In der Freizeitmathematik ist eine Harshad-Zahl , eine Niven-Zahl oder eine multinumerische Zahl eine ganze Zahl , die durch die Summe ihrer Ziffern in einer bestimmten Basis teilbar ist . Der Name Harshad wurde ihnen vom Mathematiker Dattatreya Ramachandra Kaprekar gegeben und bedeutet auf Sanskrit große Freude . Der Name „de Niven“ ist eine Hommage an den Mathematiker Ivan Niven, der 1977 einen Artikel veröffentlichte und eine Konferenz zur Zahlentheorie zu diesem Thema vorstellte . In Basis b sind alle Zahlen von 0 bis b und alle Potenzen von b Harshad Zahlen.
In Basis zehn sind die ersten zwanzig Harshad-Zahlen, die streng größer als 10 sind (Fortsetzung A005349 des OEIS ):
12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42 , 45 , 48 , 50 , 54 , 60 , 63 , 70 , 72 , 80 und 81 .Die erhaltenen Quotienten finden Sie in Suite A113315 des OEIS.
Wenn man den Test auf Teilbarkeit durch Nummer 9 macht , könnte man versucht sein zu verallgemeinern, dass alle durch 9 teilbaren Zahlen auch Harshad-Zahlen sind. Um jedoch festzustellen, ob n Harshad ist, können die Ziffern von n nur einmal addiert werden, und n muss durch diese Summe teilbar sein. Andernfalls handelt es sich nicht um eine Harshad-Nummer. Zum Beispiel ist 99 keine Harshad-Zahl, da 9 + 9 = 18 und 99 nicht durch 18 teilbar ist.
Keine Primzahl p, die streng größer als 10 ist, ist Harshad. Tatsächlich ist die Summe der Ziffern streng zwischen 1 und p so nicht teilen kann p .
In der Basis zehn sind die Fakultäten von ganzen Zahlen kleiner oder gleich 431 Harshad-Zahlen. Die Nummer 432! ist die erste Fakultät, die keine Harshad-Zahl ist. Hier noch ein paar mehr: 444 !, 453 !, 458 !, 474 !, 476 !, 485 !, 489 !.
Cooper und Kennedy haben gezeigt, dass es in Basis zehn 20 aufeinanderfolgende ganze Zahlen gibt (mehr als 10 44 363 342 786 ), die alle Harshad-Zahlen sind, aber keine 21.
Wenn wir mit N ( x ) die Anzahl der Harshad-Zahlen kleiner oder gleich x bezeichnen , dann
Eine Harshad-Zahl in Basis b wird oft als b- Harshad- Zahl bezeichnet ( Grundman- Notation 1994 ).
In Basis b wie in Basis zehn haben wir:
Eine ganze Zahl, die eine Harshad-Zahl in einer beliebigen Basis ist, wird als vollständig Harshad (oder vollständig Niven) bezeichnet. Es gibt nur vier vollständig Harshad-Zahlen, 1 , 2 , 4 und 6 .
(en) Eric W. Weisstein , „ Harshad-Nummer “ , auf MathWorld
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