In der Mathematik sind die Mathieu-Gruppen fünf Gruppen, die einfach und endlich sind und vom Mathematiker French Emile Mathieu entdeckt wurden . Sie werden normalerweise als Gruppen von Permutationen an n Punkten wahrgenommen (wobei n die Werte 11, 12, 22, 23 oder 24 annehmen kann) und werden als M n bezeichnet .
Mathieus Gruppen waren die ersten sporadischen Gruppen, die entdeckt wurden.
Die Gruppen M 24 und M 12 sind 5-transitiv , die Gruppen M 23 und M 11 sind 4-transitiv und M 22 ist 3-transitiv. Diese Transitivität ist für M 11 und M 12 sogar streng .
Aus der Klassifikation endlicher einfacher Gruppen folgt , dass die einzigen Gruppen von 4-transitiven Permutationen die symmetrischen und alternierenden Gruppen (Grad ≥ 4 bzw. ≥ 6) und die Mathieu-Gruppen M 24 , M 23 , M 12 und M 11 sind .
| Gruppe | Auftrag | Faktorisierte Reihenfolge |
|---|---|---|
| M 24 | 244,823,040 | 2 10 .3 3 .5.7.11.23 |
| M 23 | 10.200.960 | 2 7 .3 2 .5.7.11.23 |
| M 22 | 443.520 | 2 7 .3 2 .5.7.11 |
| M 12 | 95.040 | 2 6 .3 3 .5.11 |
| M 11 | 7 920 | 2 4 .3 2 .5.11 |
Es gibt bis auf eine Äquivalenz ein einzigartiges Steiner-System S (5,8,24). Die Gruppe M 24 ist die Gruppe von Automorphismen dieses Steiner-Systems, dh die Menge von Permutationen, die jeden Block auf einen bestimmten anderen Block anwenden. Die Untergruppen M 23 und M 22 sind als Stabilisatoren eines einzelnen Punktes bzw. zweier Punkte definiert.
In ähnlicher Weise gibt es bis auf eine Äquivalenz ein eindeutiges Steiner-System S (5, 6, 12 ), und die Gruppe M 12 ist ihre Gruppe von Automorphismen. Die Untergruppe M 11 ist der Stabilisator eines Punktes.
Eine alternative Konstruktion von S (5,6,12) ist Curtis '"Chaton".
Die Gruppe M 24 kann auch als die Gruppe von Automorphismen des binären Golay-Codes W angesehen werden , dh die Gruppe von Koordinatenpermutationen, die W auf sich selbst anwenden . Wir können es auch als Schnittpunkt von S 24 und Stab ( W ) in Aut ( V ) betrachten. Die Codewörter entsprechen natürlich den Teilmengen einer Menge von 24 Objekten. Diese Teilmengen, die Codewörtern mit 8 oder 12 Koordinaten gleich 1 entsprechen, werden als Oktaden bzw. Dodekaden bezeichnet. Oktaden sind Blöcke eines Steiner S-Systems (5,8,24).
Die einfachen Untergruppen M 23 , M 22 , M 12 und M 11 können als Untergruppen von M 24 bzw. Einzelkoordinatenstabilisatoren, einem geordneten Koordinatenpaar, einem Paar komplementärer Dodekaden und einem Dodekadenpaar mit einer einzelnen Koordinate definiert werden.
M 12 hat einen Index 2 in seiner Gruppe von Automorphismen. Als eine Untergruppe von M 24 , M 12 wirkt auf dem zweiten dodecad als ein Bild von außen automorphism seiner Wirkung auf dem ersten dodecad. M 11 ist eine Untergruppe von M 23, jedoch nicht von M 22 . Diese Darstellung von M 11 hat Umlaufbahnen von 11 und 12. Die Automorphismusgruppe von M 12 ist eine maximale Untergruppe von M 24 mit dem Index 1288.
Es gibt eine sehr natürliche Verbindung zwischen Mathieus Gruppen und den größeren Conway-Gruppen, da sich der Golay-Binärcode und das Blutegelgitter beide in 24-dimensionalen Räumen befinden. Conways Gruppen befinden sich wiederum in der Monstergruppe . Robert Griess bezeichnet die 20 sporadischen Gruppen im Monster als glückliche Familie und Mathieus Gruppen als erste Generation .
Die M 23 -Gruppe kann als Automorphismusgruppe des abgeschnittenen Witt- Graphen angesehen werden , eines 15- regulären Graphen mit 506 Eckpunkten und 3.795 Kanten.
“ Moggie ” ( Archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Was ist zu tun? ) (Zugriff am 29. August 2017 ) Java-Applet zum Studium von Curtis 'GOM-Konstrukt.