Walsh-Funktion

1 ---------------- 2 --------________ 3 ----________---- 4 ----____----____ 5 --____----____-- 6 --____--__----__ 7 --__--____--__-- 8 --__--__--__--__

Tabelle der ersten acht Funktionen dieser Hilbert-Basis

Die Walsh-Funktionen , benannt nach Joseph L. Walsh , sind eine Reihe von Funktionen, die eine orthonormale Basis des Raums $L 2 ([0, 1])$ von Funktionen bilden, die im Einheitsintervall quadratisch integrierbar sind .

Diese Funktionen nehmen nur die Werte –1 und 1 in Teilintervallen an, die durch dyadische Fraktionen definiert sind . Sie sind nützlich in der Elektronik und anderen technischen Anwendungen.

Walshs orthogonale Funktionen werden verwendet, um Hadamard-Transformationen durchzuführen , die den in der Fourier-Transformation verwendeten orthogonalen Sinuskurven sehr ähnlich sind . Walsh-Funktionen haben auch Ähnlichkeiten mit Haar's Wavelet . Das Haar-System ist jedoch in bestimmten Situationen vorzuziehen, in denen eine Lokalisierung erforderlich ist (während die Walsh-Funktionen begrenzt sind) oder andere für Wavelets spezifische Eigenschaften eingehalten werden müssen.

Die Reihenfolge der Funktion ist 2 s , wobei s eine ganze Zahl ist, was bedeutet, dass es 2 s Intervalle gibt, in denen der Wert gleich –1 oder 1 ist.

Eine Liste von 2 s Walsh-Funktionen bildet eine Hadamard-Matrix . Eine Möglichkeit, Walsh-Funktionen zu definieren, besteht darin, die binäre Darstellung von ganzen Zahlen und Realzahlen zu verwenden. Für eine ganze Zahl k betrachten wir die folgende binäre Darstellung:

{\ displaystyle k = k_ {0} + 2k_ {1} + ... + 2 ^ {m} k_ {m} ~}

für eine ganze Zahl m mit dem k i gleich 0 oder 1. Wenn dann k das Gray-Code- Ergebnis von j - 1 ist, dann ist die j- te Walsh-Funktion am Punkt x mit 0 ≤ x <1:

{\ displaystyle W_ {j} (x) = (- 1) ^ {k_ {0} x_ {0} + ... + k_ {m} x_ {m}}}

wenn

{\ displaystyle ~ x = x_ {0} / 2 + x_ {1} / 2 ^ {2} + x_ {2} / 2 ^ {3} + ...}

wo die x i 0 oder 1 sind.

Walsh - Funktionen können als das interpretiert werden Zeichen von dem kompakten Gruppe Z 2 N von Sequenzen mit Werten in Z 2 . Vor diesem Hintergrund wurden mehrere Verallgemeinerungen vorgeschlagen.

Anwendungen

Anwendungen in der Mathematik finden sich dort, wo numerische Darstellungen verwendet werden, beispielsweise bei der Analyse numerischer Quasi-Monte-Carlo-Methoden .

Siehe auch

Monte-Carlo-Methode

(fr) Dieser Artikel stammt teilweise oder vollständig aus dem englischen Wikipedia- Artikel " Walsh-Funktion " ( siehe Autorenliste ) .