Goldbachs Vermutung

Die Goldbach- Vermutung ist die mathematische Behauptung, die wie folgt lautet:

Jede gerade ganze Zahl größer als 3 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden .

1742 von Christian Goldbach formuliert , ist es eines der ältesten ungelösten Probleme der Zahlentheorie und Mathematik . Sie teilt mit der Riemann-Hypothese und der Zwillings-Primzahl- Vermutung die von ihm 1900 aufgestellte Nummer 8 von Hilberts Problemen .

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Lösungen der Gleichung 2N = p + q, dargestellt durch Kreise, wobei 2N eine gerade Zahl zwischen 4 und 50 ist und p und q zwei Primzahlen sind: die Zahlen 2N werden durch horizontale Linien dargestellt und die Primzahl Zahlen p und q werden durch die roten und blauen Linien dargestellt. Die Vermutung von Goldbach entspricht der Tatsache, dass jede graue horizontale Linie, soweit wir die Figur nach unten verlängern, mindestens einen Kreis enthält:

4	=	2 + 2				(1 Lösung)
6	=	3 + 3				(1 Lösung)
8	=	3 + 5				(1 Lösung)
10	=	3 + 7	= 5 + 5			(2 Lösungen)
12	=	5 + 7				(1 Lösung)
14	=	3 + 11	= 7 + 7			(2 Lösungen)
	$\ vdots$
50	=	19 + 31	= 13 + 37	= 7 + 43	= 3 + 47	(4 Lösungen)

Die Vermutung von Goldbach ist ein Spezialfall einer Vermutung, die sich auf die Hypothese H Schinzel bezieht .

Ursprung

Das 7. Juni 1742, schreibt der preußische Mathematiker Christian Goldbach an den Schweizer Mathematiker Leonhard Euler einen Brief, an dessen Ende er folgende Vermutung vorschlägt:

Jede Zahl, die strikt größer als 2 ist, kann als Summe von drei Primzahlen geschrieben werden.

(Goldbach hat 1 als Primzahl zugelassen; die moderne Vermutung schließt 1 aus und ersetzt daher 2 durch 5.)

In seiner Antwort vom 30. Juni 1742, erinnert Euler Goldbach daran, dass sich diese Aussage aus einer früheren Aussage ergibt, die Goldbach ihm bereits mitgeteilt hatte:

Jede gerade Zahl kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.

(Wie zuvor ist "Zahl" im Sinne von "eine ganze Zahl streng größer als 0" zu verstehen und die moderne Vermutung ersetzt 0 durch 2.)

Gemäß einer schwächeren Version der Vermutung ist jede ungerade Zahl größer oder gleich 9 die Summe von drei Primzahlen.

Heuristische Begründung

Die Mehrheit der Mathematiker glaubt, dass die Goldbach-Vermutung wahr ist, und stützt sich hauptsächlich auf statistische Überlegungen, die sich auf die Verteilung von Primzahlen konzentrieren : Je größer die Zahl, desto mehr Möglichkeiten gibt es, sie als Summe von zwei oder drei anderen Zahlen darzustellen, und die am "kompatibelsten" wird diejenige, bei der mindestens eine dieser Darstellungen vollständig aus Primzahlen besteht.

Eine sehr grobe Version des heuristischen probabilistischen Arguments (für die starke Form der Goldbachschen Vermutung) lautet wie folgt. Der Primzahlsatz besagt, dass eine rohe, zufällig ausgewählte ganze Zahl $m$ eine Chance hat, eine Primzahl zu sein. Wenn also $n$ eine große gerade ganze Zahl und $m$ eine Zahl zwischen 3 und $n$ $/2 ist$ , können wir erwarten, dass die Wahrscheinlichkeit, dass $m$ und $n - m$ beide Primzahlen sind, gleich ist . Dieses heuristische Argument ist aus vielen Gründen nicht rigoros; Nehmen wir beispielsweise an, dass die Ereignisse , bei denen $m$ und $n - m$ Primzahlen sind, statistisch unabhängig voneinander sind. Wenn wir mit dieser heuristischen Argumentation trotzdem fortfahren, können wir abschätzen, dass die Gesamtzahl der Möglichkeiten, eine große gerade ganze Zahl $n$ als Summe zweier ungerader Primzahlen zu schreiben , ungefähr den Wert hat ${\ tfrac {1} {\ ln m}}$ ${\ tfrac {1} {\ ln m \ ln (nm)}}$

\ sum _ {m = 3} ^ {n / 2} {\ frac {1} {\ ln m}} {\ frac {1} {\ ln (nm)}} \ approx {\ frac {n} {2 \ ln ^ {2} n}}.

