Rückstandssatz

In komplexer Analyse die Residuensatzes ist ein leistungsfähiges Werkzeug für die Bewertung krummlinigen Integrale von holomorphen Funktionen auf geschlossene Kurven , die auf den beruhen Residuen der Funktion integriert werden.

Es ist zu berechnen Integrale von reellen Funktionen sowie die Summe bestimmter Serie . Es verallgemeinert den Cauchy-Integralsatz und die Cauchy-Integralformel .

Zustände

Sei U eine offene und einfach verbundene Menge der komplexen Ebene ℂ, { z 1 , ..., z n } eine Menge von n Punkten von U und f eine definierte und holomorphe Funktion auf U \ { z 1 , . .., z n }.

Ist γ eine korrigierbare Kurve in U, die keinen der singulären Punkte z k trifft und deren Anfangspunkt dem Endpunkt entspricht (d. h. eine korrigierbare Gier ), dann:

∫γF(z) Dz=2πichΣk=1nichtAuflösung⁡(F,zk)ichnichtDγ(zk).{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ Operatorname {Res} (f, z_ {k} ) \, \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {k}).}

Hier Res ( f , z k ) bezeichnet den Rest von f in z - k , und der Gierindex γ in Bezug auf z k . Intuitiv ist der Gierindex die Anzahl der Drehungen um z k , die ein Punkt durchquert, der die gesamte Gierbewegung durchquert. Diese Anzahl von Umdrehungen ist eine ganze Zahl  ; es ist positiv , wenn γ gegen den Uhrzeigersinn (Vorwärtsrichtung) um durchlaufen wird z k , Null ist, wenn γ nicht bewegt rund um z k haupt , und negativ , wenn γ im Uhrzeigersinn durchlaufen wird . im Uhrzeigersinn um z k . ichnichtDγ(zk){\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {k})}

Der Index ist definiert durch

Indγ⁡(zk)=12πich∫γDzz-zk.{\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ gamma} (z_ {k}) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {{\ text {d} } z} {z-z_ {k}}}.} Demonstration

Sei F die Menge der singulären Punkte der Funktion f , oder die Funktion lässt eine Laurent-Entwicklung auf einer bestimmten stumpfen Scheibe zu, deren Mittelpunkt in  : z0∈F{\ displaystyle z_ {0} \ in F}D(z0,R)∖{z0}{\ displaystyle D (z_ {0}, r) \ Backslash \ {z_ {0} \}}R>0{\ Anzeigestil r> 0}z0{\ Anzeigestil z_ {0}}

F(z)=Σnicht∈ZBz0,nicht(z-z0)nicht{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} b_ {z_ {0}, n} (z-z_ {0}) ^ {n}}

Lassen Sie die Reihe normalerweise gegen die Kompakten von konvergieren, die durch den Singularteil der Laurent-Entwicklung von f definiert sind  : hz0{\ displaystyle h_ {z_ {0}}}U-{z0}{\ Displaystil U - \ {z_ {0} \}}

hz0(z)=Σ-∞-1Bz0,nicht(z-z0)nicht{\ displaystyle h_ {z_ {0}} (z) = \ sum _ {- \ infty} ^ {- 1} b_ {z_ {0}, n} (z-z_ {0}) ^ {n}}

Betrachten Sie nun die holomorphe Funktion g auf U und definiert durch:

g(z)=F(z)-Σzich∈Fhzich(z){\ displaystyle g (z) = f (z) - \ sum _ {z_ {i} \ in F} h_ {z_ {i}} (z)}

dh die Funktion f abzüglich ihrer Entwicklungen in der Umgebung ihrer Singularitäten . U a ist einfach zusammenhängende offen , die Spitze ist homotope an einem Punkt in U und deshalb γ{\ displaystyle \ gamma}

∫γg(z) Dz=0{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) ~ \ mathrm {d} z = 0}

also haben wir :

∫γF(z) Dz=Σzich∈F∫γhzich(z) Dz{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ sum _ {z_ {i} \ in F} \ int _ {\ gamma} h_ {z_ {i}} (z ) ~ \ mathrm {d} z}

Da die Reihen normalerweise konvergent sind, können wir schreiben: hzich{\ displaystyle h_ {z_ {i}}}

∫γhzich(z) Dz=Σ-∞-1Bzich,nicht∫γ(z-zich)nicht Dz{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} h_ {z_ {i}} (z) ~ \ mathrm {d} z = \ sum _ {- \ infty} ^ {- 1} b_ {z_ {i}, n} \ int _ {\ gamma} (z-z_ {i}) ^ {n} ~ \ mathrm {d} z}

und wir haben:

∫γ(z-zich)nicht Dz=2ichπichnichtDγ(zich)δnicht,-1{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} (z-z_ {i}) ^ {n} ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {i}) \ Delta _ {n, -1}}

wo ist das Kronecker-Symbol . Wir haben die Tatsache verwendet, dass für alles ein holomorphes Primitiv vorhanden ist, daher ist das obige Integral außer für null . In diesem Fall finden wir die Definition des Index . Durch Einsetzen dieses Ergebnisses in die obige Formel erhalten wir: δ{\ displaystyle \ delta}(z-zich)nicht{\ Anzeigestil (z-z_ {i}) ^ {n}}nicht≠-1{\ displaystyle n \ neq -1}nicht=-1{\ Anzeigestil n = -1}

∫γF(z) Dz=2ichπΣzich∈FBzich,-1ichnichtDγ(zich){\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {z_ {i} \ in F} b_ {z_ {i}, - 1} \ mathrm { Ind} _ {\ gamma} (z_ {i})}

entweder noch per Definition des Rückstands:

∫γF(z) Dz=2ichπΣzich∈FReS(F,zich)ichnichtDγ(zich).{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {z_ {i} \ in F} \ mathrm {Res} (f, z_ {i}) \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {i}).}

Variante

„Sei D eine offene Riemann-Kugel S 2 und f eine holomorphe Funktion in D außer vielleicht an isolierten Punkten, die für f singulär sind . Sei Γ die orientierte Kante eines kompakten A, das in D enthalten ist, und angenommen, dass Γ keinen singulären Punkt von f enthält , noch den Punkt im Unendlichen. Die in A enthaltenen singulären Punkte z k sind dann endlich, und wir haben die Beziehung:

∫ΓF(z) Dz=2πichΣkAuflösung⁡(F,zk),{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ sum _ {k} \ Operatorname {Res} (f, z_ {k}),}

wobei Res ( f, z k ) den Rest der Funktion f am Punkt z k bezeichnet  ; die Summation wird auf alle singulären Punkte z k ∈ A ausgedehnt , möglicherweise einschließlich des Punktes im Unendlichen . "

Anwendung auf die Berechnung reeller Integrale

Um reelle Integrale auszuwerten , wird der Residuensatz oft wie folgt verwendet: Der Integrand wird zu einer holomorphen Funktion auf einer offenen der komplexen Ebene erweitert; seine Residuen werden berechnet, und ein Teil der reellen Achse wird zu einer geschlossenen Kurve verlängert, indem ein Halbkreis in der oberen oder unteren Halbebene daran angefügt wird. Das Integral entlang dieser Kurve kann dann mit dem Residuensatz berechnet werden. Dank des Schätzlemmas oder des Jordanschen Lemmas geht oft der Teil des Integrals über dem Halbkreis gegen Null, wenn der Radius des letzteren gegen Unendlich strebt, so dass nur der Teil des Integrals über der reellen Achse übrig bleibt, der zunächst interessierte uns.

