[ Detail der Ausgabe ]
L. Fontaine, Modale Logik und Anthropologie. Von den Regeln zum Wort unter den Yucuna-Indianern des kolumbianischen Amazonas . L'Homme , Nr. 184, 2007, 131-153.
P. Gochet, P. Gribomont, A. Thayse, Logique, Bd. 3: Methoden für künstliche Intelligenz, Paris, Hermès-Lavoisier, 2000, 394p. (Sehr vollständige Zusammenfassung der wichtigsten Modallogiken auf Französisch).