Haar Wavelet
Das Haar-Wavelet oder die Funktion von Rademacher ist ein Wavelet, das 1909 von Alfréd Haar erstellt wurde . Es wird als das erste bekannte Wavelet angesehen. Es ist eine stückweise konstante Funktion, die es am einfachsten zu verstehen und zu implementieren macht. Das Haar-Wavelet kann durch das sogenannte Haar-System verallgemeinert werden .
Haar Wavelet
Die Mutterfunktion der Haar-Wavelets ist eine stückweise konstante Funktion:
ψ((t)={1zum0≤t<12,- -1zum12≤t<1,0wenn nicht{\ displaystyle \ psi (t) = {\ begin {case} 1 & \ quad {\ textrm {pour}} \; \; 0 \ leq t <{\ frac {1} {2}}, \\ - 1 & \ quad {\ textrm {pour}} \; \; {\ frac {1} {2}} \ leq t <1, \\ 0 & \ quad {\ textrm {else}} \\\ end {case} }}
Die zugehörige Skalierungsfunktion ist dann eine Gate-Funktion :
f((t)={1zum0≤t<1,0wenn nicht{\ displaystyle f (t) = {\ begin {case} 1 & \ quad {\ textrm {pour}} \; \; 0 \ leq t <1, \\ 0 & \ quad {\ textrm {else}} \ \\ Ende {Fälle}}}
Das Haar-System
Das Haar-System ist eine Folge von stückweise stetigen Funktionen, die zu for gehören . Es wird aus den Anzeigefunktionen wie folgt definiert :
L.p(([0,1]]){\ displaystyle L ^ {p} ([0,1])}![{\ displaystyle L ^ {p} ([0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53d55ccc06ce5cc9ec3bede2be3e7933c206ee3)
1≤p<+∞{\ displaystyle 1 \ leq p <+ \ infty}
- h1((t)=11[0;;1]]((t){\ displaystyle h_ {1} (t) = 1 \! \! 1 _ {[0; 1]} (t)}
![{\ displaystyle h_ {1} (t) = 1 \! \! 1 _ {[0; 1]} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1280f242515792132b7bbab0f8a41104e5f8d4a)
- Für und :k≥0{\ displaystyle k \ geq 0}
1≤l≤2k{\ displaystyle 1 \ leq l \ leq 2 ^ {k}}
h2k+l((t)=11[2l- -22k+1;;2l- -12k+1]]((t)- -11[2l- -12k+1;;2l2k+1]]((t).{\ displaystyle h_ {2 ^ {k} + l} (t) = 1 \! \! 1 _ {\ left [{\ frac {2l-2} {2 ^ {k + 1}}}; {\ frac {2l-1} {2 ^ {k + 1}}} \ right]} (t) -1 \! \! 1 _ {\ left [{\ frac {2l-1} {2 ^ {k + 1} }}; {\ frac {2l} {2 ^ {k + 1}}} \ right]} (t).}![{\ displaystyle h_ {2 ^ {k} + l} (t) = 1 \! \! 1 _ {\ left [{\ frac {2l-2} {2 ^ {k + 1}}}; {\ frac {2l-1} {2 ^ {k + 1}}} \ right]} (t) -1 \! \! 1 _ {\ left [{\ frac {2l-1} {2 ^ {k + 1} }}; {\ frac {2l} {2 ^ {k + 1}}} \ right]} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891350b83b9e782cecccac5398cab62e8cfe16cf)
Hier sind die grafischen Darstellungen von h 2 und h 3 :
Eine der interessanten Eigenschaften des Haar - Systems ist , dass es sich um eine Schauder Basis von für .
L.p(([0,1]]){\ displaystyle L ^ {p} ([0,1])}1≤p<+∞{\ displaystyle 1 \ leq p <+ \ infty}
Verweise
-
(in) " Wavelets: Den Wald sehen - und die Bäume " auf www.beyonddiscovery.org (abgerufen am 22. Mai 2010 )
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