Raum $L p$

In der Mathematik ist ein Raum $L p$ ist ein Vektorraum von Klassen von Funktionen , deren Kraft des Exponenten $p$ ist integrierbar im Sinne von Lebesgue , wo $p$ a streng positive reelle Zahl . Der Durchgang bis an die Grenze der Exponenten Ergebnisse bei der Konstruktion von Räumen $L \infty$ von beschränkten Funktionen . Die $L p$ -Räume werden Lebesgue-Räume genannt .

Identifizieren der Funktionen , die nur auf einem unterscheiden vernachlässigbaren Satz , wobei jeder Raum $L p$ ist ein Banachraumes wenn der Exponent größer als oder gleich 1. Wenn $0 < p <1$ das Integral definiert eine quasi-Norm , die es macht vollen Raum . Es gibt auch eine Dualität zwischen den Räumen der konjugierten Exponenten $p$ und $q$ , d. H. So, dass $1 \leq p + 1 \leq q = 1 ist$ .

Die Räume $L p$ Den verallgemeinern Räume $L 2$ von integrierbaren quadratischen Funktionen , sondern auch die Räume $l p$ von Sequenzen von summierbar $p-$ ten Leistung .

Verschiedene Konstruktionen erweitern diese Definition mit Hilfe von Verteilungen oder indem sie mit der lokalen Integrierbarkeit zufrieden sind.

Alle diese Räume stellen ein grundlegendes Werkzeug der Funktionsanalyse dar, indem sie die Auflösung von Gleichungen durch Annäherung an Lösungen ermöglichen, die nicht unbedingt differenzierbar oder sogar kontinuierlich sind .

Definition

Aussteller fertig

Die Norm $p$ über den endlichen dimensionalen Vektorraum $R n$ erstreckt sich auf stetige Funktionen über ein Segment $[ a , b ]$ durch

\ | f \ | _ {p} = \ left (\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {p} \, {\ mathrm d} t \ right) ^ {{1 / p }}

und allgemeiner mit messbaren Funktionen auf einem gemessenen Raum $( X , A , μ )$ und mit reellen oder komplexen Werten und mit der Leistung $p, die$ integriert werden kann durch:

\ | f \ | _ {p} = \ left (\ int _ {X} | f | ^ {p} \, {\ mathrm d} \ mu \ right) ^ {{1 / p}}.

In einer Domäne $X$ eines euklidischen Raums ist das Maß im Allgemeinen das von Lebesgue .

Eine positive Funktion ist jedoch genau dann ein Nullintegral, wenn sie fast überall aufgehoben wird, dh auf das Komplement einer vernachlässigbaren Menge . Der Raum $L p ( X , A , μ )$ wird dann als der definierte Quotient aus dem Raum der meßbaren Funktionen $p$ integrierbar, oft festgestellt: $l p ( X , A , μ )$ , durch den Vektorraum von nahezu Null - Funktionen. Dieser Quotient identifiziert daher die Funktionen, die für die Äquivalenzrelation "f ~ g" in derselben Klasse liegen, wenn "f und g fast überall gleich sind".

Im Rahmen der Riemannschen Theorie kann der Raum $L p ( R )$ auch durch einen Abschlussprozess definiert werden .

Unendlicher Exponent

Der Raum $ℒ \infty ( X , A , μ )$ ist definiert als der Vektorraum von μ-im Wesentlichen begrenzten Funktionen (dh den begrenzten Funktionen auf dem Komplement einer vernachlässigbaren Menge), der mit der semi-standardmäßigen "wesentlichen Obergrenze" ausgestattet ist ".

Dann ist der normierte Vektorraum $L \infty ( X , A , μ )$ nach wie vor der Quotient von $ℒ \infty ( X , A , μ )$ durch den Unterraum von Nullfunktionen fast überall.

Beispiele

Wenn X die Menge $N$ natürlicher Ganzzahlen ist, die mit dem diskreten Stamm ausgestattet sind , und dieses μ das Zählmaß ist , ist der Raum $L p ( X , A , μ )$ nichts anderes als der Raum ℓ p ( N ) reelle Sequenzen, deren Potenz des Exponenten $p$ ist summierbar.

