Schlangenlemma

Die Schlange Lemma , in der Mathematik , insbesondere in Homologie und Kohomologie , ist eine gültige Anweisung in jeder abelschen Kategorie  ; es ist ein sehr wichtiges Werkzeug zur Konstruktion exakter Sequenzen , allgegenwärtiger Objekte in der Homologie und deren Anwendungen, beispielsweise in der algebraischen Topologie . Die so konstruierten Morphismen werden allgemein als "Verbindungsmorphismen" bezeichnet.

Zustände

Betrachten Sie in einer abelschen Kategorie (zum Beispiel der Kategorie der abelschen Gruppen oder der der Vektorräume auf einem Körper ) das folgende kommutative Diagramm :

wobei die Zeilen exakte Sequenzen sind und 0 das Nullobjekt der betreffenden Kategorie ist. Dann existiert eine exakte Sequenz, die die Kernel und die Cokernel von a , b und c verbindet  :

ker⁡beim⟶ker⁡b⟶ker⁡vs⟶dKoker⁡beim⟶Koker⁡b⟶Koker⁡vs.{\ displaystyle \ ker a \; {\ color {Gray} \ longrightarrow} \ ker b \; {\ color {Gray} \ longrightarrow} \ ker c \; {\ overset {d} {\ longrightarrow}} \ Operatorname { coker} a \; {\ color {Gray} \ longrightarrow} \ Operatorname {coker} b \; {\ color {Gray} \ longrightarrow} \ Operatorname {coker} c.}

Wenn der Morphismus f ein Monomorphismus ist , dann ist auch der Morphismus ker a → ker b , und wenn g ' ein Epimorphismus ist , dann ist es auch coker b → coker c .

Demonstration

Nach dem Einbettungstheorem von Mitchell reicht es aus, das Ergebnis auf den Modulkategorien zu beweisen , um es auf alle kleinen abelschen Kategorien zu erweitern. Wir begnügen uns daher damit, das Ergebnis für jede Modulkategorie nachzuweisen.

Seien wir dann nach der Genauigkeit der ersten Zeile so, dass . Dann haben wir durch Kommutativität des Diagramms, weil wir im Kern von . Also, für die Genauigkeit der zweiten Zeile. Schließlich haben wir nach der Injektivität von (die aus der Genauigkeit der zweiten Zeile folgt) eine Eindeutigkeit, so dass . Diese wird weitergesendet . x∈ker⁡vs⊂VS{\ displaystyle x \ in \ ker c \ Teilmenge C}ja∈B{\ displaystyle y \ in B}G(ja)=x{\ Anzeigestil g (y) = x}G'∘b(ja)=vs∘G(ja)=0{\ displaystyle g '\ circ b (y) = c \ circ g (y) = 0}x{\ Anzeigestil x}vs{\ Anzeigestil c}b(ja)∈ker⁡G'=Ich bin⁡f'{\ displaystyle b (y) \ in \ ker g '= \ Operatorname {Im} f'}f'{\ displaystyle f '}z∈BEIM'{\ displaystyle z \ in A '}f'(z)=b(ja){\ displaystyle f '(z) = b (y)}z{\ Anzeigestil z}[z]∈Koker⁡beim{\ displaystyle [z] \ in \ Operatorname {coker} a}

Dann definieren wir den Kantenmorphismus durch . d(x)=[z]{\ Anzeigestil d (x) = [z]}

Es bleibt zu zeigen, dass diese Definition nicht von der gewählten abhängt . Wenn wir einen anderen geeigneten nehmen , geben wir den Namen und den Wert von in an . Per Definition gibt es also solche, dass . Durch Kommutativität haben wir . Durch Injektivität, . ja{\ Anzeigestil y}ja'{\ displaystyle y '}Δ=ja-ja'{\ displaystyle \ Delta = y-y '}ζ'{\displaystyle\zeta'}Δ{\ Anzeigestil \ Delta}BEIM'{\ Anzeigestil A '}Δ∈ker⁡G=Ich bin⁡f{\ displaystyle \ Delta \ in \ ker g = \ Operatorname {Im} f}α∈BEIM{\ displaystyle \ alpha \ in A}f(α)=Δ{\ displaystyle f (\ alpha) = \ Delta}f'∘beim(α)=b∘f(α)=b(Δ){\ displaystyle f '\ circ a (\ alpha) = b \ circ f (\ alpha) = b (\ Delta)}beim(α)=ζ'∈Ich bin⁡beim{\ displaystyle a (\ alpha) = \ zeta '\ in \ Operatorname {Im} a}

Somit liegt der Unterschied zwischen , assoziiert mit und assoziiert mit , im Bild und damit im Quotienten . z{\ Anzeigestil z}ja{\ Anzeigestil y}z'{\ displaystyle z '}ja'{\ displaystyle y '}beim{\ Anzeigestil a}[z]=[z']{\ Anzeigestil [z] = [z ']}

 

Referenz

(fr) Dieser Artikel ist teilweise oder vollständig aus dem Wikipedia - Artikel in genommen englischen Titeln „  Snake Lemma  “ ( siehe die Liste der Autoren ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">