Die folgende Liste ist nicht erschöpfend, aber sie gibt eine allgemeine Vorstellung von der Technik unter Verwendung des Residuensatzes, die wir diskutieren:

• die Integrale des "ersten Typs" : wobei eine rationale Funktion ist;∫02πR(cos⁡(T),Sünde⁡(T)) DT{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} R (\ cos (t), \ sin (t)) ~ \ mathrm {d} t}R{\ Anzeigestil R}
• die Integrale des "zweiten Typs"  :  ;∫-∞+∞F(x) Dx{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x}
• die Integrale des "dritten Typs"  :  ;∫-∞+∞F(x)eichZux Dx{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ mathrm {e} ^ {iax} ~ \ mathrm {d} x}
• die Integrale des "vierten Typs"  : Kombination der beiden vorhergehenden Fälle unter Berücksichtigung des Hauptwertes von Cauchy des Integrals.

Erster Typ

Sei die Berechnung des folgenden reellen Integrals:

ich=∫02πR(cos⁡(T),Sünde⁡(T)) DT{\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} R (\ cos (t), \ sin (t)) ~ \ mathrm {d} t}

mit einer rationalen Funktion mit endlich vielen singulären Punkten, von denen keiner zum Ursprungskreis mit Radius 1 gehört. Wir erhalten nach dem Residuensatz: R{\ Anzeigestil R}zJ{\ displaystyle z_ {j}}VS(0,1){\ Anzeigestil C (0,1)}

ich=2ichπΣ|zJ|<1ReS(F,zJ){\ displaystyle I = 2i \ pi \ sum _ {| z_ {j} | <1} \ mathrm {Res} (f, z_ {j})}

wobei ist wie folgt definiert: F{\ Anzeigestil f}

F(z)=1ichzR(z+z-12,z-z-12ich).{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {iz}} R \ left ({\ frac {z + z ^ {- 1}} {2}}, {\ frac {zz ^ {- 1} } {2i}} \ richtig).} Demonstration

Nehmen wir als Kontur den wie folgt parametrierten Kreis : γ{\ displaystyle \ gamma}VS(0,1){\ Anzeigestil C (0,1)}

γ:[0,2π]→VS,γ(T)=eichT.{\displaystyle\gamma: [0,2\pi]\to\mathbb{C},\gamma(t)=e^{it}.}

Wir haben dann:

∫γF(z) Dz=∫02π1icheichTR(cos⁡(T),Sünde⁡(T))⋅icheichT DT=ich{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {1 \ over dh ^ {it}} R (\ cos (t ), \ sin (t)) \ cdot dh ^ {it} ~ \ mathrm {d} t = I}

wobei wir die Eulersche Formel verwendet haben , um von komplexen Exponentialfunktionen zu trigonometrischen Funktionen zu gelangen. Darüber hinaus sagt uns der Residuensatz, dass dieses Integral wert ist:

∫γF(z) Dz=2ichπΣzJ∈FReS(F,zJ)ichnichtDγ(zJ)=2ichπΣ|zJ|<1ReS(F,zJ){\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {z_ {j} \ in F} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {j}) = 2i \ pi \ sum_ {| z_ {j} | <1} \ mathrm {Res} (f, z_ {j})}

wobei bezeichnet die (endliche) Menge singulärer Punkte, die zur offenen Scheibe gehören . Durch Gleichsetzen der letzten beiden erhaltenen Relationen finden wir die Ausgangsidentität. F{\ Anzeigestil F}F{\ Anzeigestil f}D(0,1){\ Anzeigestil D (0,1)}

Beispiel

Aufgabe  : Berechnen Sie das folgende Integral:

ich=∫02πDxZu+Sünde⁡(x),(Zu>1){\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {\ mathrm {d} x} {a + \ sin (x)}} \ ,, \, \, (a> 1) }

Lösung  : wir befinden uns in den oben genannten Bedingungen, wir haben also:

ich=2πZu2-1.{\ displaystyle I = {2 \ pi \ über {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}.}

Entwicklung  : die entsprechende rationale Funktion ist:

R(x,ja)=1Zu+ja.{\ displaystyle R (x, y) = {1 \ über a + y}.}

Damit baut man die entsprechende Funktion zur Residuenberechnung: F{\ Anzeigestil f}

F(z)=1ichzR(z+z-12,z-z-12ich)=2z2+2ichZuz-1=1ichZu2-1(1z-P--1z-P+),{\ displaystyle f (z) = {1 \ over iz} R \ left ({z + z ^ {- 1} \ over 2}, {zz ^ {- 1} \ over 2i} \ right) = {2 \ über z ^ {2} + 2iaz-1} = {\ frac {1} {i {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}} \ left ({\ frac {1} {zp _ {- } }} - {\ frac {1} {zp _ {+}}} \ rechts),}

die beiden einfachen Pole sind:

P±=-ich(Zu±Zu2-1).{\ displaystyle p _ {\ pm} = - i (a \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -1}}).}

Der Pol liegt außerhalb des Einheitskreises ( ) und sollte daher nicht berücksichtigt werden; die Stange ist innen ( ). P+{\ displaystyle p _ {+}}|P+|>1{\ displaystyle | p _ {+} |> 1}P-=-1/P+{\ displaystyle p _ {-} = - 1 / p _ {+}}|P-|<1{\ displaystyle | p _ {-} | <1}

Der Rest von an diesem Pol ist: F{\ Anzeigestil f}

ReS(F,P-)=limz→P-(z-P-)F(z)=1ichZu2-1.{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, p _ {-}) = \ lim _ {z \ to p _ {-}} (zp _ {-}) f (z) = {1 \ über i {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}.}

Wir müssen nun die Ausgangsformel anwenden:

ich=2ichπReS(F,P-)=2πZu2-1.{\ displaystyle I = 2i \ pi \ mathrm {Res} (f, p _ {-}) = {2 \ pi \ über {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}.}

