Abgeleitete Gruppe

In der Mathematik , in der Algebra in einer Gruppe G , ist die abgeleitete Gruppe , notiert D ( G ) oder [ G , G ], die kleinste normale Untergruppe, für die die Quotientengruppe G / [G, G] abelsch ist . Die von G abgeleitete Gruppe ist genau dann trivial, wenn die Gruppe G abelisch ist. Der Quotient Gruppe von G durch ihre Gruppenderivat abelianization von G .

Der Abelianisierungsprozess ermöglicht es oft zu beweisen, dass zwei Gruppen nicht isomorph sind. Er beschäftigt sich auch mit Geometrie .

Schalter

Der Wechsel von zwei Elementen und ist per Definition das Element definiert durch: $g \ in G.$ ${\ displaystyle h \ in G}$ ${\ displaystyle [g, h]}$

{\ displaystyle [g, h] = ghg ​​^ {- 1} h ^ {- 1} \,}

Der Schalter misst den Schaltfehler der Elemente g und h :

{\ displaystyle gh = [g, h] hg}

und so :

{\ displaystyle [g, h] = e \ Leftrightarrow gh = hg}

Insbesondere in einer abelschen Gruppe sind alle Schalter gleich dem neutralen Element . $e$

Die Umkehrung des Schalters von g und h ist der Schalter von h und g :

{\ displaystyle [g, h] ^ {- 1} = [h, g]}

Die Menge der Kommutatoren ist durch jeden Endomorphismus von G stabil : für alle g und h in G , $\ psi$

{\ displaystyle \ psi ([g, h]) = [\ psi (g), \ psi (h)]}

Für alle g , h und k in G haben wir:

{\ displaystyle [g, hk] = [g, h] .h [g, k] h ^ {- 1}}

Abgeleitete Gruppe

Der Schaltersatz ist umgekehrt stabil, aber nicht unbedingt nach Zusammensetzung. Es ist im Allgemeinen nicht eine Untergruppe von G . Die von den Schaltern erzeugte Untergruppe wird als von G abgeleitete Gruppe bezeichnet, die mit D ( G ) oder [ G , G ] bezeichnet wird.

{\ displaystyle D (G) = [G, G] = \ langle \ {[g, h] \ mid (g, h) \ in G ^ {2} \} \ rangle.}

Insbesondere ist jedes Element von D (G) ein Endprodukt von Schaltern. Da das Bild eines Schalter von einer Gruppe von endomorphism ein Schalter ist, ist die abgeleitete Gruppe , die durch jede stabile endomorphism von G : es ist vollständig charakteristische Untergruppe von G . Insbesondere ist es eine charakteristische Untergruppe und daher normale bis G .

Beispiele:

Die von der symmetrischen Gruppe S n abgeleitete Gruppe ist die alternierende Gruppe A n .
Die aus der allgemeinen linearen Gruppe GL ( n, K ) abgeleitete Gruppe ist die spezielle lineare Gruppe SL ( n, K ), es sei denn, n = 2 und K = F 2 .
Alle SL ( n, K ) -Gruppen sind perfekt (d. H. Jede ist gleich ihrer abgeleiteten Untergruppe) mit Ausnahme von SL (2, F 2 ) und SL (2, F 3 ).

Eigenschaften

Die aus einer direkten Summe der Gruppen G i abgeleitete Gruppe ist die direkte Summe der abgeleiteten Gruppen D ( G i ).
Die Gruppe, die von einem direkten Produkt der Gruppen G i abgeleitet ist, ist im direkten Produkt der abgeleiteten Gruppen D ( G i ) die Untergruppe, die aus den Elementen g besteht, für die eine ganze Zahl n g existiert, so dass für alle i die Die Komponente g i von g ist ein Produkt von n g Schaltern.

Abelianisiert

Da [ G , G ] eine normale Untergruppe von G ist , können wir den Quotienten von G durch [ G , G ] definieren, per Definition den Abelianisierten von G :

{\ displaystyle Ab (G) = G ^ {ab} = G / [G, G]}

. Beispiele

Wenn G kommutativ ist, ist G ab gleich G / {1} und wird daher kanonisch mit G identifiziert .
Wenn G die multiplikative Gruppe von h * ist Quaternionen von Hamilton ungleich Null, dann [ G , G ] ist die Gruppe von Standard - Quaternion 1 , das eine andere als die Einheitssphäre S 3 von r 4 . Die Funktion a ↦ ║ a ║ von ℍ * in der multiplikativen Gruppe ℝ * + von streng positiven reellen Zahlen ist ein Morphismus surjektiver Gruppen mit dem Kern S 3 , und wenn wir zum Quotienten übergehen, erhalten wir einen Isomorphismus von (ℍ *). ab = ℍ * / S 3 auf ℝ * + .

Für jede Gruppe G ist ihr abelianisierter Ab ( G ) eine abelsche Gruppe.

Es ist sogar der größte abelsche Quotient von G im folgenden Sinne (was beweist, dass die in der Einleitung erwähnte "kleinste normale Untergruppe, für die die Quotientengruppe G / [G, G] abelisch ist" existiert und gleich der abgeleiteten ist oben definierte Gruppe):

Wenn H eine Untergruppe von normalem G ist , ist der Quotient G / H genau dann abelsch, wenn H die von G abgeleitete Gruppe enthält .

Tatsächlich G / H ist abelian , wenn und nur wenn für alle Elemente , g und h von G existiert x in H , so daß: gh = XHG , das heißt , wenn und nur wenn (für alle g und h ) den [ g , h ] gehört zu h .

Die vorherige Eigenschaft wird in Bezug auf Morphismen neu formuliert:

Jeder Morphismus von G zu einer abelschen Gruppe wird durch Ab ( G ) berücksichtigt .

Die Abelianisierung einer Gruppe ist ihre erste Homologiegruppe mit ganzzahligen Koeffizienten : G ab = H 1 ( G , ℤ).

Abgeleitete Suite

Die von G abgeleitete Sequenz ist die Sequenz von Untergruppen von G, die durch Induktion wie folgt definiert sind:

{\ displaystyle D ^ {0} (G) = G}

und

{\ Anzeigestil D ^ {k} (G) = D \ links [D ^ {k-1} (G) \ rechts] = [D ^ {k-1} (G), D ^ {k-1} ( G)]}

Die Untergruppen von G, die in ihrer abgeleiteten Sequenz erscheinen, sind vollständig charakteristische Untergruppen von G.
Wenn diese Sequenz stationär ist , d. H. Wenn ein natürliches n existiert, so dass die Gruppe als lösbar bezeichnet wird . $\ {e \}$ ${\ displaystyle D ^ {n} (G) = \ {e \}}$

Anmerkungen und Referenzen

Einige Werke definieren den Kommutator von g und h als ; es ist nicht die hier verabschiedete Konvention. ${\ displaystyle g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$
(in) WR Scott, Gruppentheorie , Dover ,1987( 1 st ed. 1964) ( Leseleitung ) , p. 60ausüben. 3.4.13.
Eine Demonstration finden Sie beispielsweise im Kurs zu Wikiversity .
(in) DJS Robinson (de) , Ein Kurs in Gruppentheorie , Springer , al. " GTM " ( n o 80)1996, 2 nd ed. ( DOI 10.1007 / 978-1-4419-8594-1 , online lesen ) , p. 124.

Siehe auch