Quadrupol
In der Elektrokinetik ist ein Quadrupol (oder Quadrupol ) ein Modellelement eines Stromkreises, in dem er als Block mit zwei Eingangs- und zwei Ausgangsanschlüssen betrachtet wird. Wir untersuchen die Übertragung elektrischer Größen, Spannung und Strom zwischen diesen beiden Dipolen, die durch eine Impedanz gekennzeichnet sind , als Funktion der Zeit.
Wenn die Untersuchung des Quadrupols ein elektrisches Signal betrifft , können die Eingangs- und Ausgangsgröße unterschiedlich sein ( Spannung , Strom ). Der mögliche Beitrag von Energie zur Schaltung, die dann als aktiv bezeichnet wird , ist nicht Teil des Modells. Die ersten Studien zu Quadrupolen verdanken wir dem deutschen Mathematiker Franz Breisig in den 1920er Jahren .
Die elektromechanische Analogie ermöglicht die Verwendung des Quadrupolformalismus für Wandler oder mechanische oder elektromechanische Systeme.
Allgemeines
Definitionen
Ein Quadrupol ist eine elektronische Komponente oder Schaltung, die als Black Box mit zwei elektrischen Anschlüssen betrachtet wird . Wir interessieren uns für den Strom und die Spannung an jedem der Ports mit den unten gezeigten Konventionen: Die Ströme , die am positiven Pol der Spannung in den Quadrupol eintreten, werden positiv notiert .
Größenbezeichnung
Physische Größe |
Eingang |
Ausfahrt
|
---|
Strom
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ich1{\ displaystyle I_ {1}} oder iche{\ displaystyle I_ {e}}
|
ich2{\ displaystyle I_ {2}} oder ichs{\ displaystyle I_ {s}}
|
|
Stromspannung |
V.1{\ displaystyle V_ {1}} oder U.e{\ displaystyle U_ {e}}
|
V.2{\ displaystyle V_ {2}} oder U.s{\ displaystyle U_ {s}}
|
Diese Konvention macht die Eingabe und Ausgabe ausgeglichen. Der Quadrupol wird durch zwei charakteristische Gleichungen bestimmt, die es ermöglichen, bei Kenntnis der angeschlossenen Geräte die Eingangs- und Ausgangswerte zu berechnen.
Übertragungsfunktion
Die Übertragungsfunktion eines linearen Quadrupols im sinusförmigen Wechselbereich hat folgende Eigenschaften:
T._{\ displaystyle {\ underline {T}}}
- Es ist eine komplexe Zahl . Diese Zahl hängt von der Frequenz und der am Ausgang aufgebrachten Last ab.
T._=T._((jω){\ displaystyle {\ underline {T}} = {\ underline {T}} (j \ omega)}
- , manchmal einfach notiert , ist das Verhältnis zwischen den Effektivwerten des Ausgangssignals und des Eingangssignals.
|T._|{\ displaystyle | {\ underline {T}} |}T.{\ displaystyle T}
- ist die Phasendifferenz (oder Phasenverschiebung) des Ausgangssignals in Bezug auf das Eingangssignal.
arg((T._){\ displaystyle \ arg {({\ underline {T}})}}
Verstärkungskoeffizienten
Die Verstärkungskoeffizienten sind spezielle Übertragungsfunktionen.
- Spannungsverstärkungskoeffizient: T.=BEIMv=U.sU.e{\ displaystyle T = A_ {v} = {\ frac {U_ {s}} {U_ {e}}}}
- Stromverstärkungskoeffizient: T.=BEIMich=ichsiche{\ displaystyle T = A_ {i} = {\ frac {I_ {s}} {I_ {e}}}}
- Leistungsverstärkungskoeffizient, obwohl es sich nicht um ein Verhältnis komplexer Zahlen handelt, die mit Signalen verbunden sind:
BEIMp=U.sichscos((φs)U.eichecos((φe){\ displaystyle A_ {p} = {\ frac {U_ {s} I_ {s} \ cos {(\ varphi _ {s})}} {U_ {e} I_ {e} \ cos {(\ varphi _ { e})}}}}mit (bzw. ) der Phasenverschiebung in Bezug auf (bzw. in Bezug auf ).
φs{\ displaystyle \ varphi _ {s}}φe{\ displaystyle \ varphi _ {e}}U.s{\ displaystyle U_ {s}}ichs{\ displaystyle I_ {s}}U.e{\ displaystyle U_ {e}}iche{\ displaystyle I_ {e}}
Diese Koeffizienten hängen im Allgemeinen von der Frequenz und der Ausgangslast ab.
