Kosinus

Die Cosinusfunktion ist eine mathematische Funktion Paar von Winkel . In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Kosinus eines Winkels das Verhältnis der Länge der angrenzenden Seite zur Länge der Hypotenuse .

Der Kosinus wird normalerweise an zweiter Stelle der trigonometrischen Funktionen genannt .

Trigonometrische Funktionen werden normalerweise als das Verhältnis zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks definiert und können äquivalent als die Länge verschiedener Segmente auf dem Einheitskreis definiert werden . Modernere Definitionen charakterisieren sie als ganze Reihen oder als Lösungen bestimmter Differentialgleichungen , was ihre Erweiterung auf beliebige Werte und komplexe Zahlen ermöglicht .

Die Cosinus - Funktion wird häufig verwendet , um zu modellieren , die periodischen Phänomene wie Schallwellen oder Licht oder Temperaturänderungen im Laufe des Jahres.

Definitionen

In einem rechtwinkligen Dreieck

Um den Kosinus eines Winkels, bezeichnet als cos, zu definieren, betrachten Sie ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck, das den Winkel enthält.

Die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks heißen:

die Hypotenuse : sie ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite, ein Schenkel des Winkels Â und die längste Seite des Dreiecks;
die gegenüberliegende Seite : es ist die Seite gegenüber dem Winkel, die uns interessiert;
die angrenzende Seite : Es ist die Seite, die ein Schenkel des Winkels ist, der nicht die Hypotenuse ist.

Wir werden feststellen:

h : die Länge der Hypotenuse; a : die Länge der angrenzenden Seite.

So :

{\ displaystyle \ cos ({\ widehat {A}}) = {\ frac {c {\ hat {o}} t {\ akute {e}} \; benachbart} {hypot {\ akute {e}} nuss} } = {\ frac {a} {h}}}

Dieses Verhältnis hängt nicht von dem ausgewählten rechtwinkligen Dreieck ab, solange es den Winkel enthält, da alle diese rechtwinkligen Dreiecke ähnlich sind.

Aus dem Einheitskreis

In der Trigonometrie ist der Einheitskreis der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung (0, 0) eines kartesischen Koordinatensystems zentriert.

Betrachten Sie den Schnittpunkt zwischen einer durch den Ursprung verlaufenden Linie, die einen Winkel mit der positiven Hälfte der x- Achse bildet , und dem Einheitskreis. Dann ist die horizontale Komponente dieses Schnittpunkts gleich . $\Omega$ ${\ displaystyle \ cos (\ omega)}$

Aus der ganzen Serie

Die Kosinusfunktion lässt sich aus der ganzen Reihe definieren , die für alle reellen x konvergiert :

{\ displaystyle \ cos x = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n}}

Mit anderen Worten, der Kosinus von x ist definiert als der Realteil der Exponentialreihe von i x :

{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {\ Operatorname {e} ^ {\ Mathrm {i} x} + \ Operatorname {e} ^ {- \ Mathrm {i} x}} {2}}}

Diese Definition, verbunden mit der analogen zum Sinus (als Imaginärteil ), entspricht der Eulerschen Formel .

Als Lösung einer Differentialgleichung

Die vorherige ganze Reihe ist die einzigartige Lösung von Cauchys Problem :

{\ displaystyle y '' = - y, \, y (0) = 1, y '(0) = 0}

was daher eine äquivalente Definition der Kosinusfunktion darstellt.

Eigenschaften

Periodizität

Die Kosinusfunktion ist periodisch mit einer Periode von $2π$ .

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ cos (x + 2 \ pi) = \ cos x}

Diese Eigenschaft folgt natürlich aus der Definition aus dem Einheitskreis ( siehe oben ).

Genauer gesagt haben zwei reelle Zahlen genau dann denselben Kosinus, wenn ihre Summe oder ihre Differenz zu gehört . ${\ displaystyle 2 \ pi \ mathbb {Z}}$

Parität

Die Kosinusfunktion ist Paar :

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ cos (-x) = \ cos x}

Diese Eigenschaft zeigt sich deutlich in der gesamten Serienentwicklung.

