Quadratisch geschlossener Körper

In der Algebra ist ein quadratisch geschlossenes Feld ein kommutatives Feld, in dem jedes Element eine Quadratwurzel hat .

Beispiele

• Jedes algebraisch geschlossene Feld ist quadratisch geschlossen.
• Der quadratische Verschluss eines Körpers (siehe Beispiele unten) ist per Definition quadratisch geschlossen.

Eigenschaften

Für jedes Feld F sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

• F ist quadratisch geschlossen;
• seine u- Variante  (en) ist gleich 1, dh jede quadratische Form auf F mit einer Dimension > 1 ist isotrop  ;
• sein Witt-Grothen Ring ist isomorph z von der Dimension morphism ;
• seine Witt-Gruppe ist von Ordnung 2.

Jedes quadratisch geschlossene Feld ist gleichzeitig pythagoreisch und formal nicht real, aber das Gegenteil ist falsch (denken Sie an Felder mit Merkmal 2).

Sei E / F eine endliche Erweiterung, wobei E quadratisch geschlossen ist. Dann ist entweder -1 ein Quadrat in F und F ist quadratisch geschlossen, oder -1 ist kein Quadrat in F und F ist euklidisch (dies ist eine Folge des Diller-Dress-Theorems ).

Quadratischer Zaun

Für Körper F , gibt es eine „  kleine  “ quadratisch schloß Erweiterung von F . Diese Erweiterung, die für den Isomorphismus einzigartig ist , wird "der" quadratische Verschluss von F genannt . Wir können es als Teilfeld des „ algebraischen Verschlusses F alg von F “ konstruieren , indem wir die Vereinigung aller Windungen quadratischer Erweiterungen auf F in F alg nehmen . Wenn sich die Charakteristik von F von 2 unterscheidet, ist es daher die Vereinigung der 2 endlichen Erweiterungen von F in F alg , dh alle Galois-Erweiterungen des Grades gleich einer Potenz von 2.

Beispielsweise :

• die quadratische Schließung eines euklidischen Feld F ist die quadratische Erweiterung F ( √ -1 ) (es wird algebraisch geschlossen , wenn und nur wenn F ist reales geschlossene );
• der quadratische Abschluss des endlichen Feldes F 5 ist - in seinem algebraischen Abschluss, der die Vereinigung von F 5 m für jede natürliche Zahl m ist - die Vereinigung von F 5 (2 n )  ;
• Der quadratische Abschluss von ℚ ist - in ℚ - das Teilfeld konstruierbarer komplexer Zahlen .

Anmerkungen und Referenzen

(fr) Dieser Artikel stammt teilweise oder vollständig aus dem englischen Wikipedia- Artikel "  Quadratisch geschlossenes Feld  " ( siehe Autorenliste ) .

1. (in) Tsit-Yuen Lam , Einführung in quadratische Formen über Felder , AMS , al.  „Graduate Studies in Mathematics“ ( n o  67),2005( ISBN  978-0-8218-7241-3 , online lesen ) , p.  33.
2. Lam 2005 , p.  34.
3. Lam 2005 , p.  270 .
4. Lam 2005 , p.  220.