q -analog
In der Mathematik , genauer gesagt auf dem Gebiet der Kombinatorik , ist ein q- Analogon eines Theorems, einer Identität oder eines Ausdrucks eine Verallgemeinerung, die einen neuen Parameter q beinhaltet und sich auf den ursprünglichen Theorem spezialisiert, wenn man die Grenze nimmt , wenn sich q 1 nähert In der Regel interessieren sich Mathematiker für Fälle, in denen ein q- Analog natürlich vorkommt, und nicht für Fälle, in denen wir einem bereits bekannten Satz willkürlich einen Parameter q hinzufügen . Die erste q -Analoga im Detail untersucht wurden die hypergeometric Serie Grund, die in dem eingeführten XIX - ten Jahrhundert.
Die q- Analoga finden Anwendung in verschiedenen Bereichen, einschließlich der Untersuchung von Fraktalen , der Zahlentheorie und des Ausdrucks der Entropie chaotischer dynamischer Systeme. Die q- Analoga erscheinen auch in der Untersuchung von Quantengruppen und Superalgebren (in) q- Déformées .
Es gibt zwei Hauptgruppen von q- Analogen: die q klassischen -Analoge, die in die Arbeit von Leonhard Euler eingeführt und dann von Frank Hilton Jackson (in) erweitert wurden , und q unkonventionelle -Analoge.
q - klassische Theorie
q -derivativ
Die Ableitung einer reellen Variablen Funktion in der Grenze der Wachstumsrate , wenn nähert sich , und wird traditionell genannt , den Unterschied so . Für Nicht-Null können wir aber auch den Quotienten so bezeichnen . Es ist dieser letzte Quotient, der die aufgerufen wird , q -Derivat von en , die gut in Richtung neigt , wenn die Tendenz in Richtung 1, wenn in ableitbar ist . Wir stellen dann fest, dass das q- Derivat der Funktion wert ist , was gut zur Ableitung tendiert, wenn es zu 1 tendiert. Dies rechtfertigt die folgende Definition:
f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}τ=f((x')- -f((x)x'- -x{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x ') - f (x)} {x'-x}}}x'{\ displaystyle x '}x{\ displaystyle x}h{\ displaystyle h}x'- -x{\ displaystyle x'-x}τ=f((x+h)- -f((x)h{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}x{\ displaystyle x}q{\ displaystyle q}x'/.x{\ displaystyle x '/ x}τ=f((qx)- -f((x)((q- -1)x{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}f'((x){\ displaystyle f '(x)}q{\ displaystyle q}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}x↦xnicht{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {n}}qnicht- -1q- -1xnicht- -1{\ displaystyle {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} x ^ {n-1}}nichtxnicht- -1{\ displaystyle nx ^ {n-1}}q{\ displaystyle q}
q -Entiers
Wir definieren das q- Analog der positiven ganzen Zahl durch:
nicht{\ displaystyle n}
[nicht]]q=1- -qnicht1- -q=qnicht- -1q- -1=1+q+q2+...+qnicht- -1.{\ displaystyle [n] _ {q} = {\ frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} = 1 + q + q ^ {2} + \ ldots + q ^ {n-1}.}q- Faktor
Wir definieren dann natürlich den q- Analog der Fakultät der ganzen Zahl durch:
nicht{\ displaystyle n}
nicht!q{\ displaystyle n! _ {q}}
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=[1]]q⋅[2]]q⋯[nicht- -1]]q⋅[nicht]]q{\ displaystyle = [1] _ {q} \ cdot [2] _ {q} \ cdots [n-1] _ {q} \ cdot [n] _ {q}}
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=1- -q1- -q⋅1- -q21- -q⋯1- -qnicht- -11- -q⋅1- -qnicht1- -q{\ displaystyle = {\ frac {1-q} {1-q}} \ cdot {\ frac {1-q ^ {2}} {1-q}} \ cdots {\ frac {1-q ^ {n -1}} {1-q}} \ cdot {\ frac {1-q ^ {n}} {1-q}}}
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=1⋅((1+q)⋯((1+q+⋯+qnicht- -2)⋅((1+q+⋯+qnicht- -1).{\ displaystyle = 1 \ cdot (1 + q) \ cdots (1 + q + \ cdots + q ^ {n-2}) \ cdot (1 + q + \ cdots + q ^ {n-1}).}
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Dies q -analoge des faktoriellen hat die folgende kombinatorische Interpretation: während die Anzahl der ist , um Permutationen , zählt diese gleichen Permutationen , während die die Anzahl zu halten Inversionen . Das heißt, wenn es die Anzahl der Inversionen der Permutation und aller Permutationen der Ordnung n gibt , haben wir : .
