Kubische Funktion

In der Mathematik ist eine kubische Funktion eine Funktion der Form

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}

wobei $a$ nicht Null ist.

Die Gleichung $f ( x ) = 0$ ist dann eine kubische Gleichung .

Die Lösungen dieser Polynomgleichung heißen Nullen der Polynomfunktion $f$ .

Kritische Punkte

Wir betrachten hier eine kubische Funktion $f,$ definiert durch $f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d,$ deren Koeffizienten sowie die Variable $x$ reell sind.

Die kritischen Punkte von $f$ sind die Abszissen der Punkte des Graphen, an denen die Steigung der Tangente Null ist, d. H. Das $x,$ in dem die Ableitung von $f$ verschwindet:

{\ displaystyle 3ax ^ {2} + 2bx + c = 0}

Die Lösungen dieser Gleichung werden unter Verwendung der quadratischen Formel mit reduzierter Diskriminante angegeben :

{\ displaystyle x _ {\ text {Kritik}} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {\ Delta _ {0}}} {3a}}}

mit

{\ displaystyle \ Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}

Das Vorzeichen von $Δ 0$ bestimmt die Anzahl der kritischen Punkte und lokalen Extrema von $f$ :

wenn $Δ 0 > 0$ - wie im nebenstehenden Diagramm - dann hat $f$ ein lokales Maximum und ein lokales Minimum;
wenn $Δ 0 = 0 ist$ , ist der Wendepunkt (siehe unten) der einzige kritische Punkt;
wenn $Δ 0 <0 ist$ , hat $f$ keinen kritischen Punkt.

In den Fällen , in denen $Δ 0 \leq 0$ , $f$ sind monotone streng hat daher kein lokales Extremum.

Der Wert von $Δ 0$ spielt auch eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Art und der Werte der Wurzeln der kubischen Gleichung .

Wendepunkt und Symmetrie

Die Kurve einer allgemeinen kubischen Funktion,

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}

hat immer einen Wendepunkt , dh einen Punkt, an dem die Kurve die Konkavität ändert .

Da die zweite Ableitung von $f$ durch $f '' ( x ) = 6 ax + 2 b$ ausgedrückt wird , ist die Abszisse dieses Punktes

{\ displaystyle x_ {0}: = - {\ frac {b} {3a}}}

Wert, der auch bei der Lösung der kubischen Gleichung wichtig ist.

Die Ordinate ist

{\ displaystyle y_ {0}: = f (x_ {0}) =}

2 b 3 /. 27 bis 2 - - bc /. 3 a + d

Die Kurve ist um diesen Punkt symmetrisch .

Demonstration

Durch zweimaliges Integration erhalten wir dann , was eine ist ungerade Funktion von $h$ . ${\ displaystyle f '' (x_ {0} + h) = 6ah}$ ${\ displaystyle f '(x_ {0} + h) = 3ah ^ {2} + f' (x_ {0})}$ ${\ displaystyle f (x_ {0} + h) -y_ {0} = ah ^ {3} + hf '(x_ {0})}$

Anwendungen

Kubische Funktionen erscheinen in verschiedenen Kontexten.

Der Satz von Marden zeigt, dass Ausbrüche der Steiner-Inellipse eines Dreiecks mit der kubischen Funktion gefunden werden können, deren Wurzeln die Koordinaten in der komplexen Ebene drei Eckpunkte des Dreiecks sind. Die Wurzeln der ersten Ableitung dieses Würfels sind die komplexen Koordinaten dieser Brennpunkte.

Das charakteristische Polynom einer 3 × 3- Matrix hat den Grad 3.

Anmerkungen und Referenzen

(fr) Dieser Artikel stammt teilweise oder vollständig aus dem englischen Wikipedia- Artikel " Cubic function " ( siehe Autorenliste ) .

(in) Michael de Villiers, " Alle kubischen Polynome sind symmetrische Punkte " , Learning & Teaching Mathematics , vol. 1,2004, p. 12-15 ( online lesen ).

Siehe auch