Konstruktive Analyse

Die konstruktive Analyse ist ein Zweig der konstruktiven Mathematik . Es kritisiert die klassische mathematische Analyse und zielt darauf ab, die Analyse auf konstruktive Prinzipien zu stützen. Es ist Teil des konstruktivistischen oder intuitionistischen Gedankenstroms , dessen Hauptmitglieder Kronecker , Brouwer oder Weyl waren .

Kritik der klassischen Analyse

Die Kritik konzentriert sich auf die Art und Weise, wie der Begriff Existenz, Disjunktion verwendet wird, und auf die Verwendung von Argumenten durch das Absurde .

Die konstruktive Analyse kann als Präzision für die klassischen Theoreme und ihre Beweise angesehen werden, indem die als konstruktiv betrachteten Aussagen von denen unterschieden werden, die dies nicht sind. Letztere erfordern klassisch gesehen, dass sie in der konstruktiven Analyse effektiver nachgewiesen oder durch eine konstruktive Aussage ersetzt werden. Diese Unterscheidung zwischen konstruktiven und nicht konstruktiven Aussagen ist nicht ohne Interesse, beispielsweise für die Möglichkeit, numerische Verfahren zur Anwendung eines Theorems zu implementieren, auch wenn die konstruktive Analyse nicht auf diesen algorithmischen Aspekt beschränkt ist.

Die Existenz in der Mathematik

Betrachten Sie eine Eigenschaft P in Abhängigkeit von einem Parameter x . Wir stellen uns die Frage, ob es x gibt, so dass P ( x ) verifiziert wird. Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten, diese Frage zu beantworten:

Das erste besteht darin, ein bestimmtes Objekt x zu definieren und dann zu überprüfen, ob P ( x ) wahr ist. Es ist eine tatsächliche Existenz;
Die zweite besteht darin, durch das Absurde zu argumentieren. Wir nehmen an, dass für alle x P ( x ) nicht verifiziert ist, und wir versuchen, daraus einen Widerspruch abzuleiten. Wenn es uns gelingt, werden wir daraus schließen, dass die Nichtexistenz von x absurd ist und daher x existiert. Bei dieser Art von Beweis wird normalerweise keine Möglichkeit gegeben, das betreffende x explizit zu definieren . Es ist eine formale Existenz.

Die klassische mathematische Analyse unterscheidet diese beiden Existenzbegriffe nicht, während die konstruktive Analyse sie unterscheidet. Der erste Begriff wird notiert:

{\ displaystyle \ existiert x \; P (x)}

während der zweite notiert ist:

{\ displaystyle \ neg (\ forall x \; \ neg P (x))}

Die beiden werden in der konstruktiven Analyse nicht als identisch angesehen. Das erste führt zum zweiten, aber das Gegenteil, das in der klassischen Analyse wahr ist, wenn man sich auf das Absurde beruft , wird nicht als konstruktiv angesehen. Um ein Bild von Hermann Weyl aufzunehmen , wissen wir im ersten Fall, dass es einen Schatz gibt, und außerdem haben wir die Karte, die den Cache angibt. Im zweiten Fall wissen wir, dass es einen Schatz gibt, aber wir haben keine Karte.

Betrachten Sie als Beispiel ein gegebenes reales x, von dem wir nicht wissen, ob es rational oder irrational ist (dies ist der Fall bei der Euler-Mascheroni-Konstante ), und dass wir beweisen wollen, dass x rational ist. Wir können die beiden folgenden Demonstrationsmethoden betrachten:

nimm an, dass x irrational ist und einen Widerspruch ergibt;
Führen Sie mit Bedacht zwei ganze Zahlen p und q ein und beweisen Sie, dass x = p / q ist .

Wir können sehen, dass die zweite Methode mehr Informationen liefert als die erste, da sie nicht nur beweist, dass x rational ist, sondern auch seine Form als Quotient aus zwei expliziten ganzen Zahlen angibt, was der erste Beweis nicht tut. Für die konstruktive Analyse sind die beiden Methoden nicht gleichwertig: Der erste Beweis beweist, dass x nicht irrational ist, der zweite, dass x rational ist. Für eine konstruktive Analyse ist es jedoch eine stärkere Eigenschaft, rational zu sein, als nicht irrational zu sein.

