Subnormale Untergruppe

In der Mathematik ist auf dem Gebiet der Gruppentheorie eine Untergruppe H einer Gruppe G eine subnormale Untergruppe von G, wenn es eine endliche Kette von Untergruppen der Gruppe gibt, die bei H beginnt und mit G endet und von denen jedes Element a ist normale Untergruppe der nächsten.

Formale Definition

Formal ist -subnormal, wenn es Untergruppen gibt H.{\ displaystyle H}k{\ displaystyle k}G{\ displaystyle G}

H.=H.0,H.1,H.2,...,H.k=G{\ displaystyle H = H_ {0}, H_ {1}, H_ {2}, \ ldots, H_ {k} = G}

von solchen, die für jeden normal sind . G{\ displaystyle G}H.ich{\ displaystyle H_ {i}}H.ich+1{\ displaystyle H_ {i + 1}}ich{\ displaystyle i}

Eine subnormale Untergruppe ist eine Untergruppe, die für eine positive ganze Zahl -subnormal ist . k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}

Historisch

Das Konzept der subnormalen Untergruppe wurde 1939 von Helmut Wielandt in seiner Habilitationsschrift unter dem Namen 'nachinvariante Untergruppe' eingeführt . Wielandt bewies insbesondere, dass in einer endlichen Gruppe die von zwei subnormalen Untergruppen erzeugte Untergruppe selbst subnormal ist, so dass die subnormalen Untergruppen bilden ein Gitter .

Beispiel

Die Untergruppe der symmetrischen Gruppe ist eine normale Untergruppe Klein-Gruppe, die selbst eine normale Untergruppe ist . Also, ist eine subnormale Untergruppe von , ohne eine normale Untergruppe zu sein, da nicht in . Z.={e,((((12)((34))}}{\ displaystyle Z = \ {e, ((12) (34)) \}} S.4{\ displaystyle S_ {4}} V.{\ displaystyle V}S.4{\ displaystyle S_ {4}}Z.{\ displaystyle Z}S.4{\ displaystyle S_ {4}}((((12)((34))((123)=((13)((24){\ displaystyle ((12) (34)) ^ {(123)} = (13) (24)}Z.{\ displaystyle Z}

Eigenschaften

Einige Beispiele und Ergebnisse zu subnormalen Untergruppen:

• Eine 1-sub-normale Untergruppe ist eine richtige normale Untergruppe und umgekehrt.
• Eine endliche Typgruppe ist genau dann nilpotent, wenn alle ihre Untergruppen subnormal sind.
• Eine Untergruppe nahe dem Normalen  (in) und im Allgemeinen eine Untergruppe, die mit all ihren Untergruppen pendelt, die zu einer endlichen Gruppe konjugiert sind , ist unterdurchschnittlich.
• Eine pronormale Untergruppe  (in), die nicht normal ist, ist eine normale Untergruppe. Insbesondere ist eine Sylow-Untergruppe genau dann nicht normal, wenn sie normal ist.
• Eine 2-sub-normale Untergruppe ist eine Untergruppe, die mit allen konjugierten Untergruppen wechselt.

Die subnormale Beziehung ist transitiv  : Mit anderen Worten, eine subnormale Untergruppe einer subnormalen Untergruppe ist subnormal. Die Subnormalitätsbeziehung kann daher als der transitive Abschluss der Normalitätsbeziehung definiert werden.

Zum Thema passende Artikel

• Charakteristische Untergruppe
• Herz einer Untergruppe

Anmerkungen und Referenzen

1. "  Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen  ", Mathematische Zeitschrift , vol.  45, 1939), p.  209-244 ( online lesen ).

• (de) / (en) Dieser Artikel teilweise oder ganz von den Gegenständen genommen Titel in Deutsch „  Subnormalteiler  “ ( siehe die Liste der Autoren ) und in Englisch „  Subnormalteiler  “ ( siehe die Liste der Autoren ) .

Literaturverzeichnis

• Derek JS Robinson , Ein Kurs in Gruppentheorie , Berlin, New York, Springer-Verlag ,1996499  p. ( ISBN  978-0-387-94461-6 , online lesen )
• Adolfo Ballester-Bolinches , Ramon Esteban-Romero und Mohamed Asaad , Produkte endlicher Gruppen , Walter de Gruyter ,2010346  p. ( ISBN  978-3-11-022061-2 , online lesen )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">