Nullvektor

In einem Vektorraum E über einem kommutativen Feld ist der Nullvektor der eindeutige Vektor, der das neutrale Element für die Vektoraddition darstellt. Seine Existenz ist durch die Definition der Struktur des Vektorraums gegeben. Es kann notiert oder oder sogar oder einfach 0 sein. $K.$ $0_ {E} \,$ ${\ mathbf {0}}$ ${\ vec {0}}$

Wie jedes neutrale Element ist der Nullvektor eindeutig. Der Beweis ist elementar: Wenn und zwei Nullvektoren desselben Vektorraums E sind , dann durch Nullheit von und durch Nullheit von daher . $beim$ $b$ ${\ displaystyle a = a + b}$ $b$ ${\ displaystyle b = a + b}$ $beim$ $a = b$

Eigenschaften und Anmerkungen

Es ist das Ergebnis der Multiplikation eines Vektors E mit dem Skalar . $0_ {K} \,$
Für alle Vektorräume E und F und jede lineare Abbildung wird der Nullvektor von E durch f auf den Nullvektor F gesendet : . $f: E \ rightarrow F.$ $f (0_ {E}) = 0_ {F}$
Das inverse Bild des durch eine lineare Karte auf den Nullvektor reduzierten Vektorunterraums von E wird als Kern der linearen Karte f bezeichnet . $f$
Der auf den Nullvektor reduzierte Vektorraum ist der eindeutige Vektorraum, der nur ein Element hat, den Nullvektor. Es wird der Nullraum genannt .

Beispiele

K ist ein kommutatives Feld, im Vektorraum ist der Nullvektor das additive neutrale Element von , das heißt . $(K, +, \ cdot)$ $K.$ $0_ {K}$
Im K - Vektorraum K n ist der Nullvektor das n - Tupel, wobei das Identitätselement für die Addition des Körpers K ist . $(0, \ ldots, 0)$ ${\ displaystyle 0}$
Wenn E ein Unterraum des Vektors F , der Nullvektor von E ist der Nullvektor F .
Für jede Menge X ist der Nullvektor des Raums der reellen Funktionen über X die Nullfunktion, die an jedem Punkt von X 0 assoziiert. ${\ mathcal {F}} (X, R)$
In dem Vektorraum von stetigen Funktionen von in der Nullvektor ist die Null - Funktion. ${\ mathcal {C}} ({\ mathbb {R}}, {\ mathbb {R}})$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$
Im Vektorraum von Polynomen mit Koeffizienten in einem kommutativen Feld ist der Nullvektor das Nullpolynom. $K [X]$ $K.$
Wenn die Vektoren aus äquipollenten Bipunkten definiert werden , wird der Nullvektor durch die Klassenpaare ( A , A ) dargestellt, die aus einem einzelnen Punkt A gebildet werden .
Der eindeutige K- Vektorraum, der nur den Nullvektor enthält, ist per Definition der Nullraum . Für jeden Vektorraum E gibt es eine eindeutige Injektion des Nullraums in Richtung E , die 0 weiterleitet . Die Dimension des Nullraums ist 0. $\ {0 \}$ $0_ {E}$