Gegenseitig

Die Kosinusfunktion ist periodisch, also nicht injektiv . Außerdem betrachten wir die Beschränkung auf [0, π], die selbst bijektiv von [0, π] im Bild [-1, 1] ist, und definieren dann die Kehrwertfunktion Kosinus:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathrm {arccos}: & [- 1,1] & \ to & [0, \ pi] \\ & x & \ mapto & \ arccos x \ end {matrix}}}

wer prüft also

{\ displaystyle \ forall x \ in [0, \ pi] \ quad \ arccos (\ cos x) = x}

;

{\ displaystyle \ forall x \ in [-1,1] \ quad \ cos (\ arccos x) = x}

Derivat

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist das Gegenteil der Sinusfunktion:

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ cos' x = - \ sin x}

Primitive

Ein Primitiv von cos ist die Sünde, die geschrieben steht:

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ sin 'x = \ cos x}

Grenzen

Für jedes reelle x ist die Kosinusfunktion am Punkt x stetig , daher ist ihr Grenzwert an diesem Punkt cos ( x ).

Aufgrund seiner Periodizität hat es keine Grenze in ± .

Bemerkenswerte Werte

Die in der folgenden Tabelle erscheinenden Werte entsprechen Winkeln, für die ein Ausdruck mit Quadratwurzeln möglich ist, und genauer gesagt, für die der Satz von Wantzel gilt; Weitere Details finden Sie im Artikel Minimales Polynom spezieller trigonometrischer Werte .

x (Winkel)			cos x
Abschlüsse	Radiant	Ränge	Genau	Dezimal
0 °	0	0 g	1	1
180 °	$\ pi$	200 g	-1	-1
15 °	$\ frac {\ pi} {12}$	16 2 ⁄ 3 g	$\ frac {\ sqrt {6} + \ sqrt {2}} {4}$	0.965925826289068
165 °	${\ frac {11 \ pi} {12}}$	183 1/3 g	${\ displaystyle - {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}}$	-0.965925826289068
30 °	$\ frac {\ pi} {6}$	33 1 ⁄ 3 g	${\ frac {\ sqrt {3}} {2}}$	0.866025403784439
150 °	$\ frac {5 \ pi} {6}$	166 2 ⁄ 3 g	$- \ frac {\ sqrt {3}} {2}$	-0.866025403784439
45 °	$\ frac {\ pi} {4}$	50 g	$\ frac {\ sqrt {2}} {2}$	0.707106781186548
135 °	$\ frac {3 \ pi} {4}$	150 g	$- \ frac {\ sqrt {2}} {2}$	-0.707106781186548
60 °	$\ frac {\ pi} {3}$	66 2 ⁄ 3 g	${\ frac {1} {2}}$	0,5
120 °	$\ frac {2 \ pi} {3}$	133 1 ⁄ 3 g	${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}$	-0.5
75 °	$\ frac {5 \ pi} {12}$	83 1 ⁄ 3 g	${\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}$	0.258819045102521
105 °	${\ frac {7 \ pi} {12}}$	116 2 ⁄ 3 g	${\ displaystyle - {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}}$	-0.258819045102521
90 °	${\ frac {\ pi} {2}}$	100 g	0	0
36 °	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {5}}}$	40 g	${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {4}}}$	0.8090169944
54 °	${\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {10}}}$	60 g	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} {4}}}$	0.5877852523
126 °	${\ displaystyle {\ frac {7 \ pi} {10}}}$	140 g		0.5877852523

Die Wurzel der Gleichung cos ( x ) = x ist ipso facto eine bemerkenswerte Zahl , die so genannte Dottie - Zahl .

Beziehung zu komplexen Zahlen

Der Kosinus wird verwendet, um den Realteil einer in Polarkoordinaten angegebenen komplexen Zahl z durch seinen Modul r und sein Argument φ zu bestimmen :

{\ displaystyle \ Re (z) = \ Re (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ varphi}) = r \ cos \ varphi}

Kosinus mit einem komplexen Argument

Die Kosinusfunktion kann den komplexen Bereich überspannen, wobei es sich um eine ganzzahlige Funktion handelt :

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ quad \ cos z = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} z ^ {2n} } {(2n)!}} = {\ Frac {\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} z} + \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} z}} {2}} = \ cos (\ Re (z)) \ cosh (\ Im (z)) - \ mathrm {i} \ sin (\ Re (z)) \ sinh (\ Im (z))}

Numerische Berechnung

Externer Link

(de) Eric W. Weisstein , „ Cosinus “ , auf MathWorld