Da diese Größe mit zunehmendem $n$ gegen unendlich geht , können wir erwarten, dass jede hinreichend große gerade ganze Zahl nicht nur mindestens eine Darstellung als Summe zweier Primzahlen hat, sondern tatsächlich viele davon.

Das obige heuristische Argument ist tatsächlich etwas ungenau, da es einige Korrelationen zwischen den Wahrscheinlichkeiten ignoriert, dass $m$ und $n - m$ prim sind. Wenn zum Beispiel $m$ ungerade ist, dann auch $n - m$ , und wenn $m gerade$ ist, dann auch $n - m$ , aber die Primzahlen sind alle ungerade außer 2. Ebenso, wenn $n$ durch 3 teilbar ist und $m$ bereits eine Primzahl ist verschieden von 3, dann ist $n - m$ auch eine Primzahl mit 3, so dass ihre Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu sein, etwas größer ist als die jeder ganzen Zahl. Diese Art der Analyse mit größerer Sorgfalt verfolgend, vermuteten Hardy und Littlewood 1923 (dies ist Teil der berühmten Hardy-Littlewood-Prime- $n-$ Tupel- Vermutung ), dass für jedes $c 2$ die Anzahl der Darstellungen d 'eine große ganze Zahl $n$ in der Form der Summe von $c$ Primzahlen mit sollte äquivalent sein zu $n = p_{1} + \cdots + p_{c}$ $p_ {1} \ leq \ ldots \ leq p_ {c}$ $\ left (\ prod _ {p} {\ frac {p \ gamma _ {c, p} (n)} {(p-1) ^ {c}}} \ right) \ int \ limits _ {2 \ leq x_ {1} \ leq \ ldots \ leq x_ {c} \ auf x_ {1} + \ ldots + x_ {c} = n} {\ frac {\ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d } x_ {c-1}} {\ ln x_ {1} \ ldots \ ln x_ {c}}}$ wobei sich das Produkt auf alle Primzahlen $p$ bezieht und die Anzahl der Lösungen der Gleichung in modularer Arithmetik unter den Bedingungen ist . Diese asymptotische Formel wurde für $c$ $\geq 3$ aus Vinogradovs Arbeit demonstriert , ist aber immer noch eine Schätzung für $c$ $= 2$ . Im letzteren Fall ist der obige Ausdruck null, wenn $n$ ungerade ist, und wenn $n gerade$ ist, vereinfacht er sich zu $\gamma_{c,p}(n)$ $n \ equiv q_ {1} + \ cdots + q_ {c} \ mod p$ $q_ {1}, \ ldots, q_ {c} \ not \ equiv 0 \ mod p$ $2 \ Pi _ {2} \ left (\ prod \ limits _ {p | n \ atop p \ geq 3} {\ frac {p-1} {p-2}} \ right) \ int _ {2} ^ {n} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ ln ^ {2} x}} \ approx 2 \ Pi _ {2} \ left (\ prod \ limits _ {p | n \ atop p \ geq 3} {\ frac {p-1} {p-2}} \ rechts) {\ frac {n} {\ ln ^ {2} n}},$ wo ist die Konstante der Zwillingsprimzahlen $\ Pi _ {2}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {2} = \ prod _ {p \ geq 3} \ left (1 - {\ frac {1} {(p-1) ^ {2}}} \ right) = 0 {,} 660 ~ 161 ~ 815 ~ 8 \ ldots.}$ Diese asymptotische Formel wird manchmal die erweiterte Goldbach-Vermutung genannt . Die starke Vermutung von Goldbach ist der von Zwillingsprimzahlen tatsächlich sehr ähnlich , und es wird angenommen, dass beide Vermutungen von vergleichbarer Schwierigkeit sind.