Zweiter Typ

Sei die Berechnung des folgenden reellen Integrals:

ich=∫-∞+∞F(x) Dx{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x}

mit einer Menge von rein komplexen isolierten singulären Punkten . Wenn es existiert und so dass für jeden Modulkomplex größer oder gleich , dann F{\ Anzeigestil f}zJ{\ displaystyle z_ {j}}m,R>0{\ Anzeigestil M, R> 0}α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}|F(z)|≤m|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ Anzeigestil z}R{\ Anzeigestil R}

∫-∞+∞|F(x)| Dx<+∞{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (x) | ~ \ mathrm {d} x <+ \ infty}

und

ich=2ichπΣi(zJ)>0ReS(F,zJ)=-2ichπΣi(zJ)<0ReS(F,zJ).{\ displaystyle I = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) = - 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ { j}) <0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}).}

Hinweis  : In dem Fall, wo eine rationale Funktion durch mit und Polynome definiert ist, genügt es zu verlangen, dass (wobei den Grad des Polynoms darstellt) die Hypothesen zu überprüfen und die Identität anzuwenden. F{\ Anzeigestil f}F(z)=P(z)Q(z){\ displaystyle f (z) = {P (z) \ über Q (z)}}P{\ Anzeigestil P}Q{\ Displaystil Q}Deg(Q)≥Deg(P)+2{\ displaystyle \ mathrm {deg} (Q) \ geq \ mathrm {deg} (P) +2}Deg{\ displaystyle \ mathrm {deg}}

Demonstration

• Wir haben :

∫R+∞|F(x)| Dx≤m∫R+∞Dxxα=m⋅R1-αα-1<+∞{\ displaystyle \ int _ {R} ^ {+ \ infty} | f (x) | ~ \ mathrm {d} x \ leq M \ int _ {R} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ über x ^ {\ alpha}} = M \ cdot {R ^ {1- \ alpha} \ über \ alpha -1} <+ \ infty}

wobei die letzte Ungleichung davon herrührt, dass . α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}

Das Argument ist das gleiche für das Integral von to . Da die Funktion keinen reellen singulären Punkt hat, ist sie von nach beschränkt und daher gilt -∞{\ displaystyle - \ infty}-R{\ displaystyle -R}-R{\ displaystyle -R}R{\ Anzeigestil R}

∫-∞+∞|F(x)| Dx<+∞.{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (x) | ~ \ mathrm {d} x <+ \ infty.}

• Entweder nehmen wir als Kontur den Halbkreis, der sich in der oberen Halbebene befindet (der Fall in der unteren Halbebene ist identisch), der für den Durchmesser das Intervall hat und in Abbildung 1 dargestellt ist. An der Grenze, wenn umgibt die Kontur den ganzen Singular Punkte in der oberen Halbebene (ihr Index in Bezug auf die Kontur ist daher +1). Nach dem Residuensatz gilt:R>R{\ Anzeigestil r> R}[-R,R]{\ Anzeigestil [-r, r]}R→∞{\ displaystyle r \ bis \ infty}F{\ Anzeigestil f}

limR→∞∫γF(z) Dz=2ichπΣi(zJ)>0ReS(F,zJ).{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum_ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}).}

Indem wir die Kontur in ihre zwei Hauptteile zerlegen, haben wir außerdem:

limR→∞=∫-∞+∞F(x) Dx+limR→∞∫0πF(ReichT)ichReichT DT.{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x + \ lim _ {r \ bis \ infty} \ int _ {0} ^ {\ pi} f \ left (re ^ {it} \ right) ire ^ {it} ~ \ mathrm {d} t.}

Mit dem Schätzlemma haben wir jedoch:

limR→∞|∫0πF(ReichT)ichReichT DT|≤limR→∞(πR⋅max|z|=R|F(ReichT)|)≤limR→∞(πRmRα)=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ left | \ int _ {0} ^ {\ pi} f \ left (re ^ {it} \ right) ire ^ {it} ~ \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ lim _ {r \ to \ infty} \ left (\ pi r \ cdot \ max _ {| z | = r} | f \ left (re ^ {it} \ right) | \ right ) \ leq \ lim _ {r \ to \ infty} \ left ({\ pi rM \ over r ^ {\ alpha}} \ right) = 0}

wobei wir in der letzten Grenze die Tatsache verwendet haben, dass . Indem wir die vorherigen Beziehungen wieder aufnehmen, finden wir die ursprüngliche Identität. α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}

Beispiel

Problem  : Berechnen Sie das folgende Integral nach der Residuenmethode  :

ich=∫-∞+∞Dxx2+Zu2,(Zu>0).{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ über x ^ {2} + a ^ {2}} \ ,, \, \, (a> 0).}

Lösung  : Diese Funktion hat eine reelle Stammfunktion (die Funktion (arctan (x / a)) / a) und die unmittelbare Lösung ist . ich=πZu{\ displaystyle I = {\ pi \ über a}}

Entwicklung  : Die Funktion lässt zwei einfache Pole zu . Nur einer dieser beiden Pole ist in der oberen Ebene enthalten, also haben wir: P1,2=±ichZu{\ displaystyle p_ {1,2} = \ pm ia}

ich=2ichπ⋅ReS(F,ichZu){\ displaystyle I = 2i \ pi \ cdot \ mathrm {Res} (f, ia)}

mit

ReS(F,ichZu)=limz→ichZuz-ichZuz2+Zu2=12ichZu.{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, ia) = \ lim _ {z \ to ia} {z-ia \ über z ^ {2} + a ^ {2}} = {1 \ über 2ia}.}

Wir prüfen das daher erwartungsgemäß. ich=πZu{\ displaystyle I = {\ pi \ über a}}

Dritter Typ

Sei die Berechnung des folgenden reellen Integrals:

ich=∫-∞+∞F(x)eichZux Dx{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ mathrm {e} ^ {iax} ~ \ mathrm {d} x}

mit einer Menge rein komplexer isolierter singulärer Punkte. Wenn es für jeden Modulkomplex größer oder gleich einen solchen gibt , dann gilt: F{\ Anzeigestil f}m,R>0{\ Anzeigestil M, R> 0}|F(z)|≤m|z|{\ displaystyle | f (z) | \ leq {\ frac {M} {| z |}}}z{\ Anzeigestil z}R{\ Anzeigestil R}

