Hardy Space

Der Hardy-Raum in der Bereich der Mathematik der Funktionsanalyse , sind Räume der analytischen Funktionen auf der Einheitsscheibe d die komplexe Ebene .

Der Hilbert-Fall: der Raum H 2 (?)

Definition

Sei f eine holomorphe Funktion auf ?, wir wissen, dass f eine Taylorreihenerweiterung bei 0 auf der Einheitsscheibe zulässt :

∀z∈D.f((z)=∑nicht=0+∞f^((nicht) znichtmitf^((nicht): =f((nicht)((0)nicht!.{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {D} \ qquad f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, {\ hat {f}} (n) \ z ^ { n} \ qquad {\ text {with}} \ qquad {\ hat {f}} (n): = {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}}.}

Wir sagen dann, dass f im Hardy-Raum H 2 (?) liegt, wenn die Sequenz zu ℓ 2 gehört . Mit anderen Worten, wir haben: ((f^((nicht)){\ displaystyle ({\ hat {f}} (n))}

H.2((D.)={f∈H.Öl((D.) | ∑nicht=0+∞|f^((nicht)|2<+∞}}{\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {D}) = \ left \ lbrace f \ in Hol (\ mathbb {D}) ~ \ left | ~ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} <+ \ infty \ right. \ right \ rbrace}

Wir definieren dann die Norm von f durch:

‖f‖2: =((∑nicht=0+∞|f^((nicht)|2)12.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}: = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

Beispiel

Die Funktion gehört durch Konvergenz der Reihe zu H 2 (?) ( konvergente Riemann-Reihe ). z↦Log⁡((1- -z)=- -∑nicht=1∞znichtnicht{\ displaystyle z \ mapsto \ log (1-z) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n}}}∑nicht≥11nicht2{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

Ein weiterer Ausdruck des Standards

Für f holomorph auf ? und für 0 ≤ r <1 definieren wir:

M.2((f,r): =((12π∫- -ππ|f((reicht)|2 dt)12.{\ displaystyle M_ {2} (f, r): = \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

• die Funktion r ↦ M 2 ( f , r ) nimmt über [0, 1 [zu .
• f ∈ H 2 (?) genau dann, wennund wir haben:limr→1- -M.2((f,r)<+∞{\ displaystyle \ lim _ {r \ bis 1 ^ {-}} M_ {2} (f, r) <+ \ infty}

‖f‖22=limr→1- -12π∫- -ππ|f((reicht)|2 dt=sup0≤r<112π∫- -ππ|f((reicht)|2 dt.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2} ^ {2} = \ lim _ {r \ bis 1 ^ {-}} {{\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi } ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t} = \ sup _ {0 \ leq r < 1} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t.} Demonstration

• Lassen Sie uns setzen, wo und . Wir haben :z=reicht{\ displaystyle z = r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}}r∈[0,1[{\ displaystyle r \ in [0,1 [}t∈[- -π,π]]{\ displaystyle t \ in [- \ pi, \ pi]}f((z)=∑nicht=0+∞f^((nicht)znicht deshalb f((reicht)=∑nicht=0+∞f^((nicht)rnichteichnichtt{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) z ^ {n} {\ hbox {also}} f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) r ^ {n} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}}Dann haben wir nach Parsevals Formel :M.2((f,r)2=∑nicht=0+∞|f^((nicht)|2r2nicht{\ displaystyle M_ {2} (f, r) ^ {2} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n}}Diese Formel beweist die erste Behauptung.
• Wenn f ∈ H 2 (?) ist, zeigt die vorherige Formel, dass es sich um eine zunehmende Funktion handelt, die daher begrenzt ist, und gemäß dem monotonen Konvergenzsatz ist diese Grenze gleich . Umgekehrt, wenn wir für jeden durch Wachstum von  :M.2((f,.){\ displaystyle M_ {2} (f ,.)}limr→1- -M.2((f,r){\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r)}}‖f‖2{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}}limr→1- -M.2((f,r)=M.<+∞{\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r) = M <+ \ infty}}NICHT≥0{\ displaystyle N \ geq 0}M.2((f,r){\ displaystyle M_ {2} (f, r)}∑nicht=0NICHT|f^((nicht)|2r2nicht≤∑nicht=0+∞|f^((nicht)|2r2nicht≤M.2{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ { + \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq M ^ {2}}Indem wir an die Grenze gehen, wenn wir dazu neigen , wenn wir dazu neigen , erhalten wir die zweite Behauptung.r{\ displaystyle r}1- -{\ displaystyle 1 ^ {-}}NICHT{\ displaystyle N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Einige Eigenschaften des Raumes H 2 (?)

• Der Hardy-Raum H 2 (?) ist isometrisch isomorph (als normalisierter Vektorraum ) zu ℓ 2 . Es ist also ein Hilbert-Raum .