Stand der Forschung

Jahr	Autoren	Satz	Einzelheiten
1920	Viggo Braun		Jede gerade große Zahl, die groß genug ist, ist die Summe von zwei ganzen Zahlen, die jeweils aus höchstens 9 Primfaktoren bestehen.
1923	Hardy und Littlewood	f	Unter der Annahme, dass eine Verallgemeinerung der Riemannschen Hypothese wahr ist , ist jede ungerade Zahl, die groß genug ist, die Summe von drei Primzahlen.
1924	Hans Rademacher		Jede gerade große Zahl, die groß genug ist, ist die Summe von zwei ganzen Zahlen, die jeweils aus höchstens 7 Primfaktoren bestehen.
1931	Lev Schnirelmann		Jede ganze Zahl > 1 ist die Summe von höchstens 20 Primzahlen.
1937	Ivan Vinogradov	f	Jede große ungerade ganze Zahl ist die Summe von drei Primzahlen. Folgerung: Jede gerade große Zahl, die groß genug ist, ist die Summe von vier Primzahlen.
1937	Nikolai Chudakov (de)		Fast jede gerade ganze Zahl ist die Summe zweier Primzahlen.
1938	Johannes van der Korput
1938	Theodor Estermann
1947	Alfred Rényi		Es existiert eine Konstante K, so dass jede gerade ganze Zahl die Summe einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens K Primfaktoren ist.
1951	Yuri Linnik (de)		Es gibt eine Konstante K, so dass jede gerade ganze Zahl, die groß genug ist, die Summe zweier Primzahlen und höchstens K Zweierpotenzen ist.
1966	Chen Jingrun		Jede ziemlich große gerade ganze Zahl ist die Summe einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren.
1975	Hugh Montgomery und Robert Charles Vaughan		Die meisten geraden ganzen Zahlen sind die Summe zweier Primzahlen.
1995	Olivier Ramare		Jede gerade ganze Zahl ist die Summe von höchstens sechs Primzahlen. Folgerung: Jede ungerade ganze Zahl ist die Summe von höchstens sieben Primzahlen.	[ online lesen ]
1997	Jean-Marc Deshouillers , Gove Effinger , Herman te Riele und Dimitri Zinoviev	f	Die verallgemeinerte Riemann-Hypothese beinhaltet die schwache Goldbach-Vermutung.	[ online lesen ] [PDF]
2002	Roger Heath-Brown und Jan-Christoph Schlage-Puchta		Das Ergebnis von Linnik (1951) gilt mit K = 13.
2012	Terence tao	f	Jede ungerade ganze Zahl > 1 ist die Summe von bis zu fünf Primzahlen. Folgerung: Ergebnis von Olivier Ramaré, 1995.	Ausführlicher Artikel (Nachweis in Prüfung)
2013	Harald Helggott	f	Jede ungerade ganze Zahl > 5 ist die Summe von drei Primzahlen. Folgerung: Ergebnis von Terence Tao, 2012.	Ausführlicher Artikel (Nachweis in Prüfung)

Digitale Schecks

Im Jahr 2014 führten die veröffentlichten numerischen Überprüfungen zu folgenden Schlussfolgerungen:

die Goldbach-Vermutung gilt für alle geraden ganzen Zahlen bis 4,10 18 (Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog und Silvio Pardi);
die schwache Goldbach-Vermutung gilt für alle ungeraden ganzen Zahlen bis 8.875.10 30 (HA Helfgott und David J. Platt).

In der Kultur

In 2007 , Luis Piedrahita und Rodrigo Sopeña produzierten den spanischen Film La Cellule de Fermat ( La Habitación de Fermat ), einen jungen Mathematiker mit , die fälschlicherweise behauptet , gezeigt zu haben , die Vermutung , und einen alten Mathematiker, den es unter Beweis gestellt.
Der Roman Onkel Petros und die Goldbach-Vermutung [ Editionsdetail ] von Apóstolos Doxiádis erzählt die fiktive Geschichte eines Mathematikers, der sein Berufsleben allein der Goldbach-Vermutung widmete, dabei seine intellektuellen Ressourcen verschwendete und sich – auch abseits der Wissenschaft Leben und seine Familie. Der Roman nutzt vor allem die Gelegenheit, einige Mathematiker und Logiker der Jahrhundertwende ( Kurt Gödel , Alan Turing , Srinivasa Ramanujan , Godfrey Harold Hardy …) und die Beziehungen zwischen ihren verschiedenen Werken kulturell zu beleuchten .
Um für Doxiádis Buch zu werben, bot der britische Verlag Tony Faber im Jahr 2000 ein Preisgeld von 1 Million US-Dollar für den Beweis von Vermutungen an. Der Preis konnte nur unter der Bedingung verliehen werden, dass der Probeabzug vorher zur Veröffentlichung eingereicht wurdeApril 2002. Es wurde nie behauptet.
Der Roman Le Théorème du Perroquet von Denis Guedj handelt von einem Mathematiker, dem es tief im Amazonas gelingt, Goldbachs Vermutung zu beweisen. Er weigert sich, es der Menschheit zu liefern und begeht Selbstmord, indem er seine Forschungen verbrennt. Aber zuerst lässt er es seinen Papagei lernen. Mafiosi wollen sich den Vogel aneignen, doch dieser schweigt. Verärgert töten sie ihn. Der Roman endet im Wald, wo der verletzte Papagei den anderen Tieren die Demonstration vorträgt. Es bleibt den Männern also unbekannt.