(SichZu>0),ich=2ichπΣi(zJ)>0ReS(F(z)eichZuz,zJ){\ displaystyle (\ mathrm {si} \, \, a> 0), \ quad I = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} \ left (f ( z) \ mathrm {e} ^ {iaz}, z_ {j} \ rechts)}

und

(SichZu<0),ich=-2ichπΣi(zJ)<0ReS(F(z)eichZuz,zJ).{\ displaystyle (\ mathrm {si} \, \, a <0), \ quad I = -2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j}) <0} \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ mathrm {e} ^ {iaz}, z_ {j} \ rechts).} Demonstration

Nehmen wir das an und betrachten die in Abbildung 2 dargestellte Kontur . Der andere Fall ( ) ist identisch (wir nehmen die Kontur in der unteren Halbebene). Nehmen wir an, diese Kontur geht von bis und von 0 bis . Nehmen wir auch an, dass die Kontur , indem sie gegen Unendlich strebt, daher alle Singularitäten der oberen Halbebene mit einem Index +1 umrahmt. Der Residuensatz liefert uns: Zu>0{\ Anzeigestil a> 0}γ{\ displaystyle \ gamma}Zu<0{\ Anzeigestil a <0}-x1{\ displaystyle -x_ {1}}x2{\ Displaystil x_ {2}}ichja1{\ displaystyle iy_ {1}}x1,x2,ja1≥R{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y_ {1} \ geq R}R{\ Anzeigestil R}

limR→∞∫γF(z) Dz=2πichΣi(zJ)>0ReS(F(z)eichZuz,zJ).{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0 } \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ mathrm {e} ^ {iaz}, z_ {j} \ right).}

Indem man das Integral in seine vier Hauptteile zerlegt, die mit dem Integral entlang des Segments , entlang des Segments und symmetrisch zu notiert werden . stellt (letztendlich) das reelle Integral dar, das wir berechnen wollen. ichich{\ Displaystil I_ {i}}ich1{\ Displaystil I_ {1}}x2+ichja{\ displaystyle x_ {2} + iy}ich2{\ displaystyle I_ {2}}x+ichja1{\ Displaystil x + iy_ {1}}ich3{\ Displaystil I_ {3}}ich1{\ Displaystil I_ {1}}ich4{\ Displaystil I_ {4}}

Wir zeigen, dass letztendlich das Integral entlang der drei Segmente der Funktion Null ist, womit der Beweis beendet ist. ich1,ich2,ich3{\ Displaystil I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}

Tatsächlich können wir die verschiedenen Teile wie folgt erhöhen:

|ich1|≤∫0ja1|F(x2+ichja)|e-Zuja Dja.{\ displaystyle | I_ {1} | \ leq \ int _ {0} ^ {y_ {1}} | f (x_ {2} + iy) | \ mathrm {e} ^ {- ay} ~ \ mathrm {d } j.}

Unter Verwendung der Hypothese haben wir jedoch:

|F(x2+ichja)|≤m|x2+ichja|≤mx2.{\ displaystyle | f (x_ {2} + iy) | \ leq {M \ über | x_ {2} + iy |} \ leq {M \ über x_ {2}}.}

Infolge,

|ich1|≤mx2∫0ja1e-Zuja Dja=mZux2(1-e-Zuja1)≤mZux2.{\ displaystyle | I_ {1} | \ leq {M \ over x_ {2}} \ int _ {0} ^ {y_ {1}} \ mathrm {e} ^ {- ay} ~ \ mathrm {d} y = {M \ über ax_ {2}} (1- \ mathrm {e} ^ {- ay_ ​​{1}}) \ leq {M \ über ax_ {2}}.}

Die Grenze wann dieses Integrals ist null, da und . Das oben entwickelte Argument gilt für . R→∞{\ displaystyle R \ bis \ infty}Zu>0{\ Anzeigestil a> 0}x2≥R{\ displaystyle x_ {2} \ geq R}ich3{\ Displaystil I_ {3}}

Es bleibt, dass es nicht viel anders ist: ich2{\ displaystyle I_ {2}}

|ich2|≤∫-x1x2|F(x+ichja1)|e-Zuja1 Dx≤mja1e-Zuja1.{\ displaystyle | I_ {2} | \ leq \ int _ {- x_ {1}} ^ {x_ {2}} | f (x + iy_ {1}) | \ mathrm {e} ^ {- ay_ {1}} ~ \ mathrm {d} x \ leq {M \ über y_ {1}} \ mathrm {e} ^ {- ay_ ​​​​{1}}.}

Die Grenze wann ist null seit . R→∞{\ displaystyle R \ bis \ infty}ja1≥R{\ displaystyle y_ {1} \ geq R}

Damit ist die Demonstration abgeschlossen.

Beispiel

Aufgabe  : Berechnen Sie das folgende Integral:

ich=∫-∞+∞eBichxDxZu2+x2(Zu,B>0).{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {e} ^ {bix} \ mathrm {d} x \ über a ^ {2} + x ^ {2}} \ Quad (a, b > 0).}

Lösung  : Durch Anwendung des obigen Ergebnisses erhalten wir:

ich=πZuexp⁡(-ZuB).{\ displaystyle I = {\ pi \ over a} \ exp (-ab).}

Hinweis: Der Realteil des Integrals ist und dieses Integral ist genau gültig, da die Lösung nach dem Residuensatz reell ist. ∫-∞+∞cos⁡(Bx)Zu2+x2 Dx{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ cos (bx) \ over a ^ {2} + x ^ {2}} ~ \ mathrm {d} x}ich{\ Displaystil I}

Entwicklung  : Die Funktion hat nur einen Pol in der oberen Ebene, nämlich . Der Rückstand an dieser Stelle ist: F(z)=(Zu2+z2)-1{\ displaystyle f (z) = (a ^ {2} + z ^ {2}) ^ {- 1}}P1=+ichZu{\ displaystyle p_ {1} = + ia}

ReS(F(z)eichBz,+ichZu)=limz→ichZu((z-ichZu)eichBzZu2+z2)=e-ZuB2Zuich.{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ mathrm {e} ^ {ibz}, + ia \ right) = \ lim _ {z \ to ia} \ left ((z-ia) {\ mathrm {e} ^ {ibz} \ über a ^ {2} + z ^ {2}} \ right) = {e ^ {- ab} \ über 2ai}.}

Durch Anwendung der Formel erhalten wir also:

ich=2πich⋅e-ZuB2Zuich=πZuexp⁡(-ZuB).{\ displaystyle I = 2 \ pi i \ cdot {e ^ {-ab} \ over 2ai} = {\ pi \ over a} \ exp (-ab).}

Vierter Typ

Die Integrale des zweiten und dritten Typs erstrecken sich auf Fälle mit einer endlichen Anzahl n von Polen auf der reellen Achse. Es handelt sich dann um ein uneigentliches Integral und man betrachtet dann den Hauptwert von Cauchy des Integrals.