Verdienste
Da die Module dieser Koeffizienten erheblich variieren können, wenn sich die Frequenz ändert, wird eine andere Größe verwendet, die diese Variationen "zusammendrückt".
- Spannungsverstärkung: GV.=20Log((U.S.U.E.){\ displaystyle G_ {V} = 20 \ log \ left ({\ frac {U_ {S}} {U_ {E}}} \ right)}
- Stromverstärkung: Gich=20Log((ichS.ichE.){\ displaystyle G_ {I} = 20 \ log \ left ({\ frac {I_ {S}} {I_ {E}}} \ right)}
- Leistungsgewinn: GP.=10Log((P.S.P.E.){\ displaystyle G_ {P} = 10 \ log \ left ({\ frac {P_ {S}} {P_ {E}}} \ right)}
Die Gewinne werden in Dezibel ausgedrückt .
- Wenn T mit 10 multipliziert wird, erhöht sich G = 20 logT um 20 dB ;
- Die Verstärkung wird negativ, wenn T <1 ist.
- Wenn sich Av verdoppelt, erhöht sich Gv um 6 dB .
Parametrisierung eines linearen Quadrupols
Die Quadrupole werden in Form von Matrizen dargestellt, die die Ströme und Spannungen verbinden, deren Bedingungen von der Frequenz abhängen können. Wir können diese Matrizen auf verschiedene Arten erstellen: Sie sind alle gleichwertig, aber die praktischste Konstruktion hängt von den zu lösenden Problemen ab.
Übertragungs- oder Kaskadeneinstellungen
Wir drücken die Daten links als Funktion der Daten rechts aus. Die Begriffe sind ABCD oder gemäß den Konventionen:
T.ichj{\ displaystyle T_ {ij}}beimichj{\ displaystyle a_ {ij}}((V.1ich1)=((BEIMB.VSD.)((V.2- -ich2){\ displaystyle {V_ {1} \ wähle I_ {1}} = {\ begin {pmatrix} A & B \\ C & D \ end {pmatrix}} {V_ {2} \ wähle -I_ {2}}},
Oder umgekehrt schreiben wir die Begriffe rechts entsprechend den Begriffen links. Es ist die Matrix A'B'C'D‘, oder , inverse der vorhergehenden:
T.ichj'{\ displaystyle T '_ {ij}}bichj{\ displaystyle b_ {ij}}
((V.2- -ich2)=((BEIM'B.'VS'D.')((V.1ich1){\ displaystyle {V_ {2} \ wähle -I_ {2}} = {\ begin {pmatrix} A '& B' \\ C '& D' \ end {pmatrix}} {V_ {1} \ wähle I_ { 1}}},
A und D sind dimensionslos , B ist in Ohm und C in Siemens. Diese Einstellung ist an die Verkettung der Quadrupole angepasst. Der Ausgangsstrom des ersten Quadrupols ist das Gegenteil des Eingangsstroms des nächsten Quadrupols, daher das Vorzeichen "-".
Impedanzeinstellung
Wir drücken die Spannungen als Funktion der Ströme aus:((V.1V.2)=((Z.11Z.12Z.21Z.22)((ich1ich2){\ displaystyle {V_ {1} \ wähle V_ {2}} = {\ begin {pmatrix} Z_ {11} & Z_ {12} \\ Z_ {21} & Z_ {22} \ end {pmatrix}} {I_ {1} \ wähle I_ {2}}},mit:Z.11=V.1ich1|ich2=0Z.12=V.1ich2|ich1=0{\ displaystyle Z_ {11} = {V_ {1} \ über I_ {1}} {\ bigg |} _ {I_ {2} = 0} \ qquad Z_ {12} = {V_ {1} \ über I_ { 2}} {\ bigg |} _ {I_ {1} = 0}} undZ.21=V.2ich1|ich2=0Z.22=V.2ich2|ich1=0{\ displaystyle Z_ {21} = {V_ {2} \ über I_ {1}} {\ bigg |} _ {I_ {2} = 0} \ qquad Z_ {22} = {V_ {2} \ über I_ { 2}} {\ bigg |} _ {I_ {1} = 0}}
Die Eingangsimpedanz des Quadrupols wird aufgerufen; die umgekehrte Übertragungsimpedanz des Quadrupols; die Übertragungsimpedanz des Quadrupols; die Quadrupol-Ausgangsimpedanz. Alle diese Begriffe sind in Ohm angegeben.
