Quasikonvexe Funktion

In der Mathematik ist eine quasi-konvexe Funktion ist eine Echtwertfunktion , auf einer definierten konvexe Menge eines wirklichen Vektorraumes, wechselseitige Bild von jedem Satz von der Form konvex oder sogar derart , daß auf jedem Segment , desto größer ist Der Wert der Funktion wird an einem Ende erreicht. Das Gegenteil einer quasi-konvexen Funktion wird als quasi-konkav bezeichnet . ${\ displaystyle \ left] - \ infty, a \ right]}$

Jede konvexe Funktion ist quasi konvex aber das Gegenteil ist false: zum Beispiel jede monotone Funktion über ein reelles Intervall ist quasi linear , die sowohl quasi konvexe und konkaven quasi zu sagen ist.

Definition und Eigenschaften

Eine Funktion, die auf einem konvexen Teil C eines realen Vektorraums E definiert ist, heißt: ${\ displaystyle f: C \ to \ mathbb {R}}$

quasi-konvex, wenn für irgendeinen Real die Menge der Unterebenen konvex ist oder, was äquivalent ist, wenn $beim$ ${\ displaystyle \ {x \ in C \ mid f (x) \ leq a \}}$ ${\ displaystyle \ forall x, y \ in C \ quad \ forall z \ in \ left [x, y \ right] \ quad f (z) \ leq \ max \ left (f (x), f (y) \ Recht)}$ ;;
streng quasi-konvex, wenn wir überhaupt haben: ${\ displaystyle \ forall x, y \ in C \ quad \ forall z \ in \ left] x, y \ right [\ quad f (z) <\ max \ left (f (x), f (y) \ right )}$ ;;
quasi konkav, wenn sein Gegenteil quasi konvex ist, das heißt wenn ${\ displaystyle \ forall x, y \ in C \ quad \ forall z \ in \ left [x, y \ right] \ quad f (z) \ geq \ min \ left (f (x), f (y) \ Recht)}$ ;;
streng quasi-konkav, wenn sein Gegenteil streng quasi-konvex ist, d. h. wenn ${\ displaystyle \ forall x, y \ in C \ quad \ forall z \ in \ left] x, y \ right [\ quad f (z)> \ min \ left (f (x), f (y) \ right )}$ .

Jede lineare Form ist quasi linear, dh sowohl quasi konvex als auch quasi konkav.

Eine (streng) quasikonvexe Funktion ist im unteren Teil der Kontur (streng) konvex ( Adhäsion, Innenraum und Rand einer Konvexität ), während eine (streng) quasikonkave Funktion im oberen Teil der Kontur (streng) konvex ist die Kontur.

Eine in einem Intervall definierte Funktion ist genau dann quasi konvex, wenn sie monoton ist oder "abnimmt, dann zunimmt", dh wenn sie in zwei komplementären Intervallen existiert (eines der beiden kann leer sein), so dass entweder abnimmt und immer weiter . Ebenso ist es fast konkav, wenn und nur wenn es monoton ist oder "zunimmt, dann abnimmt". Es ist daher genau dann fast linear, wenn es monoton ist. $f$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ $ich$ ${\ displaystyle I_ {1} <I_ {2}}$ $f$ $I_1$ $I_ {2}$ $f$

Wenn eine Funktion mit einem globalen Maximum an einem Punkt m der Konvexität quasi konkav ist, ist sie unimodal (in) , dh sie nimmt entlang eines orientierten Segments zu, das mit m endet . Das Umgekehrte ist wahr, wenn (gemäß der vorhergehenden Charakterisierung der Quasi-Konkavität in diesem Fall), aber man baut leicht auf einer unimodalen Funktion auf und nicht auf einer Quasi-Konkavität . ${\ displaystyle C \ subset E}$ ${\ displaystyle E = \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$

Interesse des Konzepts

Bei der Optimierung können Probleme mit quasikonvexen Zielfunktionen mit denselben Methoden wie mit konvexen Zielfunktionen gelöst werden. Insbesondere bei uneingeschränkten Problemen oder mit einer zulässigen konvexen Menge ist jedes lokale Minimum ein globales Minimum , es sei denn, die Funktion ist in der Nähe dieses Punktes konstant. Die Abstiegsalgorithmen können durch eine solche "horizontale Ablage" "eingefangen" werden.

Anmerkungen und Referenzen

( Fr ) Dieser Artikel teilweise oder vollständig aus dem Wikipedia - Artikel in genommen englischen Titeln „ quasikonvexe Funktion “ ( siehe die Liste der Autoren ) .

Übung korrigiert aus dem Kapitel "Konvexität" der Lektion über die Funktionen einer realen Variablen in Wikiversity .
, th. 4.9.11.
(in) " Wie kann man genau dann quasi-konvex beweisen, wenn es unimodal ist? » , Auf math.stackexchange.com ,September 2015.
(in) Harvey J. Greenberg und WP Pierskalla, " Ein Überblick über fast konvexe Funktionen " , Operations Research , Vol. 19, n o 7,1971, p. 1553-1570 ( online lesen ) : Tabelle II p. 1560 , 11.b.

Siehe auch

Literaturverzeichnis

(en) Mordechai Avriel, Walter E. Diewert (en) , Siegfried Schaible und Israel Zang, Generalisierte Konkavität , SIAM , Slg . "Classics in Applied Mathematics" ( n o 63),2010( 1 st ed. 1988) ( Leseleitung ) , Kap. 3
( fr ) Stephen Boyd und Lieven Vandenberghe , Kap. 3.4 „Quasikonvexe Funktionen“ in Convex Optimization , Cambridge Press University,2004730 p. ( ISBN 978-0-521-83378-3 , online lesen ) , p. 95-103
(en) Jean-Pierre Crouzeix, „Quasi-Konkavität“ , in SN Durlauf und LE Blume, The New Palgrave Dictionary of Economics , Palgrave Macmillan ,2008, 2 nd ed. ( DOI 10.1057 / 9780230226203.1375 , online lesen )
(en) Ivan Singer, Abstrakte konvexe Analyse , Reihe von Monographien und fortgeschrittenen Texten der Canadian Mathematical Society, John Wiley & Sons, New York, 1997. xxii + 491 pp. ( ISBN 0-471-16015-6 )
(en) Maurice Sion, " Über allgemeine Minimax-Theoreme " , Pacific J. Math. , Vol. 8,1958, p. 171-176 ( online lesen )

Externe Links

(en) Charles Wilson, „Konkave und quasi-konkave Funktionen“ (Version vom 10. Mai 2012 im Internetarchiv ) , New York University , Department of Economics
(en) Martin J. Osborne, „ Quasikonkavität und Quasikonvexität “ , an der Universität von Toronto , Department of Economics