In der Mathematik ist eine binäre quadratische Form eine quadratische Form - dh ein homogenes Polynom vom Grad 2 - in zwei Variablen :
Die Eigenschaften einer solchen Form hängen in wesentlichem Maße von der Art der Koeffizienten a , b , c ab , die beispielsweise reelle oder rationale Zahlen sein können oder, was die Studie empfindlicher macht, ganze Zahlen .
Fermat erwog bereits ganzzahlige binäre quadratische Formen, insbesondere für seinen Satz von zwei Quadraten . Die Auflösung anderer diophantinischer Gleichungen wie der von Pell-Fermat ist ebenfalls Teil ihrer Theorie, deren systematische Untersuchung von Lagrange 1773 und 1775 durchgeführt und 1801 von Gauß nach Beiträgen von Legendre fortgesetzt wurde . Gauß studierte wie Lagrange die Fragen der Äquivalenz und Reduktion und führte die Zusammensetzung binärer quadratischer Formen ein. Diese Gauss Forschung sowohl stark die beeinflusste arithmetische Theorie der quadratischen Formen zusätzlich zu zwei Variablen und die Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie , wo das Studium der quadratischen Felder auf , dass verlängert wird von Nummernfeldern .
Eine binäre quadratische Form q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 gesagt ganze Zahl sein , wenn die Koeffizienten a , b und c sind im Verhältnis ganze Zahlen . Es ist dasselbe zu sagen , dass die Werte , dargestellt durch q - das heißt, die q ( x , y ) als ( x , y ) durchquert z 2 - alle ganzen Zahlen . Eine klassische Frage besteht darin, die Menge von Ganzzahlen zu beschreiben, die durch eine gegebene Form dargestellt werden, und für eine solche Ganzzahl die Anzahl ihrer Darstellungen.
Eine primitive Darstellung einer ganzen Zahl ist eine Darstellung der Form q ( x , y ) mit x und y Primzahl zwischen ihnen . Zum Beispiel werden a und c ursprünglich durch q dargestellt , und jede Darstellung einer Primzahl ist primitiv.
Die ganze Zahl D = b 2 - 4 ac wird als Diskriminante der Form bezeichnet. Es ist kongruent zu 0 oder 1 Modulo 4 .
Zwei ganzzahlige Formen sollen sein äquivalent , wenn sie in der gleichen Umlaufbahn für die natürliche Aktion von der linearen Gruppe GL (2, z) von 2 × 2 Matrizen mit ganzzahligen Koeffizienten mit Determinante gleich ± 1, das heißt , wenn man aus des anderen durch die Änderung von Variablen, die einer solchen Matrix zugeordnet sind . Die Diskriminante, die Menge der dargestellten ganzen Zahlen und die Menge der ursprünglich dargestellten ganzen Zahlen sind daher durch Äquivalenz invariant . Jede Äquivalenzklasse ist die Vereinigung von einer oder zwei geeigneten Äquivalenzklassen , die auf die gleiche Weise definiert werden, indem die Wirkung der speziellen linearen Untergruppe SL (2, ℤ) von Matrizen mit einer Determinante von +1 berücksichtigt wird .
Eine ganze Zahl A ist ursprünglich dargestellt durch q , wenn und nur wenn q äquivalent ist Ax 2 + Bxy + Cy 2 für bestimmte ganze Zahlen B und C , die dann so gewählt werden können , dass das Äquivalenz geeignet ist.
DemonstrationDie allgemeine Schreiben einer Form äquivalent zu q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 ist ein (& agr; x + & bgr; y) 2 + b (α x + β y ) (γ x + δ y ) + c (γ x + δ y ) 2 mit α, β, γ, δ ganzen Zahlen , so daß αδ - βγ = ± 1 (+1 für eine richtige Äquivalenz), und der Koeffizient der Laufzeit in x 2 ist , q (α, γ). Das Bachet-Bézout-Theorem lässt uns schließen.
Die ganze Zahl N wird daher ursprünglich nur dann durch eine Form der Diskriminante D dargestellt (wenn und), wenn D ein Modulo- 4N- Quadrat ist . Da die zweite Eigenschaft durch Teiler stabil ist (dh für jeden Teiler von N gilt, wenn sie für N gilt ), folgt daraus auch die erste.
Für jede ganze Zahl D ist die Anzahl der Klassen von D , d. H. Die Anzahl der Äquivalenzklassen der quadratischen Formen der Diskriminante D , endlich: Wir beweisen dies durch Reduktion , indem wir für jede Klasse mindestens einen Vertreter konstruieren, der als reduzierte Form bezeichnet wird und dessen Koeffizienten sind "so klein wie möglich" (im angemessenen Sinne).
Die Form wird als entartet bezeichnet, wenn D = 0 ist, definiert (positiv oder negativ, abhängig vom Vorzeichen von a und c ), wenn D <0 ist, und undefiniert, wenn D > 0 ist (dies entspricht der Klassifizierung der zugehörigen reellen Formen ). Wenn D ein perfektes Quadrat ist , wird die Form als isotrop bezeichnet und repräsentiert 0 unendlich oft. Wir schließen diesen Fall, bei dem es sich um quadratische Formen handelt, die durch zwei lineare Formen mit ganzzahligen Koeffizienten erzeugt werden, im Allgemeinen von der Untersuchung unbestimmter Formen aus.