Z.11{\ displaystyle Z_ {11}}Z.12{\ displaystyle Z_ {12}}Z.21{\ displaystyle Z_ {21}}Z.22{\ displaystyle Z_ {22}}
Parametereinstellung in Admittanzen
Die Ströme werden in Abhängigkeit von den Spannungen ausgedrückt:
((ich1ich2)=((Y.11Y.12Y.21Y.22)((V.1V.2){\ displaystyle {I_ {1} \ wähle I_ {2}} = {\ begin {pmatrix} Y_ {11} & Y_ {12} \\ Y_ {21} & Y_ {22} \ end {pmatrix}} {V_ {1} \ wähle V_ {2}}},mit:Y.11=ich1V.1|V.2=0Y.12=ich1V.2|V.1=0{\ displaystyle Y_ {11} = {I_ {1} \ über V_ {1}} {\ bigg |} _ {V_ {2} = 0} \ qquad Y_ {12} = {I_ {1} \ über V_ { 2}} {\ bigg |} _ {V_ {1} = 0}} undY.21=ich2V.1|V.2=0Y.22=ich2V.2|V.1=0{\ displaystyle Y_ {21} = {I_ {2} \ über V_ {1}} {\ bigg |} _ {V_ {2} = 0} \ qquad Y_ {22} = {I_ {2} \ über V_ { 2}} {\ bigg |} _ {V_ {1} = 0}}
Die Eingangsaufnahme des Quadrupols wird aufgerufen; die Reverse-Transfer-Admittanz des Quadrupols; die Übertragungsaufnahme des Quadrupols; die Quadrupolauslassaufnahme. Alle Bedingungen sind Zulassungen, daher in Siemens ausgedrückt.
Y.11{\ displaystyle Y_ {11}}Y.12{\ displaystyle Y_ {12}}Y.21{\ displaystyle Y_ {21}}Y.22{\ displaystyle Y_ {22}}
Hybrid-Setup
Diese Beziehungen sind nützlich, wenn Transistoren untersucht werden. (siehe # Quadripôles_passifs )
((V.1ich2)=((H.11H.12H.21H.22)((ich1V.2){\ displaystyle {V_ {1} \ wähle I_ {2}} = {\ begin {pmatrix} H_ {11} & H_ {12} \\ H_ {21} & H_ {22} \ end {pmatrix}} {I_ {1} \ wähle V_ {2}}} ,
mit:
H.11=V.1ich1|V.2=0H.12=V.1V.2|ich1=0{\ displaystyle H_ {11} = {V_ {1} \ über I_ {1}} {\ bigg |} _ {V_ {2} = 0} \ qquad H_ {12} = {V_ {1} \ über V_ { 2}} {\ bigg |} _ {I_ {1} = 0}} und
H.21=ich2ich1|V.2=0H.22=ich2V.2|ich1=0{\ displaystyle H_ {21} = {I_ {2} \ über I_ {1}} {\ bigg |} _ {V_ {2} = 0} \ qquad H_ {22} = {I_ {2} \ über V_ { 2}} {\ bigg |} _ {I_ {1} = 0}}
Es kann das und das bemerkt werden .
H.11=1/.Y.11{\ displaystyle H_ {11} = 1 / Y_ {11}}H.22=1/.Z.22{\ displaystyle H_ {22} = 1 / Z_ {22}}
Die Eingangsimpedanz des Quadrupols (Ohm) wird aufgerufen; die inverse Spannungsverstärkung des Quadrupols (dimensionslos); die Übertragungsstromverstärkung des Quadrupols (dimensionslos), die Ausgangsadmittanz des Quadrupols (Siemens).
H.11{\ displaystyle H_ {11}}H.12{\ displaystyle H_ {12}}H.21{\ displaystyle H_ {21}}H.22{\ displaystyle H_ {22}}
Matrix Computing passt sich sehr gut an Quadrupole an und ermöglicht es, die Übertragungsfunktionen elektronischer Schaltungen zu erhalten, wenn andere Methoden in einem abstrusen Formalismus, einer Fehlerquelle und einem Zeitverlust verloren gehen.
Reverse Hybrid Setup
Inverse Hybridbeziehungen werden nur sehr wenig verwendet, existieren jedoch.
