Newtons Binomialformel

Die Formel des Binomialsatzes ist eine mathematisch von Isaac Newton gegebene Formel , um die Entwicklung einer ganzen Potenz eines Paares zu finden . Sie wird auch Binomialformel oder Newtonsche Formel genannt .

Zustände

Wenn $x$ und $y$ zwei Elemente eines Rings sind (z. B. zwei reelle oder komplexe Zahlen , zwei Polynome , zwei gleich große quadratische Matrizen usw.), die kommutieren (d. $h. mit xy = yx$ - zum Beispiel für Matrizen: $y$ = die Identitätsmatrix ) dann für jede natürliche Zahl $n$ ,

{\ displaystyle (x + y) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ select k} x ^ {k} y ^ {nk} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ k wählen} x ^ {nk} y ^ {k}}

wo die Zahlen ${n \ wähle k} = {\ frac {n!} {k! \, (nk)!}}$ (manchmal auch notiert $C k n$ ) sind die Binomialkoeffizienten , „! »Bezeichnet die Fakultät und $x 0$ das Einheitselement des Rings .

Durch das Ersetzen in der Formel $y$ durch $- y$ , so erhalten wir: ${\ displaystyle (xy) ^ {n} = \ left (x + (-y) \ right) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ select k} x ^ {nk } (-y) ^ {k}}$ .

Beispiele:

{\ begin {array} {lclcl} n = 2, & (x + y) ^ {2} & = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}, & (xy) ^ {2} & = x ^ {2} -2xy + y ^ {2}, \\ n = 3, & (x + y) ^ {3} & = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} + y ^ {3}, & (xy) ^ {3} & = x ^ {3} -3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} -y ^ {3}, \\ n = 4, & (x + y) ^ {4} & = x ^ {4} + 4x ^ {3} y + 6x ^ {2} y ^ {2} + 4xy ^ {3} + y ^ {4}, && \\ n = 7, & (x + y) ^ {7} & = x ^ {7} + 7x ^ {6} y + 21x ^ {5} y ^ {2} + 35x ^ {4} y ^ {3} + 35x ^ {3} y ^ {4} + 21x ^ {2} y ^ {5} + 7xy ^ {6} + y ^ {7}. && \ end {array}}

Demonstrationen

Wir können die Formel der Aussage durch Induktion beweisen .

Ein intuitiverer Beweis verwendet die Tatsache, dass der Binomialkoeffizient die Anzahl der $k-$ elementigen Teile in einer $n-$ elementigen Menge ist. Wenn wir den Ausdruck entwickeln ${\ displaystyle \ textstyle {n \ wähle k}}$

{\ displaystyle (x + y) ^ {n} = (x + y) (x + y) \ cdots (x + y) \ qquad (n {\ text {times}})}

wir erhalten eine Summe von Monomen der Form $x j y k$ wobei $j$ und $k$ jeweils die Anzahl der Male darstellen, die wir durch Erweiterung $x$ oder $y$ gewählt haben . Wir haben notwendigerweise $j = n - k$ , da wir jedes Mal, wenn wir nicht $y$ wählen, $x$ wählen . Da es schließlich verschiedene Möglichkeiten gibt, das $k-$ fache des Wertes $y aus$ den oben multiplizierten $n$ Ausdrücken $($ $x + y$ $) zu$ wählen , muss das Monom $x$ $n - k$ $y$ $k$ in der Entwicklung mit dem Koeffizienten auftreten . ${\ displaystyle \ textstyle {n \ wähle k}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {n \ wähle k}}$

Beweis durch Induktion

Wir versuchen durch Induktion zu überprüfen, ob die Eigenschaft wahr ist, und zwar so, dass (wo ist ein Ring) ${\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ select k} a ^ {k} b ^ {nk}}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ forall \ {a, b \} \ in \ mathbb {A} ^ {2}}$ ${\ displaystyle ab = ba}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$

Initialisierung

Ja ${\ Anzeigestil n = 0}$

${\ Anzeigestil (a + b) ^ {0} = 1}$

${\ displaystyle \ textstyle {0 \ wähle 0} a ^ {0} b ^ {0-0} = 1}$

Die Eigenschaft ist daher gut initialisiert

Vererbung

Wir gehen davon aus, dass die Eigenschaft bis zum Rang . wahr ist $nicht$

${\ displaystyle (a + b) ^ {n + 1} = (a + b). (a + b) ^ {n}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow (a + b). \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ select k} a ^ {k} b ^ {nk}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ select k} a ^ {k + 1} b ^ {nk} \ right) + \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ select k} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ right)}$

wir posieren ${\ displaystyle p = k + 1}$

${\ displaystyle \ Rightarrow \ left (\ sum _ {p = 1} ^ {n + 1} \ textstyle {n \ select p-1} a ^ {p} b ^ {n + 1-p} \ right) + \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ select k} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ right)}$

