In der Mathematik ist eine affine Approximation eine Approximation einer Funktion in der Nähe eines Punktes unter Verwendung einer affinen Funktion . Eine affine Näherung wird hauptsächlich verwendet, um ein Problem zu vereinfachen, für das eine Näherungslösung erhalten werden kann.
Zwei klassische Wege, um eine affine Approximation einer Funktion zu erhalten, sind die Interpolation oder Expansion, die auf die Ordnung 1 beschränkt ist.
Bei einer Funktion f definiert und kontinuierlich über ein Intervall [ a , b ] und von dem wir wissen , den Wert an den Grenzen können wir die Kurve der Funktion durch die Annäherung Zeichenfolge der Gleichung
.Wenn die Funktion der Klasse C 2 angehört , wird die Differenz zwischen dem Wert der Funktion und der affinen Approximation durch Interpolation durch eine obere Schranke des Absolutwerts der zweiten Ableitung gesteuert: wenn dann für alle x ∈ [ a , b ] we haben
.Diese Formulierung sowie die Ungleichung gelten auch außerhalb des Intervalls [ a , b ] , solange auch die Zunahme der zweiten Ableitung gilt . Indem wir den Grenzwert von b nach a übergeben , erhalten wir die affine Näherung durch begrenzte Entwicklung unten.
Die affine Interpolation wird insbesondere zur Definition des Trapezverfahrens bei der numerischen Integration verwendet .
Gegeben eine differenzierbare Funktion f einer reellen Variablen und eine reelle a , die Funktion ε definiert durch
geprüft
ε heißt der Rest . Diese Formel erscheint als Sonderfall ( n = 1) der Taylor-Formel : sie ist eine begrenzte Erweiterung der Ordnung 1.
Durch Vernachlässigung dieses Restes erhält man eine affine Approximation von f . Die Funktion stellt dann eine affine Approximation von f an a dar .
Wir schreiben dann für x in einer Umgebung von a :
Der rechte Ausdruck entspricht der Gleichung y ' = f ( a ) + f' ( a ) ( x - a ) der Tangente an die für f repräsentative Kurve am Punkt ( a , f ( a ) ) und für Aus diesem Grund nennen einige diese Methode die Tangens- Approximation oder die affine Tangential-Approximation .
Es ist auch möglich, Näherungen für die Vektorfunktionen einer Vektorvariablen zu verwenden, in denen f' ( a ) durch eine Jacobi-Matrix ersetzt wird . Die Näherung entspricht der Gleichung einer geraden Tangente oder einer Tangentialebene oder einer Hyperebenentangente . Dies gilt auch für Funktionen einer komplexen Variablen .
Im allgemeineren Fall von Banach-Räumen können wir schreiben
wobei D f ( a ) das Differential von f an a ist . Hier ist die lineare Abbildung nichts anderes als D f ( a ) .
Die tangentiale affine Approximation wird insbesondere beim Newton-Verfahren verwendet, um sich den Nullstellen einer differenzierbaren Funktion anzunähern.
BeispielUm einen ungefähren Wert von 3 √ 25 zu finden , können wir wie folgt vorgehen:
Gaußsche Optik ist eine geometrische optische Technik , die das Verhalten von Lichtstrahlen in optischen Systemen durch paraxiale Näherung beschreibt , wobei die Winkel zwischen den Strahlen und der optischen Achse sehr klein sind. Dabei können die winkelabhängigen Terme, ausgedrückt durch trigonometrische Funktionen, linear angenähert werden. Auf diese Weise können korrekte Näherungen von Brennweite, Vergrößerung und Helligkeit erhalten werden.
Die Schwingungsdauer eines schweren Pendels hängt von seiner Länge, der Schwerkraft und der Schwingungsamplitude θ 0 ab , nicht aber von der Masse. Die Periode T eines einfachen Pendels wird im Idealfall in ihrer exakten Form durch eine unendliche Reihe ausgedrückt:
mit L die Länge und g die lokale Erdbeschleunigung.
Jedoch im Fall der kleinen Schwingungen, wie sin & thgr; & ap ; & thgr; , macht diese lineare Annäherung unter Berücksichtigung es möglich , zu erhalten:
und in dieser Form ist es nicht mehr von der Amplitude abhängig. Diese Eigenschaft des Isochronismus ist die Grundlage für Dauermessungen.