Kompaktes Stapeln

Der kompakte Stapel ist die Art und Weise, Kugeln im Raum anzuordnen, um die größte Dichte an Kugeln zu haben, ohne dass sie sich überlappen.

Dies ist ein Problem, das wir uns im Allgemeinen in der euklidischen Geometrie im dreidimensionalen Raum stellen, aber wir können es auch auf die euklidische Ebene (die „Kugeln“ sind dann Kreise ) in einem euklidischen Raum mit n Dimensionen ( n > 3 ) verallgemeinern. , mit Hypersphären oder in einem nichteuklidischen Raum .

Kompakte Anordnung von Kreisen in einer Ebene

In einer Ebene können maximal sechs Kreise mit dem Radius r um einen Kreis mit demselben Radius gelegt werden. Die Zentren von drei sich berührenden Kreisen definieren ein gleichseitiges Dreieck, da sie 2 r voneinander entfernt sind. Da jeder Winkel 60 ° ( π / 3 ) entspricht, können wir 6 Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt zu einem regelmäßigen Sechseck zusammenfügen .

Es ist leicht zu erkennen, dass dies die kompakteste Organisation ist, bei der Kugeln mit demselben Volumen in einem Gehäuse geeigneter Größe aufbewahrt werden.

Die Oberflächendichte dieser Anordnung beträgt:

Demonstration

Betrachten Sie vier Kreise in Kontakt zwei mal zwei. Die Zentren dieser Kreise bilden eine Raute mit Seite 2 r . Es ist somit möglich, die Ebene in eine Tessellation von Diamanten zu schneiden, die ein Netzwerk definieren.

Jede Raute umfasst zwei Teile einer Winkelscheibe in der Mitte 2π / 3 und zwei Teile einer Winkelscheibe in der Mitte π / 3 . Die Summe dieser vier Winkel in der Mitte ist somit gleich 2 & pgr;, so dass die Summe der Flächen der vier Scheibenabschnitte gleich der Fläche einer vollständigen Scheibe ist, d . H. π r 2 .

Die Raute selbst hat Fläche . Die Scheiben nehmen daher einen Flächenanteil von gleich ein .

Joseph-Louis Lagrange bewies 1773, dass keine reguläre Anordnung dichter ist. Dies ist nicht der Fall, wenn die Kreise nicht gleich groß sind (siehe Anordnung der Zitrusscheiben).

Kompakter Kugelstapel

Betrachten Sie drei Kugeln mit demselben Durchmesser, die in einer Ebene (Ebene A) in Kontakt stehen. Wir können eine vierte Kugel mit immer gleichem Durchmesser auf die Vertiefung zwischen den ersten drei legen, wobei die Zentren der Kugeln ein regelmäßiges Tetraeder bilden .

Indem wir so Kugeln in den Vertiefungen der kompakten Ebene A positionieren, erhalten wir eine zweite kompakte Ebene (Ebene B). Wenn wir eine dritte Ebene hinzufügen, können wir die Kugeln entweder in Übereinstimmung mit denen der ersten Ebene (Ebene A) oder in einer dritten Platzierungsmöglichkeit platzieren, die eine neue kompakte Ebene definiert (Ebene C). Und so weiter: Überlagerung (regelmäßig oder nicht) der Ebenen A, B oder C (zwei aufeinanderfolgende Buchstaben müssen immer unterschiedlich sein).

Johannes Kepler vermutet 1611, dass dies die kompakteste räumliche Anordnung ist. 1831 demonstriert Carl Friedrich Gauss Keplers Vermutung, vorausgesetzt, die Anordnung ist regelmäßig (in einem Netzwerk). Der allgemeine Fall wird 1998 von Thomas Hales demonstriert (gefolgt von vierjähriger Überprüfung durch Mathematiker) und 2014 offiziell bewiesen , immer noch von Thomas Hales.

