Jordans Deckspelze
In der Mathematik ist das Jordanische Lemma ein Lemma, das hauptsächlich zur Berechnung von Integralen durch den Residuensatz verwendet wird . Es trägt den Namen seines Erfinders, des Mathematikers Camille Jordan . Es gibt drei jordanische Deckspelzen, und der Ausdruck "jordanische Deckspelze" bezieht sich auf eine der folgenden drei Aussagen.
Erste Aussage
Jordan Lemma I - Sei eine holomorphe Funktion in einer Domäne . Wenn gegen 0 tendiert, wenn gegen unendlich tendiert, dann tendiert das Integral entlang des Teils des Kreises C (0, r), der in der Domäne enthalten ist, gegen 0, wenn der Radius r gegen unendlich tendiert:
f{\ displaystyle f}
D.⊂VS{\ displaystyle D \ subset \ mathbb {C}}
|zf((z)|{\ displaystyle | zf (z) |}
|z|{\ displaystyle | z |}
D.{\ displaystyle D}![D.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
limr→∞∮VS((0,r)∩D.f((z)dz=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ anint _ {C (0, r) \ cap D} f (z) dz = 0}![\ lim _ {{r \ to \ infty}} \ anint _ {{C (0, r) \ cap D}} f (z) dz = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0162eb50b30542ba78d92b4641c2b02715aa34f8)
.
Demonstration
Wir haben
∮VS((0,r)∩D.f((z)dz=∮VS((0,r)∩D.zf((z)dzz.{\ displaystyle \ oint _ {C (0, r) \ cap D} f (z) dz = \ oint _ {C (0, r) \ cap D} zf (z) {\ frac {dz} {z} }.}
Nach der Hypothese zu f geht es gegen 0, wenn der Radius des Kreises gegen unendlich geht. Also durch posieren|zf((z)|{\ displaystyle | zf (z) |}
z=reichθ{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}
|∮VS((0,r)∩D.zf((z)dzz|⩽∫02π|zf((z)|rdθr=2πmaxz∈VS((0,r)|zf((z)|→0{\ displaystyle \ left | \ anint _ {C (0, r) \ cap D} zf (z) {\ frac {dz} {z}} \ right | \ leqslant \ int _ {0} ^ {2 \ pi } | zf (z) | {\ frac {rd \ theta} {r}} = 2 \ pi \ max _ {z \ in C (0, r)} | zf (z) | \ bis 0}![\ left | \ oint _ {{C (0, r) \ cap D}} zf (z) {\ frac {dz} {z}} \ right | \ leqslant \ int _ {0} ^ {{2 \ pi }} | zf (z) | {\ frac {rd \ theta} {r}} = 2 \ pi \ max _ {{z \ in C (0, r)}} | zf (z) | \ bis 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3db5bb482c7de2e7e399d64b24e37f1dbc4756)
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Zweite Aussage
Es gibt eine bestimmte Version von Jordans Lemma in einem Halbkreis, von der immer angenommen werden kann, dass es sich um den oberen Halbkreis handelt.
Jordanisches Lemma II - Sei f eine meromorphe Funktion in einer Domäne D vollständig in der geschlossenen oberen Halbebene, stetig auf der realen Achse und in der Form,
in der a ein streng positives Real ist.
f((z)=eichbeimzG((z){\ displaystyle f (z) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} az} g (z)}![{\ displaystyle f (z) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} az} g (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9d4ee93c5d2ddbbf1d5ff15f5fbb2da6fa8259)
Wenn mehr gegen 0 geht, wenn r gegen unendlich geht, dann
maxθ∈[0,π]]|G((reichθ)|{\ displaystyle \ max _ {\ theta \ in [0, \ pi]} \ left | g (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}) \ right |}![{\ displaystyle \ max _ {\ theta \ in [0, \ pi]} \ left | g (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}) \ right |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5baf6b9f8460b17132c04d546c5e87645a5ce2)
limr→∞∮VS((0,r)∩D.f((z)dz=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ anoint _ {C (0, r) \ cap D} f (z) \, \ mathrm {d} z = 0}![{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ anoint _ {C (0, r) \ cap D} f (z) \, \ mathrm {d} z = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5573b75ef4faee505f0c5b0cf2a3a5085c09a66f)
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Demonstration
Wir setzen und wir haben durch Aufrufen und die Extremwerte der betrachteten Winkel ,
z=reichθ{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}
θ1((r){\ displaystyle \ theta _ {1} (r)}
θ2((r){\ displaystyle \ theta _ {2} (r)}
VS((0,r)∩D.{\ displaystyle C (0, r) \ cap D}![C (0, r) \ cap D.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3ebc25d91981894cd11f6db9c196add771fb7f)
|∫VS((0,r)∩D.f((z)dz|⩽∫VS((0,r)∩D.|f((z)|dz⩽∫θ1((r)θ2((r)|G((reichθ)|ebeimr((ichcosθ- -Sündeθ)reichθ|dθ{\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r) \ cap D} f (z) \, dz \ right | \ leqslant \ int _ {C (0, r) \ cap D} | f (z ) | \, dz \ leqslant \ int _ {\ theta _ {1} (r)} ^ {\ theta _ {2} (r)} | g (re ^ {i \ theta}) | e ^ {ar ( i \ cos \ theta - \ sin \ theta)} re ^ {i \ theta} | \, d \ theta}![\ left | \ int _ {{C (0, r) \ cap D}} f (z) \, dz \ right | \ leqslant \ int _ {{C (0, r) \ cap D}} | f ( z) | \, dz \ leqslant \ int _ {{\ theta _ {1} (r)}} ^ {{\ theta _ {2} (r)}} | g (re ^ {{i \ theta}} ) | e ^ {{ar (i \ cos \ theta - \ sin \ theta)}} re ^ {{i \ theta}} | \, d \ theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc6e0c358f573c706c93e44effb9cf69a5a3327)
.
