Lokalisierung (Mathematik)

In der Algebra ist die Lokalisierung eine der Grundoperationen der kommutativen Algebra . Es ist eine Methode, die aus einem kommutativen Ring einen neuen Ring baut . Die Konstruktion des Feldes der Brüche ist ein Sonderfall der Lokalisierung.

Intuitives Konzept

Die Lokalisierung besteht darin , die Elemente eines Teils ("multiplikativer Teil") des Rings invertierbar zu machen . Das bekannteste Beispiel ist das Feld der Brüche eines Integralrings, das konstruiert wird, indem alle Nicht-Null-Elemente des Rings invertierbar gemacht werden. Wir können Lokalisierung auch als eine Möglichkeit sehen, den Ring in einen "größeren" Ring zu senden, in dem Teilungen durch Elemente erlaubt wurden, die zuvor nicht invertierbar waren. Zum Beispiel ist die Lokalisierung von en der Ring , in dem jede Ganzzahl, die kein Vielfaches von ist, eine Inverse hat. Dieser Ring entspricht einer diskreten Bewertungsringstruktur , da er darüber hinaus prinzipiell ist . $\ mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus 7 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {5}}, {\ frac {1} {11}}, {\ frac {1} {13}} ... \ right]}$ $7$

Definition

Sei A ein kommutativer (einheitlicher) Ring. Wir versuchen, die Elemente eines Teils S von A invertierbar zu machen . Wenn a und b in S invertierbar werden, ist es dasselbe für ihr Produkt, dessen Inverse dann a -1 b -1 ist . Wir arbeiten daher mit einem multiplikativen Teil , dh einer durch Multiplikation stabilen Menge , die keine Null enthält und 1 enthält. $S \ Teilmenge A.$

Die Lage des Ringes A in Teil S ist , dann werden die Daten aus einem Ring, bezeichnet mit S -1 A und eines morphism wie: ${\ displaystyle l_ {S} \,: \, A \ rightarrow S ^ {- 1} A}$

{\ displaystyle l_ {S} (S) \ subset (S ^ {- 1} A) ^ {*} \ quad \ quad (l_ {S} (s) {\ text {ist für alles invertierbar}} s \ in S),}

und die die folgende universelle Eigenschaft erfüllen : für jeden Ringmorphismus , wenn $f: A \ rightarrow B.$

{\ displaystyle f (S) \ Teilmenge B ^ {*} \ quad \ quad (f (s) {\ text {ist für alle invertierbar}} s \ in S),}

dann gibt es einen einzigartigen Morphismus, so dass . ${\ displaystyle g \,: \, S ^ {- 1} A \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle f = g \ circ l_ {S}}$

Der Ring S -1 A wird auch als A S oder A [ S -1 ] bezeichnet und wird als Ring der mit S assoziierten Fraktionen von A oder mit Nennern in S oder als Ring der Fraktionen von A in Bezug auf S bezeichnet .

Konstruktion

Um den lokalisierten Ring zu konstruieren, wird wie bei der Konstruktion des Fraktionskörpers vorgegangen, jedoch mit einer zusätzlichen Vorsichtsmaßnahme, um die Tatsache zu berücksichtigen, dass der Ring nicht immer einstückig ist. Auf dem kartesischen Produkt ist die Äquivalenzbeziehung dann die folgende: genau dann, wenn es ein solches Element gibt , dass . Der Rest der Konstruktion ist der gleiche wie der des Fraktionskörpers . Die Verwendung des Elements ist entscheidend für die Transitivität. ${\ displaystyle A \ times S}$ ${\ displaystyle (a, s) \ sim (a ', s')}$ ${\ displaystyle t \ in S}$ ${\ displaystyle t (s'-sa ') = 0}$ $t$

Wichtige Beispiele

Die regulären Elemente (dh Nichtteiler von Null ) bilden einen bezeichneten multiplikativen Teil ; der Ring ist der Gesamtring der Brüche von ; Der Lokalisierungshomomorphismus ist in diesem Fall injektiv. ${\ displaystyle A ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle (A ^ {\ times}) ^ {- 1} A}$ $BEIM$
Das Komplement eines Primideals ist ein multiplikativer Teil und kann daher zur Lokalisierung des Rings verwendet werden. In diesem Fall stellen wir fest . Es ist ein lokaler Ring namens localized from en . Allgemeiner kann man das Komplement der Vereinigung jeder Familie von Hauptidealen von A zu einem multiplikativen Teil nehmen . Für eine endliche Familie erhalten wir dann einen semi-lokalen Ring . ${\ displaystyle A \ setminus p}$ $p$ ${\ displaystyle A_ {p} = (A \ setminus p) ^ {- 1} A}$ $BEIM$ $p$
Wenn es sich um einen Integralring handelt, ist das erste Beispiel ein Sonderfall des zweiten. In der Tat ist das Nullideal prim und sein Komplement ist . In diesem Fall ist ein Feld das Feld der Brüche von . $BEIM$ ${\ displaystyle A ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle (A ^ {\ times}) ^ {- 1} A}$ $BEIM$
Wenn Integrität ist, ist sie gleich dem Schnittpunkt in seinem Bruchteilkörper, der in seinen maximalen Idealen lokalisiert ist. $BEIM$
Wenn es sich nicht um einen Integralring handelt, kann das Komplement eines Primideals Teiler von Null enthalten. Der Lokalisierungshomomorphismus ist dann nicht injektiv. Betrachten Sie beispielsweise den Ring, der erzeugt wird, wenn es sich um ein Feld handelt. Es hat zwei maximale Ideale und . Die zwei Orte sind dann isomorph zu und die zwei kanonischen Karten sind tatsächlich die zwei Projektionen. In diesem Fall sehen wir, dass das Invertieren von Elementen die Anzahl dieser Elemente nicht erhöht, sondern im Gegenteil verringert. $BEIM$ $p$ ${\ displaystyle A \ bis A_ {p}}$ ${\ displaystyle A = K ^ {2}}$ $K.$ ${\ displaystyle M_ {1} = K \ times 0}$ ${\ displaystyle M_ {2} = 0 \ times K}$ ${\ displaystyle A_ {M_ {i}}}$ $K.$
Sei ein Element von . Die Vereinigungsmenge von {1} und positiven Potenzen ( n > 0) ist ein multiplikativer Teil von . Die Position in Bezug auf diesen multiplikativen Teil wird notiert . Beachten Sie, dass dies genau dann der Nullring ist, wenn er nicht potent ist. Wenn ganzzahlig ist, ist die Menge der Brüche, die als Quotient eines Elements von durch eine positive Potenz von ausgedrückt werden kann . $f$ $BEIM$ $S.$ $f ^ {n}$ $BEIM$ $BEIM$ $A_ {f}$ $A_ {f}$ $f$ $BEIM$ $A_ {f}$ $BEIM$ $f$