Es gibt also drei Arten von Kompaktebenen A, B und C, die durch Kombination eine unendliche Anzahl von Arten von Kompaktstapeln erzeugen können, die ein Beispiel für Polytypismus darstellen  :

Unabhängig von der Anordnung ist jede Kugel von 12 anderen Kugeln umgeben und die Volumendichte ist in allen Fällen:

Demonstration  - Die Berechnung kann auf einfache Weise auf einer flächenzentrierten kubischen Stapelungund auf einer kompakten hexagonalen Stapelung durchgeführt werden (zur Berechnung der Kompaktheit siehe externer Link). Für die anderen kompakten Stapel reicht es aus, die Struktur in Gruppen von drei Ebenen zu schneiden, um in einem der oben genannten Fälle zu enden.

Höhere Dimensionen

In euklidischen Räumen mit einer Dimension größer als 3 verallgemeinert sich das Problem der kompakten Stapelung auf Hypersphären . Die Dichten der kompaktesten regulären Anordnungen sind bis zur Dimension 8 und für die Dimension 24 bekannt (siehe Artikel „  Einsiedlerkonstante  “).

Im Jahr 2016 gab Maryna Viazovska bekannt, dass das E-Netzwerk 8  (in) den optimalen Stapel (nicht unbedingt regulär) in Größe 8 bietet, und bald darauf in Zusammenarbeit mit anderen Mathematikern ähnliche Beweise dafür, dass das Netzwerk de Leech optimal ist Dimension 24.

Asymptotisch nimmt die Dichte der kompaktesten Anordnung (regelmäßig oder nicht) in Abhängigkeit von der Dimension n exponentiell ab . Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass die dichtesten Anordnungen im Allgemeinen regelmäßig sind. Die bekannteste Anleitung ist jedoch in beiden Fällen dieselbe:

Anwendung in der Kristallographie

In der Kristallographie können sich Atome oder Ionen in kompakten Schichten organisieren. Dies ist insbesondere bei metallischen Strukturen der Fall, bei denen die Kristalle nur aus einer Art von Partikeln gebildet werden. Wenn sie durch Kugeln modelliert werden, ist der Stapel kompakt, wenn die Kugeln in Kontakt sind.

Die zwei Haupttypen von Kompaktstapeln sind:

Beispiele:

Die Volumendichte wird als Kompaktheit bezeichnet . Die Füllrate beträgt ca. 74  % (26% Vakuum).

Struktur vs. Netzwerk

In der kompakten kubischen Struktur werden die Atome in Entsprechung des Knoten befindet die kubisch-flächenzentrierten Gitter und aus diesem Grunde die kompakte kubische Struktur wird oft auch eine kubisch-flächenzentrierten Struktur bezeichnet.

Andererseits befinden sich in der kompakten hexagonalen Struktur die Atome nicht an den Knoten des Netzwerks, sondern an den Positionen ⅓, ⅔, ¼ und ⅔, ⅓, ¾, die in der Raumgruppe äquivalent sind ( P 6 3 / mmc , n ° 194). Das Netzwerk der kompakten hexagonalen Struktur ist ein primitives hexagonales Netzwerk.

Verweise

  1. Conway und Sloane 1999 , Kap. 1, p. 8.
  2. (in) Frank Morgan, "  Sphere Packing in Größe 8  " , auf The Huffington Post ,21. März 2016(abgerufen am 10. April 2016 )
  3. (de) Andreas Loos, "  Mathematik: So stapeln Mathematiker Melonen  " , Die Zeit ,21. März 2016( ISSN  0044-2070 , online gelesen , abgerufen am 10. April 2016 )
  4. (en-US) Lisa Grossman , „  Neuer mathematischer Beweis zeigt, wie man Orangen in 24 Dimensionen stapelt  “ , über New Scientist ,28. März 2016(abgerufen am 10. April 2016 )
  5. (in) Erica Klarreich , "  Kugelpackung in höheren Dimensionen gelöst  " , Quanta Magazine ,30. März 2016( online lesen , konsultiert am 23. März 2021 )
  6. Conway und Sloane 1999 , Kap. 1, p. 20.

Siehe auch

Literaturverzeichnis

Zum Thema passende Artikel

Externe Links