Lokal konvexer Raum
In der Mathematik ist ein lokal konvexer Raum ein topologischer Vektorraum, dessen Topologie mithilfe einer Familie von Halbnormen definiert werden kann . Es ist eine Verallgemeinerung des Begriffs des normierten Raums .
Definition
Ein topologischer Vektorraum E wird als lokal konvex bezeichnet, wenn er eine der folgenden zwei äquivalenten Eigenschaften erfüllt:
- Es gibt eine Familie von Halbstandards, so dass die Topologie von E für den Satz von Anwendungen initial ist .P.{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}{x↦p((x- -y)∣y∈E.,p∈P.}}{\ displaystyle \ {x \ mapsto p (xy) \ mid y \ in E, p \ in {\ mathcal {P}} \}}
- Der Nullvektor hat eine Basis von Nachbarschaften, die durch Konvexe gebildet werden .
In diesem Fall kann die Familie der Semi-Standards immer als Filter gewählt werden .
Demonstration der Äquivalenz der beiden Definitionen
- (1) ⇒ (2)
tatsächlich jede Halbnorm p auf E ist eine konvexe Funktion und daher für jede R > 0 ist , der Satz von x von E erfüllt , p ( x ) < R ist konvex .
- (2) ⇒ (1)
Es sei die T- Topologie E , die als geprüft angenommen wird (2), und T ' , die gröber ist, definiert durch die Familie aller Seminorms auf E, die für T stetig sind .
Es geht darum zu beweisen, dass umgekehrt T ⊂ T ' . Es genügt , dies zu zeigen , dass jede T- Nachbarschaft V von 0 enthält eine T ' -neighborhood von 0.
Jetzt für eine solche V , durch die Kontinuität der Karte (λ, v ) ↦ λ v , gibt es eine reale α> 0 und eine T- Nachbarschaft W von 0, die von (2) als konvex angenommen werden kann, so dass|λ|<α{\ displaystyle | \ lambda | <\ alpha} und v∈W.⇒λv∈V..{\ displaystyle v \ in W \; \ Rightarrow \ lambda v \ in V.}V enthält dann die durch definierte Menge ΩΩ=⋃|λ|<αλW..{\ displaystyle \ Omega = \ bigcup _ {| \ lambda | <\ alpha} \ lambda W.}Darüber hinaus ist Ω eine Nachbarschaft von 0 (daher absorbierend ), konvex und ausgeglichen . sein Messer ist somit eine semi-Standard kontinuierliche E , die Kugel von der Mitte 0 und Radius 1 / 2 somit eine ist "T -voisinage 0. Oder diese Kugel in Ω enthalten ist, so in V .
Beispiele
Gegenbeispiele
Trennungskriterium
Satz - Damit ein lokal konvexer Raum , der durch eine Familie von Halbnormen definiert ist , getrennt werden kann , ist es notwendig und ausreichend, dass für jeden Vektor ungleich Null eine Halbnorm existiert, so dass .
E.{\ displaystyle E}((pich)ich∈ich{\ displaystyle (p_ {i}) _ {i \ in I}}v∈E.{\ displaystyle v \ in E}pich{\ displaystyle p_ {i}}pich((v)≠0{\ displaystyle p_ {i} (v) \ neq 0}
In der Tat wird ein topologischer Vektorraum genau dann getrennt, wenn der Schnittpunkt der Nachbarschaften von 0 auf den Singleton {0} reduziert wird, mit anderen Worten, wenn und nur wenn für einen Vektor v ungleich Null eine Nachbarschaft von 0 existiert, nicht mit v .
Kontinuität einer Funktion
Sei zwei lokal konvexe Räume, deren Topologien jeweils durch Familien von Halbnormen (angeblich Filterung) und (beliebige) definiert sind, und f eine Anwendung des ersten Raums im zweiten. Der folgende Satz ergibt sich aus den Definitionen.
((E.,P.),((F.,Q.){\ displaystyle (E, {\ mathcal {P}}), (F, {\ mathcal {Q}})}P.{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}Q.{\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}
Vorschlag -
-
f ist an einem Punkt v von E genau dann stetig, wenn
∀q∈Q.∀ϵ>0∃p∈P.∃α>0∀w∈E.p((w- -v)<α⇒q((f((w)- -f((v))<ϵ {\ displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ existiert p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ existiert \ alpha> 0 \ quad \ forall w \ in E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}.
∀q∈Q.∀ϵ>0∃p∈P.∃α>0∀v∈E.∀w∈E.p((w- -v)<α⇒q((f((w)- -f((v))<ϵ {\ displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ existiert p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ existiert \ alpha> 0 \ quad \ forall v \ in E \ quad \ forall w \ in E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}.
Zum Beispiel (durch Nehmen von und ) sind alle dazugehörigen Halbnormen auf E einheitlich stetig (weil 1- Lipschitzian ). Eine Halbnorm q über E ist tatsächlich genau dann gleichmäßig stetig, wenn sie bei 0 stetig ist, was der Existenz einer Halbnorm p ∈ und einer Konstanten C > 0 entspricht, so dass q ≤ Cp ist . Wir leiten ein Analogon für lineare Anwendungen ab:
F.=R.{\ displaystyle F = \ mathbb {R}}Q.=((| |){\ displaystyle {\ mathcal {Q}} = (| \ |)}P.{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}P.{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}
Bewegung - Eine lineare Abbildung ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn sie bei 0 stetig ist. Dies führt zu : .