((ich1V.2)=((G11G12G21G22)((V.1ich2){\ displaystyle {I_ {1} \ wähle V_ {2}} = {\ begin {pmatrix} G_ {11} & G_ {12} \\ G_ {21} & G_ {22} \ end {pmatrix}} {V_ {1} \ wähle I_ {2}}},
mit:
G11=ich1V.1|ich2=0G12=ich1ich2|V.1=0{\ displaystyle G_ {11} = {I_ {1} \ über V_ {1}} {\ bigg |} _ {I_ {2} = 0} \ qquad G_ {12} = {I_ {1} \ über I_ { 2}} {\ bigg |} _ {V_ {1} = 0}} und
G21=V.2V.1|ich2=0G22=V.2ich2|V.1=0{\ displaystyle G_ {21} = {V_ {2} \ über V_ {1}} {\ bigg |} _ {I_ {2} = 0} \ qquad G_ {22} = {V_ {2} \ über I_ { 2}} {\ bigg |} _ {V_ {1} = 0}}
Umwandlung von Matrizen
Die folgenden Einstellungen sind äquivalent: Mit Konvertierungen können Sie von einer zur anderen wechseln. Einige Quadrupole können jedoch in bestimmten Einstellungen nicht beschrieben werden, beispielsweise wenn die Umrechnungsformeln eine Division durch Null beinhalten . repräsentiert die Determinante der Matrix .
Δ{\ displaystyle \ Delta}
Umwandlung zwischen verschiedenen Matrizen
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ABCD-Einstellungen
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Z-Parameter
|
Parameter Y.
|
Parameter H.
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---|
ABCD-Übertragungsmatrix
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[BEIMB.VSD.]]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A & B \\ C & D \ end {bmatrix}}}
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[Z11Z21ΔZZ211Z21Z22Z21]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {Z_{11}}{Z_{21}}}&{\frac {\Delta Z}{Z_{21}}}\\{\frac {1}{Z_{21}}}&{\frac {Z_{22}}{Z_{21}}}\end{bmatrix}}}
|
[−Y22Y21−1Y21−ΔYY21−Y11Y21]{\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {Y_{22}}{Y_{21}}}&-{\frac {1}{Y_{21}}}\\-{\frac {\Delta Y}{Y_{21}}}&-{\frac {Y_{11}}{Y_{21}}}\end{bmatrix}}}
|
[−ΔHH21−H11H21−H22H21−1H21]{\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {\Delta H}{H_{21}}}&-{\frac {H_{11}}{H_{21}}}\\-{\frac {H_{22}}{H_{21}}}&-{\frac {1}{H_{21}}}\end{bmatrix}}}
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---|
Z-Impedanzmatrix
|
[ACΔ(ABCD)C1CDC]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {A}{C}}&{\frac {\Delta (ABCD)}{C}}\\{\frac {1}{C}}&{\frac {D}{C}}\end{bmatrix}}}
|
[Z.11Z.12Z.21Z.22]]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} Z_ {11} & Z_ {12} \\ Z_ {21} & Z_ {22} \ end {bmatrix}}}
|
[Y22ΔY−Y12ΔY−Y21ΔYY11ΔY]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {Y_{22}}{\Delta Y}}&-{\frac {Y_{12}}{\Delta Y}}\\-{\frac {Y_{21}}{\Delta Y}}&{\frac {Y_{11}}{\Delta Y}}\end{bmatrix}}}
|
[ΔHH22H12H22−H21H221H22]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\Delta H}{H_{22}}}&{\frac {H_{12}}{H_{22}}}\\-{\frac {H_{21}}{H_{22}}}&{\frac {1}{H_{22}}}\end{bmatrix}}}
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---|
Admittanzmatrix Y.
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[DB−Δ(ABCD)B−1BAB]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {D}{B}}&-{\frac {\Delta (ABCD)}{B}}\\-{\frac {1}{B}}&{\frac {A}{B}}\end{bmatrix}}}
|
[Z22ΔZ−Z12ΔZ−Z21ΔZZ11ΔZ]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {Z_{22}}{\Delta Z}}&-{\frac {Z_{12}}{\Delta Z}}\\-{\frac {Z_{21}}{\Delta Z}}&{\frac {Z_{11}}{\Delta Z}}\end{bmatrix}}}
|
[Y.11Y.12Y.21Y.22]]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} Y_ {11} & Y_ {12} \\ Y_ {21} & Y_ {22} \ end {bmatrix}}}
|
[1H11−H12H11H21H11ΔHH11]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{H_{11}}}&-{\frac {H_{12}}{H_{11}}}\\{\frac {H_{21}}{H_{11}}}&{\frac {\Delta H}{H_{11}}}\end{bmatrix}}}
|
---|
Hybridmatrix H.