Ist eine holomorphe Funktion auf ℂ außer einer Menge von Polen einzelne reelle und komplexe rein isolierte Singularitäten . Angenommen, wir befinden uns in einem der beiden folgenden Fälle: F{\ Anzeigestil f}xJ{\ Displaystil x_ {j}}zJ{\ displaystyle z_ {j}}

• es existiert und so dass für jeden Modulkomplex größer oder gleich ,m,R>0{\ Anzeigestil M, R> 0}α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}|F(z)|≤m|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ Anzeigestil z}R{\ Anzeigestil R}

Wo

• F(z)=g(z)eichZuz{\ displaystyle f (z) = g (z) \ mathrm {e} ^ {iaz}}mit und existiert so dass für jeden Modulkomplex größer oder gleich .Zu>0{\ Anzeigestil a> 0}m,R>0{\ Anzeigestil M, R> 0}|g(z)|≤m|z|{\ displaystyle | g (z) | \ leq {M \ over | z |}}z{\ Anzeigestil z}R{\ Anzeigestil R}

Dann existiert der Hauptwert von Cauchy (angegeben ) des Integrals und man hat: v.P.{\ displaystyle \ mathrm {vp}}

v.P.∫-∞+∞F(x) Dx=2πichΣi(zJ)>0ReS(F,zJ)+πichΣxJReS(F,xJ).{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 2 \ pi i \ sum _ {\ Im (z_ {j}) > 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) + \ pi i \ sum_ {x_ {j}} \ mathrm {Res} (f, x_ {j}).}

Anmerkung  : Man kann die Formel leicht auf die untere Halbebene erweitern, indem man das Vorzeichen der ersten Summe ändert und nur die rein komplexen Singularitäten in dieser Halbebene betrachtet.

Demonstration

Sei die in Abbildung 3 dargestellte Kontur, man kann diese Kontur in ihre Hauptteile zerlegen: Wir notieren den Halbkreis des Radius , den ten Halbkreis des Radius unter Umgehung der reellen Singularität und schließlich die Menge der Segmente, die sich auf der echte Achse. γR,ε{\ displaystyle \ gamma _ {R, \ varepsilon}}ΓR{\ displaystyle \ Gamma _ {R}}R{\ Anzeigestil R}γε,J{\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon, j}}J{\ Anzeigestil j}ε{\ displaystyle \ varepsilon}xJ{\ Displaystil x_ {j}}σR,ε{\ displaystyle \ sigma _ {R, \ varepsilon}}

Letztendlich haben wir wann und : R→∞{\ displaystyle R \ bis \ infty}ε→0{\displaystyle\varepsilon\to0}

∫σR,εF(z) Dz→v.P.∫-∞+∞F(x) Dx{\ displaystyle \ int _ {\ sigma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z \ to \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x}

Nach dem Residuensatz gilt für hinreichend groß und hinreichend klein: R>0{\ Anzeigestil R> 0}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}

∫γR,εF(z) Dz=2ichπΣi(zJ)>0ReS(F,zJ){\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm { Res} (f, z_ {j})}

und wir haben auch:

∫σR,εF(z) Dz=∫γR,εF(z) Dz-ΣJ=1nicht∫γε,JF(z) Dz-∫ΓRF(z) Dz.{\ displaystyle \ int _ {\ sigma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ int _ {\ gamma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z- \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} f (z) ~ \ mathrm {d} z- \ int _ {\ Gamma _ {R}} f (z) ~ \ mathrm {d} z.}

In gleicher Weise wie bei den beiden vorherigen Integrationsarten wird gezeigt, dass das Integral entlang in den beiden betrachteten Fällen letztlich gegen Null geht. ΓR{\ displaystyle \ Gamma _ {R}}

Wir müssen also die Integrale entlang der Halbkreise berechnen . In der Nähe eines echten einfachen Pols , lässt eine Entwicklung von Laurent auf einer stumpfen Scheibe mittig zu . Da es sich um einen einfachen Pol handelt, ist der einzige von Null verschiedene Koeffizient des singulären Teils der Entwicklung . γε,J{\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon, j}}xJ{\ Displaystil x_ {j}}F{\ Anzeigestil f}xJ{\ Displaystil x_ {j}}Zu-1,J{\ displaystyle a _ {- 1, j}}

Mit anderen Worten, in dieser Nachbarschaft können wir schreiben:

F(z)=Zu-1,Jz-xJ+hJ(z){\ displaystyle f (z) = {a _ {-1, j} \ über z-x_ {j}} + h_ {j} (z)}

mit einer ganzzahligen Reihe (daher eine holomorphe Funktion). hJ{\ displaystyle h_ {j}}

Also haben wir :

∫γε,JF(z) Dz=∫γε,JZu-1,Jz-xJ Dz+∫γε,JhJ(z) Dz.{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} {a _ {-1, j } \ über z-x_ {j}} ~ \ mathrm {d} z + \ int _ {\ gamma_ {\ varepsilon, j}} h_ {j} (z) ~ \ mathrm {d} z.}

Das zweite Integral tendiert gegen Null, wenn da holomorph ist. Durch die Erklärung des verbleibenden Integrals erhalten wir unter Berücksichtigung der folgenden Parametrisierung von Halbkreisen: ε→0{\displaystyle\varepsilon\to0}hJ{\ displaystyle h_ {j}}

γε,J:[0,π]→VS,γε,J(T)=xJ+εeich(π-T){\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon, j}: [0, \ pi] \ to \ mathbb {C}, \ gamma _ {\ varepsilon, j} (t) = x_ {j} + \ varepsilon \ mathrm { e} ^ {i (\ pi -t)}}

wobei der Begriff daher kommt, dass diese Konturen in antitrigonometrischer Richtung durchlaufen werden, π-T{\ displaystyle \ pi -t}

∫γε,JF(z) Dz=Zu-1,J∫0π-ichεeich(π-T)εeich(π-T) DT=-ichπZu-1,J.{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = a _ {- 1, j} \ int _ {0} ^ {\ pi} {- i \ varepsilon \ mathrm {e} ^ {i (\ pi -t)} \ über \ varepsilon \ mathrm {e} ^ {i (\ pi -t)}} ~ \ mathrm {d} t = -i \ pi a_ {-1, j}.}

Der Koeffizient ist per Definition der Rest der Funktion in . Letztendlich haben wir also wann und : Zu-1,J{\ displaystyle a _ {- 1, j}}xJ{\ Displaystil x_ {j}}R→∞{\ displaystyle R \ bis \ infty}ε→0{\displaystyle\varepsilon\to0}

v.P.∫-∞+∞F(x) Dx=2ichπΣi(zJ)>0ReS(F,zJ)+ichπΣxJReS(F,xJ).{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) + i \ pi \ sum_ {x_ {j}} \ mathrm {Res} (f, x_ {j}).} Beispiel