Erläuterung des Begriffs Lokalisierung

Nehmen wir den Ring der Polynome ℂ [X]. Als c wird algebraisch abgeschlossen das, prime Spektrum von c [X] identifiziert dich mit c selbst (mit einem zusätzlichen Punkt entsprechend das Null ideal). Das in dem durch X erzeugten Maximalideal (X) = Xℂ [X] lokalisierte heißt das Lokalisierte in und ist genau der Ring von Polynomen, in dem wir alle Unterteilungen mit Ausnahme derjenigen durch die verschwindenden Polynome in 0 autorisiert haben. Dies ist neu Ring ist die Menge rationaler Brüche ohne Pol bei 0 (daher holomorph in einer Nachbarschaft von 0). Es erlaubt uns, uns auf die Eigenschaften von Polynomen in der Nachbarschaft von zu konzentrieren , daher der Begriff lokalisierter Ring . ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$

Hauptspektrum einer Lokalisation

Sei ein multiplikativer Teil von . Dann kann die Menge der Hauptideale von mit dem Teil der Hauptideale von disjunkt von identifiziert werden . Genauer gesagt, sei der kanonische Morphismus. Für jeden Primideals von , ist ein Primideals von denen disjunkt ist , und diese Entsprechung ist eine Eins-zu-Eins, die reziproke Korrespondenz eine Primideals Assoziieren von dem Ideal der . Darüber hinaus induziert der kanonische Morphismus zwischen den Integralringen einen Isomorphismus zwischen ihren Bruchfeldern. $S.$ $BEIM$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $BEIM$ $S.$ ${\ displaystyle l_ {S}: A \ bis S ^ {- 1} A}$ $Q.$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle l_ {S} ^ {- 1} (Q)}$ $BEIM$ $S.$ $P.$ $BEIM$ ${\ displaystyle l_ {S} (P) S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle A / l_ {S} ^ {- 1} (Q) \ bis S ^ {- 1} A / Q}$

Beachten Sie, dass diese Entsprechung im Allgemeinen für maximale Ideale nicht existiert (betrachten Sie das Beispiel mit dem Ring der ganzen Zahlen und seinem Feld der Brüche). $BEIM$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$

Module lokalisieren

Lassen Sie und wie oben . Sei ein Modul. Dann ist das Lokalisierte ein Modul, das mit einem linearen Morphismus ausgestattet ist, so dass jeder -lineare Morphismus in einem Modul eindeutig in einen mit einem linearen Morphismus zusammengesetzten Faktor einbezogen wird . Konkret der Satz ist Modulo die Äquivalenzrelation: wenn und nur wenn es vorhanden ist in , so dass . Die kanonische Anwendung besteht aus dem Senden der Klasse von . Sein Kernel ist das Untermodul von , das durch ein Element von gelöscht wird . Diese Lokalisierung ist isomorph zum Tensorprodukt von und an . $BEIM$ $S.$ $M.$ $BEIM$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $BEIM$ ${\ displaystyle f: M \ bis S ^ {- 1} M}$ $BEIM$ ${\ displaystyle M \ to N}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $NICHT$ $f$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M \ bis N}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle M \ times S}$ ${\ displaystyle (x, s) \ sim (x ', s')}$ $t$ $S.$ ${\ displaystyle t (s'x-sx ') = 0}$ ${\ displaystyle M \ bis S ^ {- 1} M}$ $x$ $(x, 1)$ $x$ $S.$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ $M.$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $BEIM$

In der Kategorie Theorie , bezeichnete die Operation , dass ein Objekt der Klasse -Mod (Kategorie -Module ) zuordnet Thema Kategorie -Mod, ist ein Funktor genau . $S ^ {{- 1}}$ $M.$ $BEIM$ $BEIM$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$

Anmerkungen und Referenzen

N. Bourbaki , Elemente der Mathematik , Kommutative Algebra , Kapitel II.
N. Bourbaki, Algebra , Kapitel I, S. 107.
N. Bourbaki, Algebra , Kapitel I, S. 108.
M.-P. Malliavin , Kommutative Algebra, Anwendungen in der Geometrie und Zahlentheorie , p. 27-28.
N. Bourbaki, Elemente der Mathematik , AC II.3.3.
(in) Balwant Singh Grundlegende kommutative Algebra , p. 32, Vorschau auf Google Books .