Mit $X = R$ versehen mit dem borelischen Stamm und dem Lebesgue-Maß:

die auf $[1, + \infty [$ beschränkte Funktion x ↦ 1 / x ist in $L$ $2$ , aber nicht in $L$ $1$ ;
Die auf $R$ definierte Indikatorfunktion von $Q$ , die in jeder rationalen Zahl gleich 1 und überall sonst 0 ist, ist in $L$ $\infty$ und fällt in diesem Raum mit der konstanten Funktion des Nullwerts zusammen, weil die Menge der rationalen Zahlen ist unerheblich.

Eigenschaften

Standard und Vollständigkeit

Der oben angegebene Ausdruck zwischen Doppelbalken ist ziemlich positiv und verschwindet nur für die Klasse der Nullfunktion in $L p ( X , A , μ )$ . Zusätzlich ist es positiv homogen , d. H. Für jeden Skalar $λ$ ,

{\ displaystyle \ | \ lambda f \ | _ {p} = | \ lambda | ~ \ | f \ | _ {p}}

Es erfüllt jedoch die dreieckige Ungleichung nur für $p$ größer oder gleich 1. Die Räume $L p$ für $1 \leq p \leq \infty$ sind Banachräume , d. H. Vollständig für die so definierte Norm: c 'ist der Riesz-Fischer-Satz , der zeigt im Übrigen hat jede Cauchy-Sequenz in $L p$ eine Teilfolge, die fast überall konvergiert.

Für $0 < p <1$ ist ║ ║ nur eine Quasi-Norm und $L p$ ist nur ein F-Raum (en) , d. H. Ein vollständiger messbarer topologischer Vektorraum , für eine durch Übersetzungen invariante Entfernung : d p ( f , g ) = ║ f - g ║ p p , aber es ist nicht lokal konvex, daher nicht normierbar .

Einschlüsse

Wenn das Maß begrenzt ist dann entsprechend zu Höldersche oder Jensen Ungleichheit , die Familie von Räumen $L p$ ist abnimmt , mit kontinuierlichen Injektionen : ${\ text {si}} \ mu (X) <+ \ infty {\ text {then}} 0 <p \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow {\ mathrm L} ^ {p} \ supset {\ mathrm L} ^ {q} {\ text {et}} \ sup _ {{f \ in {\ mathrm L} ^ {q}, \ | f \ | _ {q} \ leq 1}} \ | f \ | _ {p} = \ | \ mu (X) ^ {{{\ frac {-1} q}}} \ | _ {p} = \ mu (X) ^ {{{\ frac 1p} - {\ frac 1q}}}.$ Es gibt einen starken Kehrwert für σ-endliche Maße .
Wenn die Maßnahmen der nicht zu vernachlässigenden Teile dann durch die gleichen streng positiv real reduziert werden, die Familie von $L p$ ist zu erhöhen , mit kontinuierlichen Injektionen: ${\ text {si}} \ inf _ {{\ mu (A)> 0}} \ mu (A) = \ varepsilon> 0 {\ text {then}} 0 <p \ leq q \ leq + \ infty \ Rechter Pfeil {\ mathrm L} ^ {p} \ Teilmenge {\ mathrm L} ^ {q} {\ text {und}} \ sup _ {{f \ in {\ mathrm L} ^ {p}, \ | f \ | _ {p} \ leq 1}} \ | f \ | _ {q} = \ varepsilon ^ {{{\ frac 1q} - {\ frac 1p}}}.$ Wir haben die gleiche Art der Inversen wie oben: Wenn $p$ und $q$ mit $1 \leq p <q \leq + \infty existieren$ , so dass $L p \subset L q ist$ , dann werden die Maße der nicht zu vernachlässigenden Teile um das gleiche $ε$ reduziert $> 0$ .
In dem Fall, in dem der Raum $X$ eine endliche Menge ist, die mit dem Zählmaß versehen ist, sind die beiden obigen Bedingungen erfüllt und alle Räume $L p$ werden mit demselben normalisierten Vektorraum endlicher Dimension identifiziert .
Umgekehrt existieren für das Lebesgue-Maß, das keine der beiden oben genannten Bedingungen erfüllt, Funktionen, die nur zu einem $L p gehören$ .
Auf alle Fälle, $1 \ leq p \ leq r \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow {\ mathrm L} ^ {p} \ cap {\ mathrm L} ^ {q} \ subset {\ mathrm L} ^ {r}$ und für alle $f \in L p \capL q$ , über das Intervall $[ p , q ]$ , der Logarithmus der Funktion $r \mapsto ║f║ r$ eine konvexe Funktion von $1 / r$ .
Die Chebyshev-Ungleichung erlaubt es uns zu beweisen, dass wir für alle $r <\infty$ und alle $f \in L r$ haben: $\ | f \ | _ {\ infty} = \ lim _ {{p \ bis + \ infty}} \ | f \ | _ {p}.$

