Schwartz Raum

In der Mathematik ist der Schwartz-Raum der Raum abnehmender Funktionen (dh unbegrenzt differenzierbarer Funktionen mit schneller Abnahme sowie deren Ableitungen aller Ordnungen). Das Duale dieses Raumes ist der Raum der gemäßigten Verteilungen . Räume und spielen eine wesentliche Rolle in der Theorie der Fourier-Transformation . S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}} S.'{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}S.'{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

Definition

Eine Funktion f ist Teil des Raums, wenn sie auf unbestimmte Zeit differenzierbar ist und wenn f und alle ihre Ableitungen schnell abnehmen , dh ihr Produkt durch eine Polynomfunktion unendlich gebunden ist. Die dazugehörigen Funktionen sollen abnehmen . S.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}S.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}

Für zwei Multi-Indizes definieren wir die Normen durch α,β{\ displaystyle \ alpha, \ beta}‖⋅‖α,β{\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alpha, \ beta}}

‖f‖α,β=‖xαD.βf‖∞{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} = \ | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} f \ | _ {\ infty}}

wo ist die Ordnungsableitung von f . Dann kann der Schwartz-Raum als beschrieben werden D.βf{\ displaystyle D ^ {\ beta} f}β{\ displaystyle \ beta}

S.((R.NICHT)={f∈VS∞((R.NICHT)∣∀((α,β) ‖f‖α,β<+∞}}{\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}) = \ {f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ mid \ forall (\ alpha, \ beta) \ \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} <+ \ infty \}}.

Wenn es keine Mehrdeutigkeit gibt, kann der Raum einfach durch den Buchstaben dargestellt werden . S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}

Eigenschaften

Topologie

Der Schwartz Raum kann mit einer Topologie zur Verfügung gestellt werden, die anfänglichen Topologie mit der Familie der zugehörigen Halbnormen entsprechen , daß durch die zugeordnete Filter Familie von Halbnormen definiert ist durch: ((‖.‖α,β)α,β∈NICHTNICHT{\ displaystyle (\ |. \ | _ {\ alpha, \ beta}) _ {\ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {N}}} ((NICHTp)p∈NICHT{\ displaystyle ({\ mathcal {N}} _ {p}) _ {p \ in \ mathbb {N}}}

NICHTp((.)=∑|α|,|β|≤p‖.‖α,β,p∈NICHT.{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {p} (.) = \ sum _ {| \ alpha |, | \ beta | \ leq p} \ |. \ | _ {\ alpha, \ beta}, \ , p \ in \ mathbb {N}.}

Der Schwartz-Raum ist mit dieser Topologie ein Fréchet-Raum . Durch eine zählbare Filterfamilie von Halbnormen definiert, ist es tatsächlich ein lokal konvexer , getrennter , messbarer Raum , und wir zeigen weiter, dass er vollständig ist .

Die Konvergenz einer Folge von ist daher wie folgt definiert. Eine Folge von Funktionen konvergiert zu einer Wenn- und Wenn-Funktion S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}((ϕnicht)nicht∈NICHT{\ displaystyle (\ phi _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}S.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}ϕ{\ displaystyle \ phi}ϕ∈S.((R.NICHT){\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}

∀p∈NICHTlimnicht→∞NICHTp((ϕnicht- -ϕ)=0.{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} {\ mathcal {N}} _ {p} (\ phi _ {n} - \ phi) = 0. }}

Sein topologisches Dual ist der Raum der gemäßigten VerteilungenS.'{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '} .

Beispiele

• Der Raum enthält den Raum der Funktionen C ∞ mit kompakter Unterstützung . Dieser ebenfalls erwähnte Raum ist im Sinne der oben definierten (starken) Konvergenz dicht .S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}D.{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}VSvs.∞((R.NICHT){\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})}S.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}
• Es enthält auch andere Elemente wie die Funktionen der Produktform eines Polynoms und eines Gaußschen:

x↦xαe- -beim‖x‖2∈S.{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {\ alpha} e ^ {- a \ | x \ | ^ {2}} \ in {\ mathcal {S}}}für jeden Multi-Index α und jeden Real .beim>0{\ displaystyle a> 0}

• Der Raum ist ein Vektorunterraum der verschiedenen Räume L p für 1 ≤ p ≤ + ∞ . Es ist außerdem in jeder dieser Mengen dicht , mit Ausnahme von L ∞ .S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}