T.::E.→F.{\ displaystyle T: E \ bis F}
∀q∈Q.∃p∈P.∃VS>0∀v∈E.q((T.((v))≤VS p((v) {\ displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ existiert p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ existiert C> 0 \ quad \ forall v \ in E \ quad q (T ( v)) \ leq C \ p (v) \}
Messbarkeit
Satz - Sei E ein separater lokal konvexer Raum , dessen Topologie durch eine Familie von Halbnormen definiert wird . Die folgenden Bedingungen sind gleichwertig:
P.{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}
-
E ist messbar .
- Jeder Punkt von E hat eine zählbare Basis von Nachbarschaften.
- Die Topologie von E kann durch eine zählbare Unterfamilie von Halbnormen definiert werden .D.⊂P.{\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subset {\ mathcal {P}}}
- Die Topologie von E kann durch eine zählbare Filterfamilie von Halbnormen definiert werden.
- Die Topologie von E kann durch eine durch Translation invariante Entfernung definiert werden .
Demonstration
Die Äquivalenz zwischen 1, 2 und 5 ist ein Sonderfall des Birkhoff-Kakutani-Theorems über topologische Gruppen . Lassen Sie uns zeigen, dass 3 und 4 auch 2 entsprechen.
- 2 ⇒ 3: das heißt eine Basis von Nachbarschaften von 0. Jede enthält eine Kugel der Form , wo und für einen bestimmten endlichen Teil . Die durch die zählbare Unterfamilie definierte Topologie ist offensichtlich weniger fein als die von E , aber auch konstruktionsbedingt feiner.((V.nicht)nicht∈NICHT{\ displaystyle (V_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}V.nicht{\ displaystyle V_ {n}}B.qnicht((0,rnicht){\ displaystyle B_ {q_ {n}} (0, r_ {n})}rnicht>0{\ displaystyle r_ {n}> 0}qnicht=maxp∈D.nichtp{\ displaystyle q_ {n} = \ max _ {p \ in {\ mathcal {D}} _ {n}} p}D.nicht⊂P.{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {n} \ subset {\ mathcal {P}}}D.=∪nicht∈NICHTD.nicht{\ displaystyle {\ mathcal {D}} = \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} D_ {n}}
- 3 ⇒ 4: ist eine Reihe von Halbstandards, die die Topologie von E definieren . Durch Posieren erhalten wir eine Filtersequenz von Halbnormen, die dieselbe Topologie definieren.((pnicht)nicht∈NICHT{\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}qnicht=maxk≤nichtpk{\ displaystyle q_ {n} = \ max _ {k \ leq n} p_ {k}}
- 4 ⇒ 2: Sei eine Filterfolge von Halbnormen, die die Topologie von E definieren , dann hat jeder Punkt x eine zählbare Basis von Nachbarschaften der Form .((qnicht)nicht∈NICHT{\ displaystyle (q_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} V.((x,nicht)={y∈E.∣qnicht((y- -x)<2- -nicht}}{\ displaystyle V (x, n) = \ {y \ in E \ mid q_ {n} (yx) <2 ^ {- n} \}}
Die Analoga für p <1 der Räume L p mit p ≥ 1 sind durch einen invarianten Abstand messbar, aber nicht lokal konvex.
Für jede offene nicht - leere des Raum von Funktionen C ∞ mit kompaktem Träger von in sie natürlich mit einer lokal konvexen Struktur versehen , die können nicht metrized werden.
Ω⊂R.nicht{\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}D.((Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}Ω{\ displaystyle \ Omega}R.{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Beachten Sie, dass jeder normierbare topologische Vektorraum lokal konvex und messbar ist. Allerdings ist die Umkehrung nicht wahr: zum Beispiel des Schwartz Raum ist Fréchet , insbesondere lokalkonvexe und metrisierbar, sondern Kern und der unendlichen Dimension, also nicht normierbar. Ein weiteres Beispiel eines lokalkonvexe metrisierbar aber nicht normierbar Raum R N .
Kolmogorov- Normierbarkeitskriterium (1934) -
- Ein lokal konvexer Raum ist genau dann semi-normierbar, wenn er lokal begrenzt ist, d. H. Wenn 0 eine begrenzte Nachbarschaft hat .
- Ein topologischer Vektorraum ist daher genau dann normierbar, wenn er getrennt, lokal konvex und lokal begrenzt ist.
Fréchet Raum
Ein Fréchet-Raum ist ein lokal konvexer Raum, der sowohl messbar als auch vollständig im Sinne einheitlicher Räume ist , oder einfacher: ein lokal konvexer Raum, der vollständig messbar ist (d. H. Dessen Topologie durch eine vollständige Entfernung induziert wird).
Anmerkungen und Referenzen
-
Für einen Beweis, der das Birkhoff-Kakutani-Theorem nicht verwendet , siehe zum Beispiel Claude Wagschal , Topologie und Funktionsanalyse , Hermann, Slg. "Methoden",1995.
-
(en) Eric Schechter (en) , Handbuch der Analyse und ihre Grundlagen , Academic Press ,1997( online lesen ) , p. 724.
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