Wronskien

In der mathematischen Analyse ist der Wronskianer , der zu Ehren von Josef Hoëné-Wronski benannt wurde , die Determinante einer Familie von Lösungen eines homogenen linearen Differentialsystems y '= ay . Mit dem Wronskian kann festgestellt werden, ob diese Familie eine Basis für den Lösungsraum bildet .

Darüber hinaus ist die wronskianische Evolutionsgleichung auch ohne Informationen über die Lösungen bekannt. Dies liefert wertvolle quantitative Informationen und bietet sogar eine Lösungsstrategie für einige Differentialgleichungen.

Der Wronskian kann auch für lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung definiert werden, da sie auf Ordnung 1 reduziert werden können. Er ist besonders nützlich zum Lösen linearer homogener skalarer Differentialgleichungen der Ordnung 2 : y "= ay '+ by .

Wronskien für eine Skalargleichung zweiter Ordnung

Die Differentialgleichung E : y "= ay '+ by sei homogen skalar linear der Ordnung 2 in gelöster Form , wobei a und b stetige Funktionen sind.

Wenn x 1 und x 2 zwei Lösungen dieser Gleichung sind, wird ihr Wronskien durch definiert

W (t) = {\ begin {vmatrix} x_ {1} (t) & x_ {2} (t) \\ x '_ {1} (t) & x' _ {2} (t) \ end { vmatrix}} = x_ {1} (t) x '_ {2} (t) -x_ {2} (t) x' _ {1} (t).

Während es nicht immer möglich ist, eine explizite Lösung der Differentialgleichung E zu zeigen , kann der Wronskien bestimmt werden. Es erfüllt die Evolutionsgleichung:

{\ begin {align} W '(t) & = {\ begin {vmatrix} x' _ {1} (t) & x '_ {2} (t) \\ x' _ {1} (t) & x '_ {2} (t) \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} x_ {1} (t) & x_ {2} (t) \\ x' '_ {1} (t) & x '' _ {2} (t) \ end {vmatrix}} \\ & = {\ begin {vmatrix} x_ {1} (t) & x_ {2} (t) \\ ax '_ {1} ( t) + bx_ {1} (t) & ax '_ {2} (t) + bx_ {2} (t) \ end {vmatrix}} \\ & = a {\ begin {vmatrix} x_ {1} ( t) & x_ {2} (t) \\ x '_ {1} (t) & x' _ {2} (t) \ end {vmatrix}} \\ & = aW (t). \ end {ausgerichtet }}

Es ist eine homogene lineare Differentialgleichung der Ordnung 1 . Das Wronskien kann daher unter Verwendung eines Antiderivativs A von a berechnet werden

W (t) = W_ {0} \ exp (A (t))

wobei W 0 eine Konstante ist, die von den Anfangsbedingungen abhängt.

Der Wronskianer wird von Physikern als ein Bereich in der Ebene (y, y ') interpretiert, der als Phasenraum bezeichnet wird. Der Term a in der Differentialgleichung E wird als Dämpfungsterm bezeichnet. Die Fläche des Dreiecks, die durch die Werte zweier Lösungen gebildet wird, bleibt über die Zeit konstant, wenn der Dämpfungsterm Null ist, und nimmt exponentiell ab, wenn er streng positiv ist.

Allgemeine Definition für eine Vektorgleichung

Nehme sie an, dass E a Vektorraum endlicher Dimension n , I ein Intervall von r und y ‚= ay eine homogenen linearen Differentialgleichung auf E , mit einer kontinuierlichen I im Raum L ( E ) von endomorphism von E . Wir bezeichnen mit S den Lösungsraum, der nach dem Cauchy-Lipschitz-Theorem ein Vektorraum der Dimension n ist .

Sei y 1 , ... y n ein System von n Lösungen der Differentialgleichung. Dieses System wird als grundlegendes Lösungssystem bezeichnet, wenn es ein grundlegendes S ist .