nicht!{\ displaystyle n!}nicht{\ displaystyle n}nicht!q{\ displaystyle n! _ {q}}inv((σ){\ displaystyle {\ text {inv}} (\ sigma)}σ{\ displaystyle \ sigma}S.nicht{\ displaystyle S_ {n}}∑σ∈S.nichtqinv((σ)=nicht!q{\ displaystyle \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} q ^ {{\ text {inv}} (\ sigma)} = n! _ {q}}
Das q- Faktor ist auch in Bezug auf Pochhammer's q- Symbole kurz geschrieben :
nicht!q=((q;;q)nicht((1- -q)nicht{\ displaystyle n! _ {q} = {\ frac {(q; q) _ {n}} {(1-q) ^ {n}}}}.
q -binomial Koeffizienten
Aus dem q- Faktor definieren wir die q- Binomialkoeffizienten oder Gaußschen Binomialkoeffizienten , q- Analoge der Binomialkoeffizienten :
((nichtk)q=nicht!q((nicht- -k)!qk!q{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {q} = {\ frac {n! _ {q}} {(nk)! _ {q} k! _ {q}}}, auch notiert .
[nichtk]]q{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] _ {q}}Dies ermöglicht auch die Definition eines q- Analogons des Exponentials (in)
eqx=∑nicht=0∞xnicht[nicht]]q!{\ displaystyle e_ {q} ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {[n] _ {q}!}}},
dann q- Analoge trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen sowie einen q- Analog der Fourier-Transformation zu definieren .
q - nicht klassische Analoga
Anwendungen
Anmerkungen und Referenzen
(fr) Dieser Artikel stammt teilweise oder vollständig aus dem
englischen Wikipedia- Artikel
" q-analog " ( siehe Autorenliste ) .
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(in) Harold Exton, q-hypergeometrische Funktionen und Anwendungen , E. Horwood, 1983 ( ISBN 978-0-85312491-7 ) .
-
(in) FH Jackson, "Wir q-Funktionen und haben einen Unterschiedsoperator", Trans. Roy. Soc. Edin. , Flug. 46, 1908, p. 253-281.
-
(en) Thomas Ernst , „ Eine Methode für den Q-Kalkül “ , JNMP , vol. 10, n o 4,2003, p. 487-525 ( online lesen ).
-
(en) Victor Kac und Pokman Cheung, Quantenrechnung , Springer,2002( online lesen ) , Kapitel 1
-
(in) George Pólya und Gábor Szegő , Probleme und Theoreme in der Analyse , vol. Ich, Springer ,1997( 1 st ed. 1972) ( Leseleitung ) , p. 11. Am Ende dieser Seite 11 steht geschrieben: „ Vgl. CF Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, Vol. 2, insbesondere p. 16–17 . ""
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Vgl. Zum Beispiel (in) Eric W. Weisstein , " q- Binomialkoeffizient " , auf MathWorld oder (in) "Umbralrechnung" , in Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , online lesen ).
Siehe auch
In Verbindung stehender Artikel
q- abgeleitet (in)
Externe Links
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