|
[BDΔ(ABCD)D−1DCD]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {B}{D}}&{\frac {\Delta (ABCD)}{D}}\\-{\frac {1}{D}}&{\frac {C}{D}}\end{bmatrix}}}
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[ΔZZ22Z12Z22−Z21Z221Z22]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\Delta Z}{Z_{22}}}&{\frac {Z_{12}}{Z_{22}}}\\-{\frac {Z_{21}}{Z_{22}}}&{\frac {1}{Z_{22}}}\end{bmatrix}}}
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[1Y11−Y12Y11Y21Y11ΔYY11]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{Y_{11}}}&-{\frac {Y_{12}}{Y_{11}}}\\{\frac {Y_{21}}{Y_{11}}}&{\frac {\Delta Y}{Y_{11}}}\end{bmatrix}}}
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[H.11H.12H.21H.22]]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} H_ {11} & H_ {12} \\ H_ {21} & H_ {22} \ end {bmatrix}}}
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---|
Parameter S.
Die S-Parameter (für Streuung , Diffusion ) werden in einem anderen Ansatz geschrieben. Hier betrachten wir, wie dargestellt, den Quadrupol, der zwischen zwei Übertragungsleitungen mit charakteristischer Impedanz angeordnet ist . Die S-Parameter beziehen sich nicht direkt auf die an den Ports gemessenen Ströme und Spannungen. Sie sind in Form von einfallenden und reflektierten Wellen geschrieben und hängen nicht nur von den Eigenschaften des Quadrupols ab, sondern auch von der Übertragungsleitung.
Z.0{\ displaystyle Z_ {0}}
((b1b2)=((S.11S.12S.21S.22)((beim1beim2){\ displaystyle {b_ {1} \ wähle b_ {2}} = {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ {22} \ end {pmatrix}} {a_ {1} \ wähle a_ {2}}}
Die an jedem Port gesehene Spannung und der Strom fallen in Abhängigkeit von den einfallenden und reflektierten Wellen zusammen, wodurch es möglich wird, die S-Parameter mit den üblichen Quadrupolparametern in Beziehung zu setzen. Hier ist als Beispiel das Schreiben aus den ABCD-Parametern:
S.11=BEIMZ.02+B.- -VSZ.01Z.02∗- -D.Z.01∗α{\ displaystyle S_ {11} = {\ frac {AZ_ {02} + B-CZ_ {01} Z_ {02} ^ {*} - DZ_ {01} ^ {*}} {\ alpha}}},
S.12=2((BEIMD.- -B.VS)ℜ((Z.01)ℜ((Z.02)α{\ displaystyle S_ {12} = {\ frac {2 (AD-BC) {\ sqrt {\ Re (Z_ {01}) \ Re (Z_ {02})}} {\ alpha}}},
S.21=2ℜ((Z.01)ℜ((Z.02)α{\ displaystyle S_ {21} = {\ frac {2 {\ sqrt {\ Re (Z_ {01}) \ Re (Z_ {02})}} {\ alpha}}},
S.22=BEIMZ.02∗+B.- -VSZ.01∗Z.02- -D.Z.01α{\ displaystyle S_ {22} = {\ frac {AZ_ {02} ^ {*} + B-CZ_ {01} ^ {*} Z_ {02} -DZ_ {01}} {\ alpha}}},
mit
α=BEIMZ.02+B.+VSZ.01Z.02+D.Z.01{\ displaystyle \ alpha = AZ_ {02} + B + CZ_ {01} Z_ {02} + DZ_ {01}}
Dieses Schreiben ist generisch: es sieht vor, dass die Leitungsimpedanz auf der linken und auf der rechten Seite unterschiedlich sein kann ( und jeweils) und sind komplex. In der Praxis gibt es viele Situationen, in denen die beiden Leitungsimpedanzen gleich und real sind, was das Schreiben erheblich vereinfacht.