Demonstration

Wir betrachten die Anwendung definiert durch . Dies ist durch die Definition von H 2 (?) gut definiert , es ist eindeutig linear. Durch die Einzigartigkeit der Entwicklung in ganzen Serien ist es injektiv , es bleibt zu zeigen, dass es surjektiv ist . T.::H.2((D.)→ℓ2{\ displaystyle T: H ^ {2} (\ mathbb {D}) \ rightarrow \ ell _ {2}}T.((f)=((f^((nicht)){\ displaystyle T (f) = ({\ hat {f}} (n))}

Es sei daher die gesamte Reihe f begrenzt, die durch einen Konvergenzradius größer oder gleich 1 definiert ist, insbesondere und . ist daher surjektiv. ((beimnicht)∈ℓ2{\ displaystyle (a_ {n}) \ in \ ell _ {2}}((beimnicht){\ displaystyle (a_ {n})}f((z)=∑nicht=0+∞beimnichtznicht{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} z ^ {n}}f∈H.Öl((D.){\ displaystyle f \ in Hol (\ mathbb {D})}T.((f)=((beimnicht){\ displaystyle T (f) = (a_ {n})}T.{\ displaystyle T}

• Für alle f ∈ H 2 (?) und für alle z in ? haben wir:

|f((z)|≤‖f‖21- -|z|2.{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}.} Demonstration

Wir wenden die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf die Taylorreihenexpansion von f bei 0 an. Wir haben dann für alle z in ?:

|f((z)|≤∑nicht=0+∞|f^((nicht)||z|nicht≤‖f‖2((∑nicht=0+∞|z|2nicht)12=‖f‖21- -|z|2{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert \ vert z \ vert ^ {n} \ leq \ | f \ | _ {2} \, {(\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert z \ vert ^ {2n})} ^ {\ frac {1} {2} } = {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.

Dies bedeutet, dass die lineare Karte der Bewertung f ↦ f ( z ) von H 2 (?) bis ℂ für alle z in ? stetig ist und ihre Norm kleiner ist als:

11- -|z|2.{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}.}

In der Tat können wir zeigen, dass die Norm genau gleich dieser Konstante ist.

• Die schwache Topologie der Einheitskugel von H 2 (?) stimmt mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf jedem Kompakt überein .

Die nächsten beiden Eigenschaften sind dann direkte Konsequenzen der letzteren.

• Sei ( f n ) eine Folge von Elementen von H 2 (?), die in der Norm gegen f konvergieren, dann konvergiert ( f n ) gleichmäßig auf jedem Kompakt von ? gegen f .
• Sei ( f n ) eine Folge von Elementen von H 2 (?), die in der Einheitskugel enthalten sind. Dann können wir eine Teilsequenz extrahieren, die gleichmäßig auf jedem Kompakt von ? konvergiert.

Der allgemeine Fall

Definition

Für 0 < p <+ ∞ definiert man den Hardy-Raum H p (?) als den Raum der analytischen Funktionen f auf der Einheitsscheibe, wie zum Beispiel:

sup0<r<1((∫02π|f((reicht)|p dt2π)<+∞.{\ displaystyle \ sup _ {0 <r <1} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ { p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) <+ \ infty.}

Wir definieren dann:

‖f‖p=sup0<r<1((∫02π|f((reicht)|p dt2π)1p.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sup _ {0 <r <1} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Einige Eigenschaften

• Für p ≥ 1 ist H p (?) ein Banachraum .
• Sei f ∈ H p (?) für p ≥ 1 . Also für fast alle t (im Sinne des Lebesgue-Maßes ):f∗((eicht): =limr→1- -f((reicht){\ displaystyle f ^ {*} (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}): = \ lim _ {r \ bis 1 ^ {-}} f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t})}existiert und die Karte f ↦ f * ist eine Isometrie von H p (?) im Unterraum von wo:H.∗p{\ displaystyle H _ {*} ^ {p}}L.p(([0,2π]],dt2π){\ displaystyle L ^ {p} \ left ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right)}H.∗p={f∈L.p(([0,2π]],dt2π) | ∀nicht≤- -1, f^((nicht)=0}}.{\ displaystyle H _ {*} ^ {p} = \ left \ {\ left.f \ in L ^ {p} \ left ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ~ \ right | ~ \ forall n \ leq -1, ~ {\ hat {f}} (n) = 0 \ right \}.}
• Wir haben eine andere Charakterisierung der Norm dank der Eigenschaften der subharmonischen Funktionen  : Für jedes f ∈ H p (?) haben wir:

‖f‖p=limr→1- -((∫02π|f((reicht)|pdt2π)1p.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ lim _ {r \ bis 1 ^ {-}} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e}) ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Beurling-Faktorisierung

Literaturverzeichnis

• (en) , Peter L. Duren , Theory of H p Spaces , Dover ,2000292  p. ( ISBN  978-0-486-41184-2 , online lesen )
• Nikolaï Nikolski, Elemente der fortgeschrittenen Analyse T.1 - Spaces of Hardy , Belin ,November 2012, ( ISBN  978-2701163482 )

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