In der homologischen Algebra ist die Homologie einer Gruppe eine Invariante, die an diese Gruppe gebunden ist.
Für eine Gruppe G bezeichnen wir mit ℤ [ G ] die Algebra der Gruppe G am Ring der ganzen Zahlen ℤ.
Läßt dann M eine z [ G ] - Modul ( die Beträge einen geben Abelian Gruppe M und einen morphism von G in die Gruppe der automorphisms von M und) eine Auflösung von inverser von M .
Die Homologiegruppen von G mit Koeffizienten in M sind definiert durch:
Die dualen Kohomologiegruppen von G mit Koeffizienten in M sind also definiert durch:
Das ist eine Auflösung, die auf M injiziert . Ein Standardergebnis der homologischen Algebra zeigt, dass diese Konstruktionen unabhängig von den Auflösungen sind und gewählt werden.
Nicolas Babois, Die Geburt der Gruppenkohomologie (Dissertation), Universität Nizza , 2009
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