Z.01{\ displaystyle Z_ {01}}Z.02{\ displaystyle Z_ {02}}
S.11=BEIMZ.0+B.- -VSZ.02- -D.Z.0α{\ displaystyle S_ {11} = {\ frac {AZ_ {0} + B-CZ_ {0} ^ {2} -DZ_ {0}} {\ alpha}}},
S.12=2((BEIMD.- -B.VS)Z.0α{\ displaystyle S_ {12} = {\ frac {2 (AD-BC) Z_ {0}} {\ alpha}}},
S.21=2Z.0α{\ displaystyle S_ {21} = {\ frac {2 {Z_ {0}}} {\ alpha}}},
S.22=BEIMZ.0+B.- -VSZ.02- -D.Z.0α{\ displaystyle S_ {22} = {\ frac {AZ_ {0} + B-CZ_ {0} ^ {2} -DZ_ {0}} {\ alpha}}},
mit
α=BEIMZ.0+B.+VSZ.02+D.Z.0{\ displaystyle \ alpha = AZ_ {0} + B + CZ_ {0} ^ {2} + DZ_ {0}}
Die S-Parameter sind besonders interessant für die experimentelle Charakterisierung von Hochfrequenzschaltungen: Sie können direkt mit einem Netzwerkanalysator gemessen werden .
Passive Quadrupole
Elementare passive Quadrupole
Passive Dämpfungsglieder
Diese Dämpfungsglieder sind Kombinationen von Widerständen in Reihe und parallel, so dass man ihre Matrixbeschreibung leicht ausgehend von den vorhergehenden Formeln findet. Wir notieren die Impedanz, für die das Dämpfungsglied geeignet ist , und das gewünschte Dämpfungsverhältnis.
Z.0{\ displaystyle Z_ {0}}K.{\ displaystyle K}
Es ist wie folgt definiert daher . Aus und Formeln ermöglichen es, die Werte der Widerstände zu bestimmen.
K.=V.ichnichtV.Öut{\ displaystyle K = {\ frac {V_ {in}} {V_ {out}}}}K.>1{\ displaystyle K> 1}Z.0{\ displaystyle Z_ {0}}K.{\ displaystyle K}
Beachten Sie, dass die Dämpfungsglieder alle die gleiche Matrix S haben: Sie sind daher äquivalent. Die Terme und sind Null, was das Fehlen einer reflektierten Welle ausdrückt.
s11{\ displaystyle s_ {11}}s22{\ displaystyle s_ {22}}
Reziprozitätssatz in passiven Quadrupolen
Der Aufbau der passiven Grundkomponenten (Widerstand, Induktivität, Kondensatoren) entspricht dem oben dargestellten Reziprozitätssatz. Es gibt jedoch passive und lineare Komponenten, die unter Verwendung ferromagnetischer Materialien nicht wechselseitig sind und dank dieser Besonderheit nützlich sind: Zirkulatoren und Isolatoren .
Wenn ein Quadrupol reziprok ist, befindet sich diese Eigenschaft in den Matrizen, die ihn parametrisieren:
- Die Admittanz- und Impedanzmatrizen sind symmetrisch : Y 12 = Y 21 , Z 12 = Z 21 ,
- Auf der Hybridmatrix: H 12 = -H 21
- Die Determinante der Übertragungsmatrix ist gleich 1: und ΔT = AD-BC = 1 .
Symmetrischer Quadrupol
Wenn die beiden Ports eines symmetrischen Quadrupols nicht unterscheidbar sind: Die entsprechenden Indizes 1 und 2 der Impedanz- oder Admittanzmatrixparameter sind daher unverändert durchlässig. Folglich haben wir für symmetrische Quadrupole zusätzlich zu den Eigenschaften der Reziprozität die Beziehungen Y 11 = Y 22 und Z 11 = Z 22 .
Aktive Quadrupole
Wir nennen aktiv, dass ein Stromkreis die Fähigkeit hat, zusätzliche Energie bereitzustellen.