Problem  : berechne, for und reell mit  : Zu{\ Anzeigestil a}B{\ Anzeigestil b}B>0{\ Anzeigestil b> 0}

ich*=v.P.∫-∞+∞eichBxx-Zu Dx.{\ displaystyle I ^ {*} = \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {e ^ {ibx} \ over xa} ~ \ mathrm {d} x.}

Lösung  : Durch Anwendung des obigen Ergebnisses erhalten wir:

ich*=ichπcos⁡(ZuB)-πSünde⁡(ZuB). {\ displaystyle I ^ {*} = i \ pi \ cos (ab) - \ pi \ sin (ab). ~}

Hinweis: Durch Berücksichtigung des Real- und Imaginärteils des Integrals erhalten wir:

v.P.∫-∞+∞cos⁡(Bx)x-Zu Dx=-πSünde⁡(ZuB){\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ cos (bx) \ over xa} ~ \ mathrm {d} x = - \ pi \ sin (ab)} v.P.∫-∞+∞Sünde⁡(Bx)x-Zu Dx=πcos⁡(ZuB){\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ sin (bx) \ over xa} ~ \ mathrm {d} x = \ pi \ cos (ab)}

und im speziellen Fall und ist das zweite Integral das Integral der Kardinalsinusfunktion (erste Definition) und ist wert . Außerdem handelt es sich nicht um ein uneigentliches Integral, da die Funktion sinc überall definiert ist. Zu=0{\ Anzeigestil a = 0}B=1{\ Anzeigestil b = 1}π{\ displaystyle \ pi}

Entwicklung  : Die Funktion hat einen echten einfachen Pol und der Rest an dieser Stelle ist: x1=Zu{\ Displaystil x_ {1} = a}

ReS(F,Zu)=eichZuB=cos⁡(ZuB)+ichSünde⁡(ZuB). {\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, a) = \ mathrm {e} ^ {iab} = \ cos (ab) + i \ sin (ab). ~}

Durch Anwendung der Formel haben wir also:

ich*=ichπcos⁡(ZuB)-πSünde⁡(ZuB). {\ displaystyle I ^ {*} = i \ pi \ cos (ab) - \ pi \ sin (ab). ~}

Anwendung auf Summenberechnungen

Der Residuensatz erlaubt uns auch, bestimmte unendliche Summen zu berechnen. Sei eine Funktion , die für jede ganze Zahl einen Rest gleich dem i-ten allgemeinen Term einer unendlichen Summe sowie eine Menge von Resten hat, die anderen Punkten entsprechen. Angenommen, das Integral dieser Funktion entlang einer unendlich großen gleichrichtbaren Schleife ist null. Wir haben dann nach dem Residuensatz: g{\ Anzeigestil g}nicht{\ displaystyle n}nicht{\ displaystyle n}S{\ Anzeigestil S}E{\ Anzeigestil E}γ{\ displaystyle \ gamma}

∫γg(z) Dz=2ichπ[S+Σzk∈EReS(g;zk)]=0.{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ left [S + \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res} (g; z_ {k}) \ rechts] = 0.}

Daher können wir die unendliche Summe durch eine andere (normalerweise endliche) Summe von Residuen ausdrücken:

S=-Σzk∈EReS(g;zk).{\ displaystyle S = - \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res} (g; z_ {k}).}

Die folgenden Aussagen geben allgemeinere Beispiele für Fälle, in denen diese Methode anwendbar ist:

• Summen des "ersten Typs"  :;ΣF(nicht){\ displaystyle \ sum f (n)}
• die Beträge der "zweiten Art" .Σ(-1)nichtF(nicht){\ displaystyle \ sum (-1) ^ {n} f (n)}

Erster Typ

Sei die Berechnung der folgenden Summe:

S=Σ-∞,nicht∉E∞F(nicht){\ displaystyle S = \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} f (n)}

mit einer Menge isolierter Singularitäten. Angenommen, die folgende Bedingung ist erfüllt: F{\ Anzeigestil f}E{\ Anzeigestil E}

es existiert und so dass für jeden Modulkomplex größer oder gleich .m,R>0{\ Anzeigestil M, R> 0}α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}|F(z)|≤m|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ Anzeigestil z}R{\ Anzeigestil R}

Also haben wir:

Σ-∞,nicht∉E∞|F(nicht)|<+∞{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} | f (n) | <+ \ infty}

und

Σ-∞,nicht∉E∞F(nicht)=-Σzk∈EReS(F(z)πKosten⁡(πz);zk).{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} f (n) = - \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res} \ left (f (z ) \ pi \ cot (\ pi z); z_ {k} \ rechts).} Demonstration

• Wir haben

Σnicht≥R,nicht∉E|F(nicht)|≤mΣnicht≥R,nicht∉E1|z|α.{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq R, n \ notin E} | f (n) | \ leq M \ sum _ {n \ geq R, n \ notin E} {1 \ over | z | ^ {\ Alpha}}.}

Mit dem Integralkonvergenztest beobachtet man, dass diese Summe konvergiert. Wir verwenden das gleiche Argument, um zu zeigen, dass die Summe konvergiert. Da wir die Menge der Singularitäten von in der Summe vermeiden , gilt: Σnicht≤-R,nicht∉E|F(nicht)|{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq -R, n \ notin E} | f (n) |}E{\ Anzeigestil E}F{\ Anzeigestil f}

Σnicht≥-R,nicht∉Enicht≤R|F(nicht)|<+∞{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq -R, n \ notin E} ^ {n \ leq R} | f (n) | <+ \ infty} (endliche Summe beschränkter Terme) und damit schließlich: Σ-∞,nicht∉E∞|F(nicht)|<+∞.{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} | f (n) | <+ \ infty.}

• Wir müssen eine Funktion finden, deren Residuen sind . Angenommen , die Funktion muss einen einfachen Pol mit Rest 1 zu jeder ganzen Zahl haben. Eine Funktion mit dieser Eigenschaft ist gegeben durch:g{\ Anzeigestil g}{F(nicht),nicht∈Z}{\ displaystyle \ left \ {f (n), n \ in \ mathbb {Z} \ right \}}g(z)=F(z)φ(z){\ displaystyle g (z) = f (z) \ varphi (z)}φ{\ displaystyle \ varphi}

φ(z)=πcos⁡(πz)Sünde⁡(πz)=πKosten⁡(πz).{\ displaystyle \ varphi (z) = \ pi {\ cos (\ pi z) \ over \ sin (\ pi z)} = \ pi \ cot (\ pi z).}

In der Tat lässt eine einzelne Null für jede ganze Zahl zu und Sünde⁡(πz){\ displaystyle \ sin (\ pi z)}z{\ Anzeigestil z}

ReS(πcos⁡(πz)Sünde⁡(πz);nicht)=πcos⁡(πnicht)πSünde'⁡(πnicht)=cos⁡(πnicht)cos⁡(πnicht)=1{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left (\ pi {\ cos (\ pi z) \ over \ sin (\ pi z)}; n \ right) = {\ pi \ cos (\ pi n) \ over \ pi \ sin '(\ pi n)} = {\ cos (\ pi n) \ über \ cos (\ pi n)} = 1}

wobei die Restformel für einen Bruch mit einer einzigen Null im Nenner verwendet wurde.