Deshalb
|∫VS((0,r)f((z)dz|⩽∫0π|G((reichθ)|e- -beimrSündeθ rdθ{\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left | g (re ^ {i \ Theta}) \ right | e ^ {- ar \ sin \ theta} \ r \, d \ theta}![\ left | \ int _ {{C (0, r)}} f (z) \, dz \ right | \ leqslant \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left | g (re ^ {{i \ Theta}}) \ right | e ^ {{- ar \ sin \ theta}} \ r \, d \ theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e212e569d4b484cd9b4b9b0417cf5be00692591)
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Entweder
bekommen wir den Anstieg
M.((r)=maxθ∈[0,π]]|G((reichθ)|{\ displaystyle M (r) = \ max _ {\ theta \ in [0, \ pi]} \ left | g (re ^ {i \ theta}) \ right |}![M (r) = \ max _ {{\ theta \ in [0, \ pi]}} \ left | g (re ^ {{i \ theta}}) \ right |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86e4744835eaeb2e24649c708f4f135ace28aa0)
|∫VS((0,r)f((z)dz|⩽M.((r)∫0πe- -beimrSündeθ rdθ=2M.((r)∫0π/.2e- -beimrSündeθ rdθ{\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant M (r) \ int _ {0} ^ {\ pi} e ^ {- ar \ sin \ theta} \ r \, d \ theta = 2M (r) \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} e ^ {- ar \ sin \ theta} \ r \, d \ theta}![\ left | \ int _ {{C (0, r)}} f (z) \, dz \ right | \ leqslant M (r) \ int _ {0} ^ {\ pi} e ^ {{- ar \ sin \ theta}} \ r \, d \ theta = 2M (r) \ int _ {0} ^ {{\ pi / 2}} e ^ {{- ar \ sin \ theta}} \ r \, d \ Theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1271bbde2dd4ce4365ea3371d0c3712eac7ce4)
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Wir reduzieren den Sinus durch die Ungleichung des Akkords:
Sündeθ⩾2θπ,0⩽θ⩽π2{\ displaystyle \ sin \ theta \ geqslant {\ frac {2 \ theta} {\ pi}}, \ quad 0 \ leqslant \ theta \ leqslant {\ frac {\ pi} {2}}}
und wir bekommen
|∫VS((0,r)f((z)dz|⩽2M.((r)∫0π/.2e- -2beimrθ/.π rdθ=πbeim((1- -e- -beimr)M.((r){\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant 2M (r) \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} e ^ {- 2ar \ theta / \ pi} \ r \, d \ theta = {\ frac {\ pi} {a}} (1-e ^ {- ar}) M (r)}![\ left | \ int _ {{C (0, r)}} f (z) \, dz \ right | \ leqslant 2M (r) \ int _ {0} ^ {{\ pi / 2}} e ^ { {-2ar \ theta / \ pi}} \ r \, d \ theta = {\ frac {\ pi} {a}} (1-e ^ {{- ar}}) M (r)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebcb23efc9b3709abc0c5d740d78ce917c16698)
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Deshalb
limr→∞|∫VS((0,r)f((z)dz|⩽πbeimlimr→∞M.((r)=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ left | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant {\ frac {\ pi} {a}} \ lim _ {r \ to \ infty} M (r) = 0}![\ lim _ {{r \ to \ infty}} \ left | \ int _ {{C (0, r)}} f (z) \, dz \ right | \ leqslant {\ frac {\ pi} {a} } \ lim _ {{r \ to \ infty}} M (r) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b685ad3875922361ddcbca66bdcf8461c81f3877)
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Hinweis
Eine ähnliche Ungleichheit kann in der unteren Halb Scheibe unter den gleichen Bedingungen mit der Ausnahme erhalten wird eine <0 .
Wenn man auf die gleiche Weise die Ungleichung des Akkords für den Kosinus verwendet, erhält man auch ein "Jordan-Lemma", das diesmal in einer vertikalen Halbscheibe gültig ist.
Diese Version ist besonders nützlich für die Berechnung von Fourier- oder Laplace-Transformationen.
Dritte Aussage
Um genau zu sein, gibt es eigentlich eine andere Lemma (Lemma I) , die ähnlich ist und auch im Laufe berichtete 1 st Abteilung 1878-1879:
Jordan III Lemma - Lemma I: Sei f (a) eine Funktion, so dass (za) f (z) gegen Null tendiert, während z gegen a tendiert.