Bipolartransistor
Die Kleinsignalapproximation eines Bipolartransistors wird üblicherweise durch das Ersatzschaltbild in pi oben modelliert. Diese Schaltung ist ein aktiver Quadrupol, dessen Konfiguration wie folgt ist. Es ist zu beachten, dass hier die untersuchten Größen nicht die Gesamtströme und -spannungen sind, die physikalisch an den Anschlüssen der Transistoren vorhanden sind, sondern nur ihre Variation um einen Polarisationspunkt. In einem leicht vereinfachten Modell, in dem und weggelassen werden (Null bzw. Unendlich), wird der aktive Quadrupol durch die folgende Hydridparametrisierung dargestellt, wobei dieselben Notationen wie im Diagramm verwendet werden:
rbb{\ displaystyle r_ {bb}}rb'vs.{\ displaystyle r_ {b'c}}
((V.B.ichVS)=1Gπ+jω((VSπ+VSμ)((1jωVSμGm- -jωVSμq((jω))((ichB.V.VS){\ displaystyle {V_ {B} \ wähle I_ {C}} = {\ frac {1} {G _ {\ pi} + j \ omega (C _ {\ pi} + C _ {\ mu})}} {\ begin {pmatrix} 1 & j \ omega C _ {\ mu} \\ g_ {m} -j \ omega C _ {\ mu} & q (j \ omega) \ end {pmatrix}} {I_ {B. } \ wähle V_ {C}}}
Mit:
q((jω)=Gπ+jω((VSπ)((G0+jω((VSμ))+jω((VSμ)((Gπ+Gm){\ displaystyle q (j \ omega) = G _ {\ pi} + j \ omega (C _ {\ pi}) (G_ {0} + j \ omega (C _ {\ mu})) + j \ omega (C_ {\ mu}) (G _ {\ pi} + g_ {m})}
Feldeffekttransistor
In ähnlicher Weise wird ein MOSFET-Transistor, der als kleines Signal um einen Vorspannungspunkt verwendet wird, durch die obige pi-Schaltung modelliert. Hier ist die Z-Einstellung am bequemsten:
((V.GS.V.D.S.)=((1jω((VSGs)0- -Gmr0jω((VSGs)- -r0)((ichGichD.){\ displaystyle {V_ {GS} \ wähle V_ {DS}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {j \ omega (C_ {g} s)}} & 0 \\ {\ frac {- g_ {m} r_ {0}} {j \ omega (C_ {g} s)}} & - r_ {0} \ end {pmatrix}} {I_ {G} \ wähle I_ {D}}}
Verstärker
Im Beispiel eines spannungsinvertierenden Verstärkers wird die ABCD-Matrix wie folgt geschrieben (wobei die Ströme zur Innenseite der Baugruppe hin positiv notiert werden):
((V.eiche)=((- -R.1R.20- -1R.20)((V.s- -ichs){\ displaystyle {V_ {e} \ wähle I_ {e}} = {\ begin {pmatrix} - {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} & 0 \\ - {\ frac {1} {R_ {2}}} & 0 \ end {pmatrix}} {V_ {s} \ wähle -I_ {s}}},
Die Determinante dieser Matrix ist Null: In der Tat respektiert eine solche Anordnung den Reziprozitätssatz nicht. Physikalisch bedeuten die beiden Nullen rechts, dass sich der Strom ändern kann, ohne die Eingabewerte zu beeinflussen.
ichs{\ displaystyle I_ {s}}
Quadrupoloperationen
Eingangs- und Ausgangsimpedanzen
Wir stellen hier einen Quadrupol dar, der zwischen einem Thévenin-Generator und einer Lastimpedanz angeordnet ist. Wir können uns dann interessieren für:
- Bei der vom Generator "gesehenen" Impedanz, die den Quadrupol plus seine Last darstellt.
- Zu dem äquivalenten Generator, der von der Last "gesehen" wird und den Generator und den Quadrupol darstellt.Z.L.{\ displaystyle Z_ {L}}
Für das erste Problem wird durch Laden des Quadrupols mit der Last Folgendes auferlegt: (Das Minuszeichen ist auf die Richtungskonventionen der Ströme zurückzuführen). Diese Einschränkung entzieht dem System einen Freiheitsgrad .
Z.L.{\ displaystyle Z_ {L}}V.2=- -Z.L.ich2{\ displaystyle V_ {2} = - Z_ {L} I_ {2}}
Durch Wiederaufnahme der Impedanzeinstellung des Quadrupols:
((V.1V.2)=((Z.11Z.12Z.21Z.22)((ich1ich2){\ displaystyle {V_ {1} \ wähle V_ {2}} = {\ begin {pmatrix} Z_ {11} & Z_ {12} \\ Z_ {21} & Z_ {22} \ end {pmatrix}} {I_ {1} \ wähle I_ {2}}}
wird :
((V.1- -Z.L.ich2)=((Z.11Z.12Z.21Z.22)((ich1ich2){\ displaystyle {V_ {1} \ wähle -Z_ {L} I_ {2}} = {\ begin {pmatrix} Z_ {11} & Z_ {12} \\ Z_ {21} & Z_ {22} \ end { pmatrix}} {I_ {1} \ wähle I_ {2}}}
Die zweite Zeile ermöglicht es, als Funktion von auszudrücken , und durch Ersetzen in der ersten erhalten wir die Beziehung zwischen und , dh die durch den Quadrupol und gebildete Lastimpedanz .