Nehmen wir als Kontur den im Ursprung zentrierten Kreis mit dem Radius mit und der Erhöhung um eine Hälfte, was zeigt, dass man die in liegenden Pole vermeidet . R=NICHT+0,5{\ Anzeigestil R = N + 0,5}NICHT∈NICHT{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}±NICHT{\ displaystyle \ pm N}

Letztendlich liefert der Residuensatz:

limNICHT→∞∫VS(0,R)F(z)πKosten⁡(πz) Dz=2πichlimNICHT→∞[Σ-NICHT,nicht∉ENICHTF(nicht)+Σzk∈EReS(F(z)πKosten⁡(πz);zk)].{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ int _ {C (0, R)} f (z) \ pi \ cot (\ pi z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ lim _ {N \ to \ infty} \ left [\ sum _ {- N, n \ notin E} ^ {N} f (n) + \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ pi \ cot (\ pi z); z_ {k} \ right) \ right].}

Wir müssen nun zeigen, dass dieser Grenzwert Null ist, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten. Mit dem Schätzlemma erhalten wir:

DAS=limNICHT→∞|∫VS(0,R)F(z)πKosten⁡(πz) Dz|≤limNICHT→∞(2πR⋅max|z|=R|πF(ReichT)Kosten⁡(πReichT)|).{\ displaystyle L = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left | \ int _ {C (0, R)} f (z) \ pi \ cot (\ pi z) ~ \ mathrm {d} z \ rechts |\leq\lim_{N\to\infty}\left(2\piR\cdot\max_{|z|=R}\left|\pif(R\mathrm{e}^{it} ) \ cot ({\ pi R \ mathrm {e} ^ {it}}) \ right | \ right).}

Der Betrag der Funktion ist durch eine bestimmte Konstante auf der Kontur begrenzt, da durch die Wahl der Kontur die ganzen Zahlen der reellen Achse vermieden werden, die rechte Seite der obigen Ungleichung ist daher begrenzt durch Kosten{\ Displaystyle \ Kinderbett}K>0{\ Anzeigestil K> 0}

DAS≤limNICHT→∞2πRmKRα=0{\ displaystyle L \ leq \ lim _ {N \ to \ infty} {2 \ pi RMK \ over R ^ {\ alpha}} = 0}

wobei wir die Tatsache genutzt haben, dass . Da der Grenzwert tatsächlich Null ist, wird das Ergebnis demonstriert. α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}

Beispiel

Aufgabe  : Berechne die folgende Summe:

S=Σ-∞∞1nicht2+Zu2{\ displaystyle S = \ sum _ {- \ infty} ^ {\ infty} {1 \ über n ^ {2} + a ^ {2}}}für nicht-null real.Zu{\ Anzeigestil a}

Lösung  : Durch Anwendung des obigen Ergebnisses erhalten wir:

S=πcoth⁡(πZu)Zu.{\ displaystyle S = {\ pi \ coth (\ pi a) \ über a}.}

Entwicklung  : Die Funktion erfüllt eindeutig die Bedingungen und hat zwei einfache Pole in , also haben wir: ±Zuich{\ displaystyle \ pm ai}

S=-(ReS(πKosten⁡(πz)z2+Zu2;+Zuich)+ReS(πKosten⁡(πz)z2+Zu2;-Zuich)).{\ displaystyle S = - \ left (\ mathrm {Res} \ left ({\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}}; + ai \ right) + \ mathrm {Res} \ left ({\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}}; - ai \ right) \ right).}

Die Residuen sind leicht zu berechnen, da es sich um einfache Pole handelt und wir haben:

ReS(πKosten⁡(πz)z2+Zu2;±Zuich)=limz→±Zuich((z∓Zuich)⋅πKosten⁡(πz)z2+Zu2)=πcos⁡(Zuπich)2ZuichSünde⁡(Zuπich).{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left ({\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}}; \ pm ai \ right) = \ lim _ {z \ to \ pm ai} \ left ((z \ mp ai) \ cdot {\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}} \ right) = {\ pi \ cos (a \ pi i) \ über 2ai \ sin (a \ pi i)}.}

Also haben wir

S=-πcos⁡(Zuπich)ZuichSünde⁡(Zuπich)=-πZuich⋅eich(Zuichπ)+eich(-Zuichπ)2⋅2icheich(Zuichπ)-eich(-Zuichπ)=πZu⋅e-Zuπ+eZuπeZuπ-e-Zuπ{\ displaystyle S = - {\ pi \ cos (a \ pi i) \ over ai \ sin (a \ pi i)} = - {\ pi \ over ai} \ cdot {\ mathrm {e} ^ {i ( ai \ pi)} + \ mathrm {e} ^ {i (-ai \ pi)} \ over 2} \ cdot {2i \ over \ mathrm {e} ^ {i (ai \ pi)} - \ mathrm {e } ^ {i (-ai \ pi)}} = {\ pi \ über a} \ cdot {e ^ {- a \ pi} + e ^ {a \ pi} \ über e ^ {a \ pi} -e ^ {- a \ pi}}}

und schlussendlich

S=πcoth⁡(Zuπ)Zu{\ displaystyle S = {\ pi \ coth (a \ pi) \ über a}}

wobei wir die Eulersche Formel verwendet haben , um von trigonometrischen Funktionen zu komplexen Exponentialfunktionen sowie zur Definition der hyperbolischen Kotangensfunktion zu gelangen .