Reduktion definierter FormenEs genügt, sich mit dem Fall positiver bestimmter Formen zu befassen.
Eine positive bestimmte Form Q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 wird als reduziert bezeichnet, wenn | b | ≤ a ≤ c und wenn zusätzlich b ≥ 0, sobald a gleich | ist b | oder c .
Beachten Sie, dass dann, Q ( x , y ) ≥ ( a - | b | + c ) min ( x 2 , y 2 ) , so dass der kleinste Wert ungleich Null durch genommen Q ist ein , und es ist nur zweimal , wenn ein < c (der nächstkleinere Wert ist dann c ), viermal, wenn c = a > b (≥ 0) und sechsmal, wenn c = a = b . Wenn außerdem a und c sowie die Diskriminante bekannt sind, ist b dem nächsten Vorzeichen bekannt.
Jede positive bestimmte Form q entspricht einer eindeutigen reduzierten Form.
Für jedes D <0 ist die Anzahl der reduzierten positiven bestimmten Formen der Diskriminante D endlich.
In der Tat, wenn | b | ≤ a ≤ c , dann | D | = 4 ac - b 2 ≥ 3 a 2, also 0 < a ≤ √ | D | / 3 . Sobald eine wurde ausgewählt, die Anzahl der möglichen Werte für B (zwischen enthalten - a und a und mit der gleichen Parität wie D ) um erhöht wird einer + 1. Schließlich c ist vollständig bestimmt durch D , ein und b .
Reduktion undefinierter anisotroper FormenSei D eine nicht quadratische positive ganze Zahl. Eine Form ax 2 + bxy + cy 2 mit der Diskriminante D wird als reduziert bezeichnet, wenn 0 < √ D - b <2 | a | < √ D + b , was der gleichen Folge von Ungleichungen entspricht, wobei a durch c ersetzt wird . Also haben wir :
Für jede positive ganze Zahl nicht quadratisch D , gibt es eine endliche Anzahl von reduzierten Formen der Diskriminante D .
Im Gegensatz zu definierten Formen haben wir keine Einzigartigkeit mehr, sondern nur noch:
Jede anisotrope unbestimmte Form entspricht mindestens einer reduzierten Form.
Der Reduktionsalgorithmus besteht darin , die Form zu ersetzen q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 (wenn es nicht bereits reduziert wird) durch A'x 2 + b'xy + c'y 2 : = q (- y , x + ty ) (daher a '= c und b' = –b + 2 ct ), wobei die ganze Zahl t bestimmt wird durch: √ D - 2 | c | < b ' < √ D (da q nicht reduziert ist, ist solches t eindeutig). Solange wir bekommen | es | <| c | und q ' nicht reduziert, fangen wir wieder an. Nach dieser Klausel endet der Algorithmus . Da a '= c ist , wird das endgültige Triplett ( A , B , C ) reduziert oder erfüllt | A | ≤ | C | und √ D - 2 | A | < B < √ D . Lassen Sie uns zeigen, dass es auch im zweiten Fall reduziert wird. Wir haben 0 < √ D - B <2 | A | daher 0 <( √ D - B ) | √ D + B | = D - B 2 = –4 AC , also –4 AC = 4 | AC | und | √ D + B | > 2 | C | ≥ 2 | A | > √ D - B also B > 0 und √ D + B > 2 | A |, das abschließt.
Wir können weiterhin zeigen , dass die reduzierten Formen jeder richtigen Äquivalenzklasse organisieren sich in einen einzigen Zyklus von „adjacent forms“, die benachbarten Form rechts von einem reduzierten Form q wobei q (- y , x + ty ), für die einzigartigen ganze Zahl t, so dass letztere reduziert wird.
Beispiel Die einzigen reduzierten quadratischen Formen der Diskriminante 20 sind mit einer Inversion nahe x und y : 2 ( x 2 + xy - y 2 ) und ( x + 2 y ) 2 - 5 y 2 .Eine der tiefgreifendsten Entdeckungen von Gauß war die Existenz eines natürlichen Zusammensetzungsgesetzes für die Menge der Klassen (richtige Äquivalenz) binärer quadratischer Formen einer gegebenen Diskriminante, was sie zu einer abelschen Gruppe macht, die schließlich als Klassengruppe der Diskriminante D bezeichnet wird . Die Klassengruppe einer basischen Diskriminante (in) D ist isomorph zu der Gruppe von Klassen im engeren Sinne (in) dem quadratischen Feld q ( √ D ) der Diskriminante D . Letzteres ist die Gruppe der idealen Klassen, wenn D negativ ist, kann aber doppelt so groß sein, wenn D positiv ist.
Eine Form q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 wird als primitiv bezeichnet, wenn die GCD ( a , b , c ) (die die GCD aller Werte ist, die sie darstellt) gleich 1 ist. C 'ist natürlich der Fall , wenn seine Diskriminante D ist ohne Quadratfaktor oder wenn q steht für eine ganze Primzahl mit D , sondern auch , wenn D ist ein fundamentales Diskriminante.
Gauss auch eine weniger feine ¨Aquivalenzrelation sucht, die partitioniert die Gruppe von Klassen in Geschlechter (en) .