Hinweise und Referenzen

(fr) Dieser Artikel ist ganz oder teilweise dem englischen Wikipedia- Artikel " Goldbachs Vermutung " entnommen ( siehe Autorenliste ) .

Aber mit diesem Ersatz ist die moderne Vermutung etwas stärker als das Original.
Tatsächlich sind die beiden Vermutungen äquivalent: Wenn eine gerade Zahl größer als 2 als Summe von drei Primzahlen geschrieben werden kann, ist eine davon notwendigerweise 2, und dann kann jede gerade Zahl größer als 0 als Summe von zwei geschrieben werden prim. Beachten Sie, dass Euler Goldbach seine Version als die von ihm erhaltene präsentiert: „… so Ew. vormals mit mir Communicirt haben, dass nehmlich ein jeder numerus by eine summa duorum numerorum primorum sey… “ , Letter XLIV .
Mit anderen Worten: Unter der gegebenen Hypothese gilt die schwache Vermutung von Goldbach für jede ungerade Zahl, die groß genug ist.
Nikolai G. Chudakov , " Über das Goldbach-Problem ", Proceedings of the UdSSR Academy of Sciences SSSR , vol. 17,1937, s. 335-338.
Nach der Arbeit von Vinogradov und in dem Sinne, dass der Anteil der geraden Zahlen, die in dieser Form geschrieben werden können, gegen 1 tendiert.
(in) JG Van der Corput , " Auf der Annahme Goldbach " , Proc. Akad. Nass. Amsterdam , Bd. 41,1938, s. 76-80.
(in) T. Estermann , " ist Goldbachs Problem: Beweis, dass gerade Fast alle positiven ganzen Zahlen Summen zweier Prämien sind " , Proc. Londoner Mathe. Soz. , Bd. 44,1938, s. 307-314 ( DOI 10.1112 / plms / s2-44.4.307 ).
Genauer gesagt gibt es zwei positive Konstanten c und C, so dass für jede genügend große Zahl N jede gerade ganze Zahl kleiner als N mit allen Ausnahmen die Summe zweier Primzahlen ist . Insbesondere hat die Menge der geraden ganzen Zahlen, die nicht die Summe zweier Primzahlen sind, eine Dichte von Null. $KN ^ {1-c}$
(in) O. Ramaré , „ konstanter Es ist Šnirel'man “ , Ann. Scuola-Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. , Bd. 22, n o 4,1995, s. 645-706 ( online lesen ).
(in) Deshouillers, Effinger, du Riele und Zinoviev, "vollständige Vinogradov Ein 3-Prime-Theorem unter der Riemann-Hypothese", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, vol. 3, 1997, p. 99-104.
(in) Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog und Silvio Pardi, „ Empirische Überprüfung der Goldbach-Vermutung Even und Berechnung von Prämienlücken bis 4,10 18 “ , Math. Komp. , Bd. 83,2014, s. 2033-2060 ( DOI 10.1090 / S0025-5718-2013-02787-1 , online lesen ).
(in) HA Helfgott und David J. Platt, " Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture 8.875.10 bis 30 " , Exper. Mathematik. , Bd. 22, n o 4,2013, s. 406-409 ( DOI 10.1080 / 10586458.2013.831742 , arXiv 1305.3062 ).

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Externe Links

Verteiltes Kalkül des Goldbach-Zahlenprojekts
(in) Chris Caldwell, Goldbachs Vermutung , die Seite Prime Pages
(de) Tomás Oliveira e Silva, „ Verifizierung der Goldbach-Vermutung “