${\ displaystyle \ Rightarrow \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ textstyle {n \ wähle k-1} + \ textstyle {n \ wähle k} \ right) a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ right) + \ textstyle {n \ wähle 0} a ^ {0} b ^ {n + 1} + \ textstyle {n \ wähle n} a ^ {n + 1} b ^ {0}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} \ textstyle {n + 1 \ select k} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ right) + \ textstyle {n + 1 \ wähle 0} a ^ {0} b ^ {n + 1} + \ textstyle {n + 1 \ wähle n + 1} a ^ {n + 1} b ^ {0}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} \ textstyle {n + 1 \ select k} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ right)}$

Fazit

Mit den Bedingungen a und b ist die Eigenschaft wahr . ${\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ select k} a ^ {k} b ^ {nk}}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}}$

Verallgemeinerungen

Der Beweis durch Induktion kann modelliert werden, um die Leibniz-Formel für die $n-$ te Ableitung eines Produkts zu beweisen .

Das kombinatorische Verfahren seiner Variante ermöglicht es, die polynomielle Identität zu verallgemeinern

(X + Y) ^ {n} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ wähle k} X ^ {{nk}} Y ^ {k}

{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X + Y_ {i}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sigma _ {k} (Y_ {1}, \ ldots , Y_ {n}) X ^ {nk}}

wobei die $σ k$ die elementaren symmetrischen Polynome bezeichnen .

Es ist auch möglich, die Formel auf Summen von $m$ komplexen Termen zu einer ganzzahligen Potenz $n$ zu verallgemeinern (siehe den Artikel Newtons Multinomialformel ):

(Σich=1ichxich)nicht=Σ|k→|=nicht(nichtk→)Πich=1ichxichkich{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ right) ^ {n} = \ sum _ {\ left | {\ vec {k}} \ right | = n} {n \ select {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}} ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ right) ^ {n} = \ sum _ {\ left | {\ vec {k}} \ right | = n} {n \ select {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}}$

und auf nicht ganzzahlige Exponenten (siehe den Artikel Verallgemeinerte Binomialformel ) oder negative ganze Zahlen (siehe den Artikel Negative Binomialformel ).

Die Anwendung der Formel auf wohlgewählte Funktionsringe (oder durch Nachführen des Beweises durch Induktion) erlaubt es uns, die Finite-Differenzen-Formel höherer Ordnung sowie die Taylor-Formel mit zwei Variablen abzuleiten .

Schließlich ermöglichen die Methoden des Ombralkalküls , analoge Formeln (bei denen die Exponenten durch Indizes ersetzt werden) für bestimmte Folgen von Polynomen, wie die Bernoulli-Polynome, zu erhalten .

In der Literatur

Der Professor Moriarty , Feind des berühmten Sherlock Holmes , hatte einen Artikel über den Binomialsatz veröffentlicht.

Hinweise und Referenzen

In der Tat wurde diese Formel von dem bekannten X - ten Jahrhunderts, vor allem indischer Mathematiker ( Halayudha (in) ), arabischen und persischem ( Muhammad al-Karadschi ) und XIII - ten Jahrhundert, der chinesische Mathematiker Yang Hui ‚s unabhängig demonstriert. 1665 verallgemeinerte Newton es auf nicht-ganzzahlige Exponenten (siehe den Artikel Verallgemeinerte Binomialformel ).
Diese Bedingung ist wesentlich und zudem äquivalent zur Gültigkeit der Formel für $n = 2$ .
Die klassische Demonstration ist auf Wikiversité verfügbar ( siehe unten ), sowie eine originellere Methode in dieser Übung, die auf Wikiversity korrigiert wurde .
Newtonsches Binomial: Beweis durch Wiederholung im Video .
Newtonsches Binomial: Demonstration durch Zählen im Video .
Arthur Conan Doyle , Das letzte Problem , 1891.

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Literaturverzeichnis

(de) JL Coolidge , „ Die Geschichte des Binomialsatzes “ , Amer. Mathematik. Monatlich , Bd. 56, n O 3,1949, s. 147-157 ( JSTOR 2305028 , online lesen )