Dualität

Für $1 < p <+ \infty$ und für jede Maßnahme, $L p$ ist reflexive und ihre topologische Dual ist mit dem Raum identifiziert $L q$ , wobei $q$ definiert ist , so dass $1 / p + 1 / q = 1$ .

Wenn das Maß σ-endlich ist, die Doppel von $L 1$ ist , $L \infty$ und die duale von $L \infty$ streng enthält $L 1$ ( mit Ausnahme von trivialen Fälle).

$L 1 ([0, 1])$ ist nicht das Dual eines Raums, während $ℓ 1$ das Dual vieler Räume ist , einschließlich desjenigen von nullgebundenen Sequenzen.

Beweis von

(L p ) '≃ L q

für

1 \leq p <+ \infty

und

1 ⁄ p + 1 ⁄ q = 1

(unter der Annahme , dass das Maß σ-endlich ist , wenn

p = 1

ist)

Die Ungleichheit Hölder und ihre extremale Fall sofort liefern eine Einbettung isometrische J bis $L q$ in $(L p ) '$ . Es bleibt zu zeigen, dass jede lineare Form φ auf $L p$ der Norm 1 für ein bestimmtes g von $L$ $q$ die Form J ( g ) hat .

Wenn $1 < p <+ \infty ist$ , wissen wir, dass $L p$ ein gleichmäßig konvexer Raum ist, daher existiert in $L p$ ein Einheitsvektor f, so dass φ ( f ) = 1. Für dieses f sei g das berechnete Element von $L q$ im Extremfall von Hölders Ungleichung; konstruktionsbedingt erfüllt sein Bild ψ von J : ψ ( f ) = 1 = ║ψ║. Jedoch nach wie vor durch einheitliche Konvexität, $L p$ ist streng konvex und daher glatt , so existiert eine eindeutige lineare Form auf $L p$ diese Bedingungen erfüllen. Wir schließen daraus, dass die lineare Anfangsform φ geschrieben ist: φ = ψ = J ( g ).