Hinweis  : Durch Symmetrie haben wir das:

Σ-∞-11nicht2+Zu2=Σ1∞1nicht2+Zu2=12(πcoth⁡(Zuπ)Zu-1Zu2){\ displaystyle \ sum _ {- \ infty} ^ {- 1} {1 \ over n ^ {2} + a ^ {2}} = \ sum _ {1} ^ {\ infty} {1 \ over n ^ {2} + a ^ {2}} = {1 \ über 2} \ left ({\ pi \ coth (a \ pi) \ über a} - {1 \ über a ^ {2}} \ right)}

dh die Hälfte der zuvor berechneten Summe abzüglich des Termes für . Wendet man sich dem Limit zu, wenn a gegen 0 geht, und verwendet die begrenzte Entwicklung , ergibt sich das Ergebnis von Euler  : . nicht=0{\ Anzeigestil n = 0} coth⁡x=1x(1+x23)+Ö(x){\ displaystyle \ coth x = {\ frac {1} {x}} \ left (1 + {\ frac {x ^ {2}} {3}} \ right) + o (x)}ζ(2)=Σnicht=1+∞1nicht2=π26{\ displaystyle \ zeta (2) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} { 6}}}

Eine andere Methode zur Berechnung dieser Summen finden Sie im Artikel Digamma-Funktion .

Zweiter Typ

Sei die Berechnung der folgenden Summe:

S=Σ-∞,nicht∉E∞(-1)nichtF(nicht){\ displaystyle S = \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} f (n)}

mit einer Menge isolierter Singularitäten. Angenommen, dies erfüllt die gleiche Bedingung wie für die Summen des ersten Typs, nämlich: F{\ Anzeigestil f}E{\ Anzeigestil E}F{\ Anzeigestil f}

sie existiert beispielsweise für jeden Modulkomplex größer oder gleich .m,R>0,α>1{\ displaystyle M, R> 0, \ alpha> 1}|F(z)|≤m|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ Anzeigestil z}R{\ Anzeigestil R}

Die Summe konvergiert also absolut und wir haben:

Σ∞,nicht∉E∞(-1)nichtF(nicht)=-Σzk∈EReS(F(z)πcsc⁡(πz);zk).{\ displaystyle \ sum _ {\ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} f (n) = - \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res } \ left (f (z) \ pi \ csc (\ pi z); z_ {k} \ right).} Demonstration

Der Beweis ist identisch mit dem des ersten Typs, es genügt zu zeigen, dass die Funktion für Residuen gilt . πcsc⁡(πz){\ displaystyle \ pi \ csc (\ pi z)}{(-1)nicht;nicht∈Z}{\ displaystyle \ left \ {(- 1) ^ {n}; n \ in \ mathbb {Z} \ right \}}

Wir haben mit einem einzigen Pol an jedem ganzen Punkt. csc⁡(πz)=1Sünde⁡(πz){\ displaystyle \ csc (\ pi z) = {1 \ über \ sin (\ pi z)}}

Der Rest eines Bruchs mit einer einzigen Null im Nenner ist gegeben durch:

ReS(πSünde⁡(πz);nicht)=πSünde'⁡(nichtπ)=ππcos⁡(nichtπ)=(-1)nicht{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left ({{\ pi \ over \ sin (\ pi z)}; n} \ right) = {\ pi \ over \ sin '(n \ pi)} = {\ pi \ über \ pi \ cos (n \ pi)} = (- 1) ^ {n}}

womit die Demonstration abgeschlossen ist.

Beispiel

Aufgabe  : Berechne die folgende Summe:

S=Σnicht=1∞(-1)nichtSünde⁡(nichtθ)nicht3,(-π≤θ≤π).{\ displaystyle S = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n} \ sin (n \ theta) \ over n ^ {3}}, \ quad (- \ pi \ leq \ theta \ leq \ pi).}

Lösung  : Mit dem obigen Ergebnis haben wir:

S=θ(θ2-π2)12.{\ displaystyle S = {\ theta (\ theta ^ {2} - \ pi ^ {2}) \ über 12}.}

Entwicklung  : Die Funktion erfüllt eindeutig die Bedingungen und hat im Ursprung einen Tripelpol. Der einfachste Weg, den Rückstand zu erhalten, ist eine Reihenentwicklung um den Ursprung:

1z3⋅Sünde⁡(zθ)⋅πSünde⁡(πz)=1z3⋅(zθ-z3θ36+...)⋅(1z+π2z6+...).{\ displaystyle {1 \ über z ^ {3}} \ cdot \ sin (z \ theta) \ cdot {\ pi \ über \ sin (\ pi z)} = {1 \ über z ^ {3}} \ cdot \ left (z \ theta - {z ^ {3} \ theta ^ {3} \ over 6} + \ dots \ right) \ cdot \ left ({1 \ over z} + {\ pi ^ {2} z \ über 6} + \ Punkte \ rechts).}

Der Rest ist per Definition der Koeffizient des Termes in der obigen Entwicklung, also: z-1{\ displaystyle z ^ {- 1}}

ReS(Sünde⁡(zθ)πz3Sünde⁡(πz);0)=π2θ6-θ36=θ6(π2-θ2).{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left ({\ sin (z \ theta) \ pi \ over z ^ {3} \ sin (\ pi z)}; 0 \ right) = {\ pi ^ {2} \ theta \ über 6} - {\ theta ^ {3} \ über 6} = {\ theta \ über 6} (\ pi ^ {2} - \ theta ^ {2}).}

Also haben wir :

Σ-∞,nicht≠0∞(-1)nichtSünde⁡(nichtθ)nicht3=θ6(θ2-π2)=2S{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ neq 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ sin (n \ theta) \ over n ^ {3}} = {\ theta \ über 6} (\ theta ^ {2} - \ pi ^ {2}) = 2S}

wobei die letzte Gleichheit durch Berücksichtigung der Symmetrie der Summe erhalten wird.

Wir haben daher:

S=θ(θ2-π2)12.{\ displaystyle S = {\ theta (\ theta ^ {2} - \ pi ^ {2}) \ über 12}.}

Siehe auch

• Mehrwertige Funktion
• Argumentationsprinzip
• Jordans Lemma
• Schätzlemma
• Berechnungsmethoden für Konturintegrale
• Kontur Hankel  (de)

Hinweise und Referenzen

1. Henri Cartan , Elementare Theorie analytischer Funktionen einer oder mehrerer komplexer Variablen [ Detail der Ausgabe ], P. 93.

• Murray R. Spiegel  (en) , Komplexe Variablen , Schaum ( ISBN  2-7042-0020-3 )
• (in) Serge Lang , Komplexe Analysis , 4 th ed., Springer, 1999 ( ISBN  0-387-98592-1 )
• (in) Joseph Bak und Donald J. Newman  (in) , Komplexe Analysis , 2 th ed., Springer, 1997 ( ISBN  0-387-94756-6 )
• Ernst Lindelöf , Die Rückstandsrechnung und ihre Anwendung auf die Funktionstheorie , Gauthier-Villars, Paris, 1905

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