Wir nennen Wronskien dieses Systems die Determinante

W (t) = \ det (y_ {1} (t), \ dots, y_ {n} (t)).

Um es genau zu berechnen, müssen Sie eine Referenzbasis angeben.

Durch den Isomorphismus der Anfangsbedingungen ist der Wronskian an einem Punkt genau dann Null, wenn das Lösungssystem verwandt ist . Wenn der Wronskianer an einem Punkt verschwindet, verschwindet er folglich an allen Punkten.

Liouville Formel

Die wronskianische Evolutionsgleichung lautet

W '(t) = {{\ rm {tr}}} \, a (t) W (t).

Das Wronskien ist daher bis auf eine multiplikative Konstante bekannt:

W (t) = W_ {0} \ exp \ left (\ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} {{\ rm {tr}}} \, a (s) {\ mathrm d} s \ Recht).

Demonstration Wir verwenden das in der Form angegebene Differential der Determinante

{\ displaystyle \ mathrm {d} \, {\ det} _ {A} (H) = {\ rm {tr}} ({} ^ {t} {\ rm {com}} (A) .H)}

(vgl. Determinante ), wobei A und H zu M n (ℝ) gehören.

Sei Y auch die aus den Spalten y 1 ,…, y n gebildete Matrix , so dass Y ' ( t ) = a ( t ) Y ( t ). Wir leiten W in Bezug auf die Zeit ab und erhalten (vgl. Ableitungssatz der zusammengesetzten Funktionen ):

{\ displaystyle W '= (\ det (Y))' = \ mathrm {d} \, {\ det} _ {Y} (Y ') = {\ rm {tr}} ({} ^ {t} { \ rm {com}} (Y) .Y ') = {\ rm {tr}} ({} ^ {t} {\ rm {com}} (Y) .aY) = {\ rm {tr}} ( aY {} ^ {t} {\ rm {com}} (Y))}

Nach der Formel von Laplace erhalten wir einen weiteren Beweis, der das Differential der Determinante nicht verwendet, der im ausführlichen Artikel angegeben ist. $W '(t) = {{\ rm {tr}}} (a (t)) W (t).$

Es scheint insbesondere, dass der Wronskien entweder immer Null oder niemals Null ist, was die Beobachtungen des vorherigen Absatzes bestätigt.

Wenn man n - 1 unabhängige Lösungen der Gleichung kennt , kann der Wronskian-Ausdruck verwendet werden, um eine weitere zu bestimmen und die Gleichung vollständig zu lösen.

Skalargleichungen der Ordnung n

Wir interessieren uns für die Gleichung

y ^ {{(n)}} = a_ {0} y + a_ {1} y '+ a_ {2} y' '+ \ ldots + a _ {{n-1}} y ^ {{(n- 1)}}

wobei die Funktionen a i stetig mit reellen (oder komplexen) Werten sind.

Wir wissen, dass diese Gleichung durch Verwendung eines unbekannten Vektors auf eine Gleichung des vorherigen Typs reduziert werden kann

Y = {\ begin {pmatrix} y \\ y '\\\ vdots \\ y ^ {{(n-1)}} \ end {pmatrix}}.

Der Wronskian eines Systems von n Lösungen wird dann definiert durch

W (t) = {\ begin {vmatrix} y_ {1} (t) & y_ {2} (t) & \ dots & y_ {n} (t) \\ y '_ {1} (t) & y '_ {2} (t) & \ dots & y' _ {n} (t) \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ y_ {1} ^ {{(n-1)}} (t) & y_ {2} ^ {{(n-1)}} (t) & \ dots & y_ {n} ^ {{(n-1)}} (t) \ end {vmatrix}}.

Seine Evolutionsgleichung lautet

W '= a _ {{n-1}} W.

Referenz

François Rouvière , Kleiner Leitfaden zur Differentialrechnung: für die Verwendung der Lizenz und die Aggregation [ Detail der Ausgaben ]