Wenn p = 1:
- Lassen Sie uns zunächst den Fall behandeln, in dem die Messung μ auf dem gemessenen Raum ( X , A ) endlich ist. Durch Setzen in diesem Fall erhalten wir für alle E ∈ A : ν ( E ) = φ ( 1 E ) ein vorzeichenbehaftetes Maß ν, das für alle E ∈ A : | ν ( E ) | erfüllt ≤ μ ( E ). Das "kleine" Radon-Nikodym-Theorem (für endliches μ) liefert dann eine Funktion g ∈ $L 1$ (μ), so dass ν = g μ ist, so dass (durch einheitliche Grenze der abgestuften Funktionen ): $\ forall f \ in {\ mathrm L} ^ {\ infty} (\ mu), ~ \ varphi (f) = \ int fg {\ mathrm d} \ mu.$ Darüber hinaus wird nach einer allgemeinen Eigenschaft des Lebesgue-Integrals | g | ≤ 1 μ- fast überall weil $\ forall E \ in A, ~ \ left | \ int _ {E} g {\ mathrm d} \ mu \ right | = | \ nu (E) | \ leq \ mu (E).$ Die Funktion g ∈ $L 1$ (μ) gehört daher sogar zu $L \infty$ (μ) und die vorhergehende Formel erstreckt sich um die Dichte : $\ forall f \ in {\ mathrm L} ^ {1} (\ mu), ~ \ varphi (f) = \ int fg {\ mathrm d} \ mu.$ In dem Fall, in dem μ endlich ist, haben wir φ daher in die Form J ( g ) gebracht.
- In dem allgemeinen Fall, in dem μ nur σ-endlich ist, teilen wir X in eine Folge von X n endlicher Maße auf und bauen auf jedem X n auf ähnliche Weise eine Funktion g n auf , die außerhalb von X n Null ist . Ihre Summe g erfüllt somit: g ∈ $L \infty$ (μ) und φ = J ( g ).

Dichte und Trennbarkeit

Für alle $p \in [1, + \infty]$ bilden die zu $L$ $p$ gehörenden inszenierten Funktionen einen dichten Unterraum von $L$ $p$ .

Für $p <+ \infty$ leiten wir Folgendes ab:

wenn der Stamm wird erzeugt durch einen zählbaren Satz von Teilen - insbesondere dann , wenn es das ist Borelian Stamm eines zählbaren Basisraumes - dann $L p$ ist abtrennbar ;
Wenn X ein lokal kompakter separater Raum ist , der mit seinem borelischen Stamm und einem quasi regelmäßigen Maß ausgestattet ist , bilden die kontinuierlichen Funktionen mit kompakter Unterstützung einen dichten Unterraum von $L$ $p$ ;
Wenn X eine offene Menge von ℝ n ist (ausgestattet mit dem Stamm und dem Lebesgue-Maß), ist der Unterraum unendlich differenzierbarer Funktionen mit kompakter Unterstützung in $L p$ immer noch dicht .

Anmerkungen und Referenzen

(en) $L p$ und $L q$ Raum Aufnahme , auf math.stackexchange.com: wir beginnen, wie bei der vorherigen Austausch, indem gezeigt , dass eine solche Aufnahme automatisch kontinuierlich ist, dank der geschlossenen Graph Theorem und ein Lemma d Extraktion von Teilsequenzen laufen fast überall zusammen.
(in) Ist es möglich, dass eine Funktion nur für ein $Prozent$ in $L p ist$ ? , auf math.stackexchange.com
(en) Jeff Viaclovsky, " Maßnahme und Integration, Vorlesung 17 " , am MIT ,2003.
In vielen Kursen oder Handbüchern, wie dem von Walter Rudin , Real und komplexe Analyse [ Detail der Ausgaben ]nehmen wir diese σ-Endlichkeit für alle Werte von $p an$ , um den Beweis zu vereinfachen.
Nach dem Satz von James beweist dies bereits, dass $L p$ reflexiv ist, aber dieses Ergebnis wird auf jeden Fall eine Folge der Berechnung der Familie von $(L p ) sein$ .
(in) Haim Brezis , Funktionsanalyse, Sobolev-Räume und partielle Differentialgleichungen , Springer Science + Business Media ,2010( online lesen ) , p. 98, Satz 4.13.
Rudin , Satz 3.14.
Brezis 2010 , p. 109 , Folgerung 4.23.

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Raum $L 1 loc$
Sobolev Raum
Space Bochner (en)
Birnbaum-Orlicz Raum
Radonmessung
Faltungsprodukt
Riesz-Repräsentationssatz (Riesz-Markov)
Riesz-Thorin-Theorem
Fourier-Transformation

Literaturverzeichnis

Haïm Brezis , Funktionsanalyse: Theorie und Anwendungen [ Detail der Ausgaben ]
Jacques Faraut, Integralrechnung [ Detail der Ausgaben ]

Raum L p