Suite Raum $ℓ$ p

In der Mathematik ist der Raum $ℓ$ p ein Beispiel für einen Vektorraum , der aus Sequenzen mit reellen oder komplexen Werten besteht und für $1 \leq p \leq \infty$ eine Banach- Raumstruktur aufweist .

Motivation

Betrachten Sie den reale Vektor Raum r n , das ist der Raum von n- Tupeln von reellen Zahlen .

Die euklidische Norm eines Vektors ist gegeben durch: ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$

{\ displaystyle \ | x \ | = \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2} \ right) ^ {1/2} }}

Aber für jede reelle Zahl p ≥ 1 können wir eine andere Norm auf ℝ n definieren , die als p- Norm bezeichnet wird , indem wir Folgendes aufstellen :

{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ dots + | x_ {n} | ^ {p } \ right) ^ {1 / p}}

für jeden Vektor . ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$

Für jedes p ≥ 1 ist ℝ n , das mit der p- Norm ausgestattet ist, daher ein normalisierter Vektorraum . Da es sich um eine endliche Dimension handelt , ist es für diesen Standard vollständig .

Leerzeichen ℓ p

Die p- Norm kann auf Vektoren mit einer zählbaren Unendlichkeit von Komponenten erweitert werden, wodurch der Raum ℓ p (auch ℓ p ( ℕ ) angegeben) definiert werden kann, da ℓ p ( X ) für jedes Endliche oder Unendliche auf die gleiche Weise definiert werden kann Satz X , der Fall , wo X hat n Elemente entsprechend dem vorhergehenden Absatz).

Genauer gesagt ist ℓ p ein Vektorunterraum des Raums unendlicher Reihen von reellen oder komplexen Zahlen, auf dem die Summe definiert ist durch:

{\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots) + (y_ {0}, y_ {1}, \ dots, y_ {n }, y_ {n + 1}, \ dots) = (x_ {0} + y_ {0}, x_ {1} + y_ {1}, \ dots, x_ {n} + y_ {n}, x_ {n +1} + y_ {n + 1}, \ dots)}

und Multiplikation mit einem Skalar mit:

{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots) = (\ lambda x_ {0}, \ lambda x_ {1}, \ dots, \ lambda x_ {n}, \ lambda x_ {n + 1}, \ dots).}

Wir definieren die p- Norm einer Sequenz : ${\ displaystyle x = (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots)}$

{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {0} | ^ {p} + | x_ {1} | ^ {p} + \ dots + | x_ {n} | ^ {p } + | x_ {n + 1} | ^ {p} + \ dots \ right) ^ {1 / p} \ in [0, + \ infty].}

Die Reihe auf der rechten Seite ist nicht immer konvergent: Beispielsweise hat die Sequenz (1, 1, 1,…) eine unendliche p- Norm für jedes $p <\infty$ .

Der Raum ℓ p ist definiert als die Menge unendlicher Folgen von reellen oder komplexen Zahlen, deren p- Norm endlich ist.

Wir definieren die „Norm $\infty$ “ auch als:

{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup (| x_ {0} |, | x_ {1} |, \ dots, | x_ {n} |, | x_ {n + 1} |, \ dots)}

und der entsprechende Vektorraum ℓ $\infty$ ist der Raum begrenzter Sequenzen .

Eigenschaften

Für jede Menge X ist der Raum ℓ ∞ ( X ) von Funktionen, die an X gebunden sind (mit reellen oder komplexen Werten), Banach , d. H. Jede gleichmäßig Cauchy- Folge von Funktionen, die an X gebunden sind, konvergiert gleichmäßig (zu einer begrenzten Funktion). Ebenso ist für $1 \leq p \leq \infty$ ℓ p (ℕ) Banachs. (Dies sind zwei Sonderfälle des Riesz-Fischer-Theorems , die alle $L$ $p$ -Räume betreffen .)
In l ∞ , ein bemerkenswerten Unterraum ist der Raum C von konvergierenden Sequenzen . Es ist geschlossen ( daher vollständig ), da jede einheitliche Grenze konvergenter Sequenzen konvergent ist; oder noch einmal: c ist vollständig ( daher in ℓ ∞ geschlossen ), da es isometrisch isomorph zum (vollständigen) Raum kontinuierlicher Karten ist ( daher ) begrenzt auf den kompakten $[0, ω] = ℕ\cup {+ \infty}$ , kompaktiert d 'Alexandrov von diskret ℕ .
Für 1 < p < $\infty$ , der Sequenzraum l p ist reflexiv . Sein Dual ist der Raum ℓ q mit 1 ⁄ p + 1 ⁄ q = 1;
In ℓ ∞ ist der Unterraum c 0 von Sequenzen mit Nullgrenze nicht reflexiv: sein Dual ist ℓ 1 und das Dual von ℓ 1 ist ℓ ∞ . Daher reflektieren ℓ 1 und ℓ ∞ auch nicht.
Für all r < $\infty$ und all $x$ ∈ l r , die Karte $p \mapsto ║ x ║ p$ ist abnehmend auf $[ r , + \infty [$ . In der Tat, wenn p ≥ q ≥ r ist , haben wir | $x k$ | / $║ x ║ q$ ≤ 1 für jeden Index k daher ${\ displaystyle | x_ {k} | ^ {p} / \ | x \ | _ {q} ^ {p} \ leq | x_ {k} | ^ {q} / \ | x \ | _ {q} ^ {q} ~;}$ durch Summieren dieser Ungleichung auf k leiten wir $║ x ║ p \leq ║ x ║ q ab$ . Die Funktion $p \mapsto ║ x ║ p$ ist auch über $[ r , + \infty]$ stetig . Bestimmtes : ${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ bis + \ infty} \ | x \ | _ {p}.}$

Anmerkungen und Referenzen

Georges Skandalis , Allgemeine Topologie , Masson.
(in) " Die l ∞ -Norm entspricht der Grenze der p- Norm " in math.stackexchange .

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Externe Links

Behördenaufzeichnungen :