ich2{\ displaystyle I_ {2}}ich1{\ displaystyle I_ {1}}V.1{\ displaystyle V_ {1}}ich1{\ displaystyle I_ {1}}Z.L.{\ displaystyle Z_ {L}}
V.1=Z.11ich1- -Z.12Z.21Z.L.+Z.22ich1{\ displaystyle V_ {1} = Z_ {11} I_ {1} - {\ frac {Z_ {12} Z_ {21}} {Z_ {L} + Z_ {22}}} I_ {1}}
V.1=((Z.11- -Z.12Z.21Z.L.+Z.22)ich1=Z.ichnichtich1{\ displaystyle V_ {1} = \ left (Z_ {11} - {\ frac {Z_ {12} Z_ {21}} {Z_ {L} + Z_ {22}}} \ right) I_ {1} = Z_ {\ mathrm {in}} I_ {1}}
Übertragungsfunktion
Wenn man das obige Diagramm und seine Notationen noch einmal nimmt, interessiert man sich für die Funktion der Übertragung , kennt die Parameter ABCD des Quadrupols:
F.t=V.2V.0=Z.L.BEIMZ.L.+B.+VSZ.L.Z.S.+D.Z.S.{\ displaystyle F_ {t} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {0}}} = {\ frac {Z_ {L}} {AZ_ {L} + B + CZ_ {L} Z_ {S} + DZ_ {S}}}}
Assoziation zweier Quadrupole
Zwei Quadrupole können auf fünf verschiedene Arten kombiniert werden (um einen neuen zu bilden). In jedem Fall ist eine der Einstellungen gut geeignet, da es möglich ist, die Matrix des neuen Quadrupols, die durch eine einfache Operation erhalten wird, aus den Matrizen zu erhalten, die die beiden Startquadrupole darstellen.
Bezeichnung
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Diagramm
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Eigenschaften
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Serie
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Z.=Z.1+Z.2{\ displaystyle {Z} = {Z_ {1}} + {Z_ {2}}} Die Impedanzmatrizen werden addiert.
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Parallel
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Y.=Y.1+Y.2{\ displaystyle {Y} = {Y_ {1}} + {Y_ {2}}} Einlassstempel werden hinzugefügt.
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Parallel-Serie
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G=G1+G2{\ displaystyle {G} = {G_ {1}} + {G_ {2}}} Die inversen Hybridmatrizen werden addiert.
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Serienparallel
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H.=H.1+H.2{\ displaystyle {H} = {H_ {1}} + {H_ {2}}} Hybridmatrizen werden hinzugefügt.
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Kaskade
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T.=T.1×T.2{\ displaystyle {T} = {T_ {1}} \ times {T_ {2}}} T.'=T.2'×T.1'{\ displaystyle {T '} = {T' _ {2}} \ times {T '_ {1}}} Die Übertragungsmatrizen multiplizieren sich. Die Richtung der Multiplikation ist für T und T 'unterschiedlich: Das Matrixprodukt ist im Allgemeinen nicht kommutativ .
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Experimentelle Charakterisierung
Der Netzwerkanalysator ist ein Instrument, das speziell zur Messung der S-Parameter eines Quadrupols entwickelt wurde. Das Instrument verfügt über zwei koaxiale Ausgänge, mit denen die Terme der S-Matrix gemessen werden können.
Außerhalb der Elektronik
Die elektromechanische Analogie ermöglicht die Verwendung des Quadrupolformalismus für mechanische oder elektromechanische Systeme. In diesem Fall sind an den beiden oder nur einem Anschluss, der die elektrischen Strom- und Spannungsgrößen ersetzt, ein Drehmoment mechanischer Größe ( Kraft und Geschwindigkeit, Druck und Geschwindigkeit, Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit je nach untersuchtem System) vorhanden.
Die Untersuchung von piezoelektrischen Wandlern in eindimensionaler Näherung erfordert daher Ersatzschaltungen, die aus Quadrupolen bestehen. Die beiden am häufigsten verwendeten Schaltkreise sind die von Mason und KLM . In jeder dieser Schaltungen wird der piezoelektrische Effekt durch einen Quadrupol dargestellt, dessen Eingang elektrisch ist und dessen Ausgang die Geschwindigkeit und der Druck (oder die Kraft) in der Mitte der piezoelektrischen Schicht ist, während jede Schicht ein mechanischer Quadrupol ist, der a entspricht Übertragungsleitung.
Anmerkungen und Referenzen
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Siehe auch