Das Integral
∫VSf((z)dz{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz}![\ int _ {C} f (z) dz](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8027c835f196f75213b4337f813e0254c35c87d8)
entlang eines Kreises mit unendlich kleinem Radius genommen, der um a herum gegen Null tendiert. In der Tat ist dieses Integral geschrieben
∫VSf((z)((z- -beim)dzz- -beim.{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) (za) {\ frac {dz} {za}}.}
Es ist kleiner als M und tendiert gegen Null; es ist daher Null.
M.2πrr<2πM..{\ displaystyle M {\ frac {2 \ pi r} {r}} <2 \ pi M.}![M {\ frac {2 \ pi r} {r}} <2 \ pi M.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398062281e4244b450b38e5a6a197c55e8f416d9)
Demonstration
Bei Fragen z=beim+reichθ{\ displaystyle z = a + re ^ {i \ theta}}
|∮VS((beim,r)f((z)((z- -beim)dzz- -beim|⩽∫02π|f((z)((z- -beim)|rdθr=2πmaxz∈VS((0,r)|f((z)((z- -beim)|→0{\ displaystyle \ left | \ anint _ {C (a, r)} f (z) (za) {\ frac {dz} {za}} \ right | \ leqslant \ int _ {0} ^ {2 \ pi } | f (z) (za) | {\ frac {rd \ theta} {r}} = 2 \ pi \ max _ {z \ in C (0, r)} | f (z) (za) | \ bis 0}![\ left | \ oint _ {{C (a, r)}} f (z) (za) {\ frac {dz} {za}} \ right | \ leqslant \ int _ {0} ^ {{2 \ pi }} | f (z) (za) | {\ frac {rd \ theta} {r}} = 2 \ pi \ max _ {{z \ in C (0, r)}} | f (z) (za ) | \ bis 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665516dc2e376b6c3b1b5f5161d23083adcc37db)
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Geschichte
Lemma Jordan ist im Zuge der Analyse des exprimierten Polytechnic von Camille Jordan ( 1 st Division 1882-1883, Seite 57):
„Lemma II: Sei f eine Funktion, bei der zf (z) gegen Null geht, wenn z auf unbestimmte Zeit zunimmt; Das Integral wird entlang eines Kreises mit unendlichem Radius genommen, der gegen Null tendiert. Wir haben
∫VSf((z)dz{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz}![\ int _ {C} f (z) dz](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8027c835f196f75213b4337f813e0254c35c87d8)
∫VSf((z)dz=∫VSzf((z)dzz<M.2πR.R.=2πM.{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz = \ int _ {C} zf (z) {\ frac {dz} {z}} <M {\ frac {2 \ pi R} {R}} = 2 \ pi M}![{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz = \ int _ {C} zf (z) {\ frac {dz} {z}} <M {\ frac {2 \ pi R} {R}} = 2 \ pi M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c671b791350920a64f740a7761118a188103586)
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M, das gegen 0 tendiert, hat auch diese Grenze. ""
∫VSf((z)dz{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz}![\ int _ {C} f (z) dz](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8027c835f196f75213b4337f813e0254c35c87d8)
Aber das Lemma existiert nicht im Laufe 1 st Division 1878-1879. In der 3 rd Edition von Band 2 (1913) seiner Analyse Kurs an der École polytechnique bei Gauthier-Villars, ist der „Jordan Lemma“ durch eine ganze Reihe von kleinen Lemmata der gleichen Art ersetzt (Band 2, Kapitel VI: complex Integrale, S. 306-311).
Laut den Autoren wird das Lemma in der einen oder anderen Form zitiert, manchmal ohne den Namen Jordan anzugeben.
So sieht es im Analysekurs am Favard Polytechnic aus.
„Sei f (z) eine Funktion, die für alle oder einen Teil C eines Kreises mit dem Radius R definiert ist, der so groß ist, wie wir wollen, zentriert an einem festen Punkt a; von
|∫VSf((z)dz|⩽2πR.max|((z- -beim)f((z)|,{\ displaystyle \ left | \ int _ {C} f (z) dz \ right | \ leqslant 2 \ pi R \ max | (za) f (z) |,}
wir schließen daraus, dass wenn | (za) f (z) | tendiert gleichmäßig gegen Null mit 1 / R, das Integral tendiert gegen Null.
Es ist dasselbe, wenn wir f (z) entlang eines Kreises mit dem Radius r ganz oder teilweise integrieren müssen, so klein wie wir wollen, zentriert auf a und dass | (za) f (z) | tendiert gegen den Teil dieses Kreises, entlang dem wir f (z) integrieren, gegen Null. ""
ohne Jordans Namen zu zitieren.
Siehe auch
Anmerkungen und Referenzen
-
Favard, Analysekurs der Polytechnischen Schule , Gauthier-Villars, T2, 1960, p. 252-253.
- Camille Jordan, Kurs zur Analyse Polytechnic , 1 st Division Jahre 1882-1883, Handout.
- Camille Jordan, Analysekurs an der École Polytechnique , Gauthier-Villars, Paris, 3 Bände, 1909-1913-1915
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