Langevin-Funktion

Die Langevin-Funktion geht auf Paul Langevin (1872-1946) zurück und wird dadurch definiert, wo coth die hyperbolische Kotangensfunktion ist . ${\ displaystyle L (x) = \ coth (x) - {1 \ over x}}$

Kontext

Die Langevin-Funktion erscheint in der Beschreibung des Paramagnetismus eines Materials, das einem gleichmäßigen Magnetfeld $B$ ausgesetzt ist , sowie des formal verwandten Systems wie eines frei verbundenen Polymers, das einer konstanten Zugkraft ausgesetzt ist.

Das Material wird als eine Anordnung unabhängiger klassischer magnetischer Dipole beschrieben , die jeweils ein magnetisches Moment $m aufweisen,$ dessen Richtung frei ist, dessen Modul $µ$ jedoch fest ist. Die Energie jedes Dipols ist dann $U = -$ $m$ $\cdot$ $B$ .

Berechnung der durchschnittlichen Magnetisierung

Wir stellen uns auf eine feste Temperatur (kanonisches Ensemble). In diesem Fall wird die Magnetisierung aus dem Material $M = n ⟨ m ⟩$ wobei $n$ die Dichte der magnetischen Momente und die durchschnittlichen Wert $⟨ m ⟩$ Diese Zeiten wird durch das gegebene Boltzmann - Gesetz :

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {m} \ rangle = {\ frac {\ int \ mathbf {m} e ^ {\ frac {\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {B}} {k_ {B} T} } d \ Omega} {\ int e ^ {\ frac {\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {B}} {k_ {B} T}} d \ Omega}}}

Dabei ist $k B$ die Boltzmann-Konstante , $T$ die Temperatur, $dΩ$ das Raumwinkelelement und wobei die Integration für alle möglichen Orientierungen für $m erfolgt$ .

Ergebnis

Elementare Manipulationen führen dann zu

{\ displaystyle \ langle M \ rangle = n \ mu \ left [\ coth {\ left ({\ frac {\ mu B} {k_ {B} T}} \ right)} - ​​{\ frac {k_ { B} T} {\ mu B}} \ rechts] = n \ mu L \ links ({\ frac {\ mu B} {k_ {B} T}} \ rechts)}

wobei $L$ die Langevin-Funktion ist .

Asymptotisches Verhalten

Nichtnullfeld, wenn die Temperatur auf Null geht war $⟨ M ⟩ \approx nμ$ : Sättigungsmagnetisierung (die Spins werden im gefrorenen Grundzustand ). Wenn in der Grenze der hohen Temperaturen liegt $⟨ M ⟩ \approx 0$ , ist die thermische Energie wesentlich größer ist als die magnetische Energie (System Entropie : die nicht länger dreht das Magnetfeld sehen).

Für $x ≪ 1$ kann sich die Langevin-Funktion in Taylor-Reihen entwickeln :

{\ displaystyle L (x) = {\ tfrac {1} {3}} x - {\ tfrac {1} {45}} x ^ {3} + {\ tfrac {2} {945}} x ^ {5 } - {\ tfrac {1} {4725}} x ^ {7} + {\ tfrac {2} {93555}} x ^ {9} + \ cdots}

oder als verallgemeinerte fortgesetzte Fraktion :

{\ displaystyle L (x) = {\ frac {x} {3 + {\ tfrac {x ^ {2}} {5 + {\ tfrac {x ^ {2}} {7 + {\ tfrac {x ^ { 2}} {9+ \ cdots}}}}}}}}

Im Hochtemperaturbereich ( $kT ≫ µB$ ) können wir den einzigen ersten Term dieser Erweiterungen ( $L ( x ) \approx x / 3$ ) $beibehalten$ , was zum Curie-Gesetz führt :

{\ displaystyle \ langle M \ rangle = {\ dfrac {n \ mu ^ {2} B} {3k_ {B} T}} = \ chi B}

mit magnetischer Suszeptibilität. ${\ displaystyle \ chi \ propto {\ dfrac {1} {T}}}$

Die Langevin-Funktion erfüllt auch die folgende Beziehung, die aus einem Analogon für die Kotangensfunktion abgeleitet werden kann :

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ quad L (x) = \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ dfrac {2x} {x ^ { 2} + n ^ {2} \ pi ^ {2}}}.}

Siehe auch

Brillouin-Funktion : Analog zur Langevin-Funktion für quantenmagnetische Momente .