Polygammafunktion

In der Mathematik ist die Polygammafunktion der Ordnung m eine spezielle Funktion , die als m + 1- te Ableitung des Logarithmus der Gammafunktion notiert oder definiert ist : ${\ displaystyle \ psi _ {m} (z)}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {(m)} (z)}$ $\ Gamma (z)$

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z) = \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ right) ^ {m + 1} \ ln \ Gamma (z ) \ qquad}

Welches ist äquivalent zu der Ableitung m e der logarithmischen Ableitung der Gammafunktion : ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ ln \ Gamma (z) = {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} \ ,}$

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z) = \ psi ^ {(m)} (z) = \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ right) ^ {m} {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} \,}

${\ displaystyle \ psi _ {0} (z) = {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} \,}$ ist die Digammafunktion . ${\ displaystyle \ psi (z)}$
${\ displaystyle \ psi _ {1} (z) = \ psi '(z) \,}$ . Die Funktion (oder ) wird manchmal als Trigamma (en) -Funktion bezeichnet . ${\ displaystyle \ psi _ {1}}$ $\ psi ^ {{(1)}}$

Definition durch ein Integral

Die Polygammafunktion kann dargestellt werden durch:

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z) = (- 1) ^ {m + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {m} e ^ {- zt}} {1-e ^ {- t}}} ~ \ mathrm {d} t.}

Dies gilt nur für $Re ( z )> 0$ und $m > 0$ . Für $m = 0$ siehe die Definition der Digammafunktion .

Darstellung in der komplexen Ebene

Die Darstellung des Logarithmus der Gammafunktion und der ersten Ordnungen der Polygammafunktion in der komplexen Ebene ist:


${\ displaystyle \ ln \ Gamma (z)}$ .	${\ displaystyle \ psi _ {0} (z)}$ .	${\ displaystyle \ psi _ {1} (z)}$ .	${\ displaystyle \ psi _ {2} (z)}$ .	${\ displaystyle \ psi _ {3} (z)}$ .	${\ displaystyle \ psi _ {4} (z)}$ .

Wiederholungsrelation

Es überprüft die Wiederholungsbeziehung

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z + 1) = \ psi _ {m} (z) + (- 1) ^ {m} \; m! \; z ^ {- (m + 1)}. \,}

Multiplikationssatz

Der Multiplikationssatz (in) gibt

{\ displaystyle k ^ {m} \ psi _ {m-1} (kz) = \ sum _ {n = 0} ^ {k-1} \ psi _ {m-1} \ left (z + {\ frac {n} {k}} \ right),}

gültig für $m > 1$ ; und für $m = 0$ lautet die Multiplikationsformel der Digammafunktion :

{\ displaystyle k (\ psi (kz) - \ ln (k)) = \ sum _ {n = 0} ^ {k-1} \ psi \ left (z + {\ frac {n} {k}} \ rechts).}

Darstellung nach Serien

Die Polygammafunktion ist in Reihe dargestellt:

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z) = (- 1) ^ {m + 1} \; m! \; \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {( z + k) ^ {m + 1}}},}

Dies gilt nur für $m > 0$ und für jedes komplexe $z,$ das nicht einer negativen ganzen Zahl entspricht. Diese Darstellung kann mit der Hurwitz-Zeta-Funktion von geschrieben werden

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z) = (- 1) ^ {m + 1} \; m! \; \ zeta (m + 1, z). \,}

Wir können daraus schließen, dass die Hurwitz-Zeta-Funktion die Polygammafunktion auf eine beliebige Ordnung verallgemeinert, die zu ℂ \ (–ℕ) gehört.

Taylor-Serie

Die Taylorreihe am Punkt $z = 1$ ist

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z + 1) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m + k + 1} (m + k)! \; \ zeta (m + k + 1) \; {\ frac {z ^ {k}} {k!}}, \,}

die konvergiert für $| z | <1$ . Hier ist $ζ$ die Riemannsche Zetafunktion .

Anmerkungen und Referenzen

Polygammafunktion bei mathworld.wolfram.com.

Verweise

(en) Milton Abramowitz und Irene Stegun , Handbuch der mathematischen Funktionen , Dover Publications, 1964 ( ISBN 978-0-486-61272-0 ) , Abschnitt 6.4

( fr ) Dieser Artikel stammt teilweise oder vollständig aus dem englischen Wikipedia- Artikel " Polygamma-Funktion " ( siehe Autorenliste ) .