Orthogonaler Automorphismus

In der Mathematik und genauer in der linearen Algebra ist ein orthogonaler Automorphismus eines prehilbertschen Raums $E$ ein Automorphismus $f,$ der das Punktprodukt bewahrt , d.h. welche prüft:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad \ langle f (x) \ mid f (y) \ rangle = \ langle x \ mid y \ rangle}

Gleichwertig, ein Endomorphismus $f$ von $E$ ist eine orthogonale automorphism , wenn und nur wenn $f$ ist bijektiv und gesteht zu Stellvertreter , dh wenn . $f ^ {- 1}$ ${\ displaystyle f \ circ f ^ {*} = f ^ {*} \ circ f = \ mathrm {id} _ {E}}$

Auf dem Gebiet der Komplexe wird es auch als einheitlicher Automorphismus bezeichnet .

Die orthogonale automorphisms $E$ ist isometrischer Vektor surjektive von $E$ in $E$ . In der endlichen Dimension erfolgt diese Surjektivität automatisch.

Eigenschaften

Lassen Sie $f$ ein Endomorphismus von $E$ .

Die Erhaltung des Punktprodukts beinhaltet die der Norm , d.h. für alle , . Umgekehrt stellen die Polarisationsidentitäten sicher, dass jede Vektorisometrie das Punktprodukt bewahrt. $x \ in E.$ $\ | f (x) \ | = \ | x \ |$

In der endlichen Dimension impliziert die Injektivität von $f$ seine Bijektivität; Somit ist jede Vektorisometrie eines euklidischen (bzw. hermitischen ) Raums ein orthogonaler (bzw. einheitlicher) Automorphismus.

In der endlichen Dimension ist $f$ genau dann eine Vektorisometrie, wenn die Spaltenvektoren ihrer Matrix auf einer gegebenen orthonormalen Basis einheitlich und zwei mal zwei orthogonal sind. Folglich ist ein Endomorphismus eines euklidischen (bzw. hermitischen) Raums genau dann ein orthogonaler (bzw. einheitlicher) Automorphismus, wenn seine Matrix auf einer gegebenen orthonormalen Basis orthogonal (bzw. einheitlich ) ist.

Eigenwerte einer Vektorisometrie

Wenn $f$ eine Vektorisometrie eines prehilbertschen Raums ist, haben alle seine Eigenwerte den Modul 1 (insbesondere sind seine einzig möglichen realen Eigenwerte 1 und –1).

Darstellung auf orthonormaler Basis

In Dimension 2 oder 3

In einer euklidischen Ebene gibt es zwei Arten von orthogonalen Automorphismen:

die Rotationen , die eine repräsentative Matrix der folgenden Form auf orthonormaler Basis zulassen

{\ begin {pmatrix} \ cos {\ theta} & - \ sin {\ theta} \\\ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {pmatrix}}

Wenn der Raum ausgerichtet ist, ist θ der Drehwinkel;

die Reflexionen und Symmetrien axial . In einer angepassten orthonormalen Basis werden sie durch die Matrix dargestellt

{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}

In einem dreidimensionalen euklidischen Raum finden wir die folgenden drei Typen:

die Rotationen , deren repräsentative Matrix in geeigneter orthonormaler Basis vorliegt

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos {\ theta} & - \ sin {\ theta} \\ 0 & \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {pmatrix}}}

;;

Reflexionen (orthogonale Symmetrien in Bezug auf eine Ebene)

{\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}

;;

die Rotoreflexionen , die sich aus einer Rotation zusammensetzen, die sich von der Identität und der Reflexion in Bezug auf die Ebene senkrecht zur Achse dieser Rotation unterscheidet

{\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos {\ theta} & - \ sin {\ theta} \\ 0 & \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end { pmatrix}}

Allgemeiner Fall

Allgemeiner gesagt , lassen $f$ orthogonal automorphism eines euklidischen Raum $E$ . Es gibt eine orthonormale Basis, in der die Matrix von $f$ blockdiagonal mit zwei Arten von Blöcken ist:

Blöcke der Größe 1 mit 1 oder –1 (entsprechend echten Reinräumen ).
Blöcke der Größe 2 des Formulars

{\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}

Bei dieser Zerlegung ist die Zahl von –1 genau dann gerade, wenn $f$ ein direkter orthogonaler Automorphismus (der Determinante 1) ist.

Der Nachweis dieses Zersetzungsergebnisses kann im allgemeineren Rahmen normaler Endomorphismen erfolgen .

Jeder Einheitsautomorphismus eines hermitischen Raums ist orthonormal diagonalisierbar.

Charakterisierungen eines orthogonalen Automorphismus in endlicher Dimension

Lassen Sie den euklidischen Raum (bzw. Hermitian) und . Die folgenden Sätze sind äquivalent: $E.$ ${\ displaystyle f \ in L (E)}$

$f$ ist ein orthogonaler (bzw. einheitlicher) Automorphismus von $E$ ;
${\ displaystyle ff ^ {*} = \ mathrm {id} _ {E}}$ ;;
${\ displaystyle f ^ {*} f = \ mathrm {id} _ {E}}$ ;;
$f$ ist invertierbar und ; $\ f ^ {{- 1}} = f ^ {{*}}$
$f$ transformiert mindestens eine orthonormale Basis in eine orthonormale Basis;
$f$ wandelt jede orthonormale Basis in eine orthonormale Basis um.

Hinweis

Eine Demonstration finden Sie beispielsweise in dieser Übung zu Wikiversity .

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