Schwartz Raumfahrt

• Der Raum ist durch interne Addition und Ableitung stabil, und diese Operationen definieren kontinuierliche Operatoren.S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
• Der Raum ist durch interne Multiplikation oder sogar durch Multiplikation mit einer beliebigen Funktion von stabil . Insbesondere ist er durch Multiplikation mit einer Polynomfunktion stabil. Für jede Funktion von ist der durch definierte Operator in sich selbst stetig .S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}ÖM.((R.NICHT).{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}).}f{\ displaystyle f}ÖM.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})}ϕ↦fϕ{\ displaystyle \ phi \ mapsto f \ phi}S.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}

Multiplikatoren von  :S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}

Wir definieren den Raum der Multiplikatoren als die Teilmenge der Funktionen, deren Ableitungen alle Polynomwachstum aufweisen, d. H. ÖM.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})}S.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}VS∞((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})}

∀α∈((NICHTNICHT)∃VSα>0,∃NICHTα∈NICHT∀x∈R.NICHT|((∂αf)((x)|≤VSα((1+|x|)NICHTα.{\ displaystyle \ forall \ alpha \ in (\ mathbb {N} ^ {N}) \ quad \ existiert C _ {\ alpha}> 0, \ existiert N _ {\ alpha} \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {N} \ quad | (\ partiell ^ {\ alpha} f) (x) | \ leq C _ {\ alpha} (1+ | x |) ^ {N _ {\ alpha}}.}

Wir nennen den Raum langsam wachsender, unbegrenzt differenzierbarer Funktionen. ÖM.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})}

• Die Fourier-Transformation induziert einen topologischen Automorphismus von . Dieser Automorphismus ist gegeben durchS.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}F.{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}((F.f)((ξ)=∫R.NICHTf((x)e- -2ichπξxdx{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {F}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} f (x) {\ rm {e} } ^ {- 2 {\ rm {i}} \ pi \ xi x} {\ rm {d}} x}wo der inverse Automorphismus gegeben ist durchξx=∑k=1NICHTξkxk.{\ displaystyle \ xi x = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ xi _ {k} x_ {k}.}F.¯,{\ displaystyle {\ mathcal {\ bar {F}}},}((F.¯f)((ξ)=∫R.NICHTf((x)e2ichπξxdx.{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {\ bar {F}}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} f (x) {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi \ xi x} {\ rm {d}} x.}Der Plancherel-Parseval - Theorem besagt , dass , wenn wir verleihen der prehilbertian Struktur induziert durch die Fourier - Transformation ist eine Einheit Betreiber von in sich.S.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}L.2((R.NICHT)⊃S.((R.NICHT),{\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ supset {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),}S.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}
• Die Schwartz-Klasse ist für das FaltungsproduktE.'{\ displaystyle {\ mathcal {E}} '} absorbierend mit  : für jede Distribution mit kompakter Unterstützung und Schwartz-Funktion, die wir habenT.∈E.'((R.NICHT){\ displaystyle T \ in {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}ϕ∈S.((R.NICHT),{\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),}

T.∗ϕ∈S.((R.NICHT).{\ displaystyle T \ ast \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).}

• Allgemeiner gesagt , bezeichnen wir den Satz von convolors von dem ist den Satz von sagen Verteilungen wie kontinuierlich gesendet in diesem Set ist ein Vektorraum von (dh des Raumes der sagen ist temperiert Verteilungen ) , die die Verteilungen mit kompaktem Träger enthält , und die lokal integrierbaren schnellen Zerfallsfunktionen. Deshalb nennen wir den Raum schnell abnehmender Verteilungen. Ausgestattet mit dem Faltungsprodukt ist darüber hinaus eine assoziative , kommutative und einheitliche Algebra, auf der und sind einheitliche Module .Övs.'((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {c} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {N})}S.((R.NICHT),{\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),} T.∈D.'((R.NICHT){\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}G↦G∗T.{\ displaystyle g \ mapsto g \ ast T}S.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}S.((R.NICHT).{\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).}S.'((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}Övs.'((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {c} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {N})}Övs.'((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {c} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {N})}S.((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}S.'((R.NICHT){\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}

Anmerkungen und Referenzen

Hinweis

Verweise

• (en) Harish-Chandra , „  Diskrete Reihe für halbeinfache Lie-Gruppen. II. Explizite Bestimmung der Zeichen  “ , Acta Math. , Vol.  116,1966, p.  1-111
• L. Schwartz , "  Verteilungstheorie und Fourier-Transformation  ", Annales de l' Université de Grenoble , vol.  23, 1947-1948, p.  7-24 ( online lesen )
• Laurent Schwartz , Theorie der Verteilungen , Paris, Hermann,1966418  p. ( ISBN  2-7056-5551-4 )
• [PDF] F. Golse , Verteilungen, Fourier-Analyse, partielle Differentialgleichungen , École polytechnique, 2012, Handout des Kurses

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