Linker Körper

In der Mathematik ist ein linkes Feld oder ein Teilungsring (manchmal einfach als Feld bezeichnet , siehe unten) eine der in der allgemeinen Algebra verwendeten algebraischen Strukturen . Es ist eine Menge, die mit zwei binären Operationen versehen ist, die bestimmte Arten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division ermöglichen. Genauer gesagt ist ein linkes Feld ein Ring, in dem die Menge der Nicht-Null-Elemente eine Gruppe zur Multiplikation ist.

Gemäß der gewählten Definition eines Feldes, das sich je nach Autor unterscheidet (die Kommutativität der Multiplikation wird nicht immer auferlegt), ist der Begriff des linken Feldes entweder streng äquivalent zu dem des Feldes (wenn die Kommutativität der Multiplikation nicht auferlegt wird) oder stellt eine Verallgemeinerung des Begriffs des Körpers dar (wenn er auferlegt wird). Weitere Informationen finden Sie im Artikel Body (Mathematik) .

Definition

Ein linker Körper ist ein (einheitlicher) Ring , der nicht auf ein Element reduziert ist und in dem jedes Nicht-Null-Element eine Umkehrung für die Multiplikation aufweist. Mit anderen Worten, es ist ein einheitlicher Ring, der nicht auf ein Element reduziert ist und in dem die Menge der Nicht-Null-Elemente eine Gruppe für die Multiplikation ist.

Beispiele

Jedes kommutative Feld ist ein linkes Feld.
Das bekannteste Beispiel eines nichtkommutative linken Bereich ist die von Quaternionen , durch entdeckte William Rowan Hamilton in 1843 .
Sei ein Automorphismus von Körpern. Betrachten Sie den Ring der formalen Laurent Serie mit komplexen Koeffizienten mit dem Multiplikationsgesetz wie folgt definiert: anstatt einfach von den Koeffizienten auf Schalter mit dem unbestimmten ermöglicht , für , wir stellen für . Wenn es sich um einen nichttrivialen Automorphismus des Komplexfeldes handelt (z. B. die Konjugation ), ist der Ring der entsprechenden formalen Laurent-Reihe ein nichtkommutatives linkes Feld. ${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ((z, \ sigma))}$ $z$ $\ alpha \ in {\ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle z ^ {i} \ alpha: = \ sigma ^ {i} (\ alpha) z ^ {i}}$ ${\ displaystyle i \ in \ mathbb {Z}}$ $\ sigma$

Ergebnisse

Ein Wedderburn-Theorem stellt sicher, dass jedes endliche linke Feld kommutativ ist.
Bei einem einfachen Modul an einem (Einheits-) Ring R ist der Ring der Endomorphismen dieses Moduls ein linkes Feld, a priori nicht kommutativ, selbst wenn R ist. Es ist eine der vielen Formen von Schurs Lemma .
Das Zentrum eines linken Körpers K ist per Definition die Menge Z ( K ) = { x ∈ K | ∀ y ∈ K , xy = yx }. Es ist ein kommutatives Feld. Infolgedessen wird ein linkes Feld natürlich mit einer assoziativen Algebra- Struktur über einem kommutativen Feld versehen. Dies ist ein besonderer Fall der Divisionsalgebra . Wenn die Dimension von K in seiner Mitte endlich ist, zeigen wir, dass es ein Quadrat ist .

Anmerkungen und Referenzen

André Blanchard, Nichtkommutative Felder , PUF,1972, p. 43
André Blanchard, op. cit. , p. 66

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