Der Begriff der Disjunktion und der ausgeschlossene Dritte

Wenn in der klassischen Mathematik P und Q zwei Sätze sind, können wir zeigen, dass die Disjunktion wahr ist, indem wir zeigen, dass die Konjunktion zu einem Widerspruch führt. Dieser Ansatz ermöglicht es jedoch nicht zu wissen, welche der beiden Aussagen wahr ist, und wird in der konstruktiven Analyse nicht akzeptiert. In einer konstruktiven Analyse zu beweisen bedeutet zu beweisen, dass P wahr ist oder dass Q wahr ist. $P \ lor Q.$ ${\ displaystyle \ neg P \ land \ neg Q}$ $P \ lor Q.$

Wenn P eine Eigenschaft ist, ist der Satz in der klassischen Analyse ebenfalls wahr ( ausgeschlossenes drittes Prinzip ), selbst wenn wir keine Ahnung haben, ob P wahr oder ob P falsch ist. In der konstruktiven Analyse wird dieses Prinzip nicht akzeptiert. Wenn A eine Menge ist und wenn P eine Eigenschaft ist, die von einem Parameter x von A abhängt, wird die Tatsache, dass alle Elemente von A P verifizieren oder dass eines der Elemente von A P nicht verifiziert, als Prinzip der Allwissenheit bezeichnet . Es wird in der konstruktiven Analyse nicht erkannt. Die meisten Sätze der klassischen Analyse basieren auf diesem Prinzip und gelten daher als unkonstruktiv. ${\ displaystyle P \ lor \ neg P}$

Sei eine Reihe von ganzen Zahlen. Die Tatsache , dass die Behauptung, für all n , Null oder , dass es existiert n , so dass nicht-Null ist, wird klein Prinzip der Allwissenheit bezeichnet. Es wird auch in der konstruktiven Analyse abgelehnt. Der Grund ist wie folgt. Nehmen wir zum Beispiel für n größer oder gleich 2 an, wenn 2 n in die Summe zweier Primzahlen zerlegt wird und wenn nicht. Wir haben heute keine Methode, mit der wir feststellen können, ob alle Begriffe der Sequenz null sind oder nicht. Die Antwort auf diese Frage löst die Goldbach-Vermutung . $(Jahr)$ $Jahr$ $Jahr$ ${\ displaystyle a_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1}$ $(Jahr)$

Durch das Absurde argumentieren

Klassischerweise heißt es, dass P wahr ist , wenn es zu einem Widerspruch führt. Dieser Grundsatz entspricht dem Grundsatz des ausgeschlossenen Dritten und wird auch in der konstruktiven Analyse abgelehnt. Die Tatsache, die zu einem Widerspruch führt, lässt den Schluss zu, dass dies wahr ist, aber die doppelte Negation wird als schwächer angesehen als die Bestätigung. Somit bestätigen die effektive Existenz eines Elements x erfüllt P. seine Negation ist . Die Negation der Negation besagt das, was, wie wir oben gesehen haben, eine formale, aber nicht effektive Existenz von x besagt . $\ neg P.$ $\ neg P.$ ${\ displaystyle \ neg \ neg P}$ ${\ displaystyle \ existiert x \; P (x)}$ ${\ displaystyle \ forall x \; \ neg P (x)}$ ${\ displaystyle \ neg (\ forall x \; \ neg P (x))}$

Einige Regeln

So werden in der konstruktiven Analyse die Argumentation durch das Absurde, die Beseitigung der doppelten Negation, die Verwendung des ausgeschlossenen Dritten, die Kontraposition vermieden. Dabei ähnelt der Ansatz der konstruktiven Analyse dem der intuitionistischen Logik . Diese letzte Logik lehnt jedoch die vorhergehenden Prinzipien ab, während die konstruktive Analyse es erlaubt, sie zu verwenden, sofern sie gerechtfertigt sind. Zum Beispiel wird die Argumentation des Absurden, die zum Beweis einer formalen Existenz führt, zugelassen, wenn der Bereich, für den sie gilt, eine endliche Menge ist. Das ausgeschlossene Drittel darf auch zwei ganze Zahlen oder zwei rationale Zahlen x und y vergleichen : Wir haben entweder oder weil es algorithmische Verfahren gibt, um zwei ganze Zahlen oder zwei rationale Zahlen zu vergleichen, aber die gleiche Schlussfolgerung wird für zwei reelle Zahlen nicht akzeptiert. ${\ displaystyle x> y}$ ${\ displaystyle x \ leq y}$

Es kann daher nützlich sein, einige Beispiele für nicht konstruktives und konstruktives Denken anzugeben.

Nicht konstruktives Denken

Die folgenden Argumente, die klassisch zutreffen, werden als nicht konstruktiv angesehen, da sie die Verwendung von Argumenten nach dem Absurden oder nach dem Prinzip des ausgeschlossenen Dritten erfordern . Geben wir an, dass die Definition der Negation eines Satzes P darin besteht, dass P zu einem Widerspruch führt. Die konstruktive Analyse versucht jedoch, auf die Negation zu verzichten, indem sie im Allgemeinen zwei Definitionen vorschlägt, die den beiden Affirmationen entsprechen, die klassisch Negationen voneinander wären.

Daraus folgt : Die Verbindung von A und B führt zu einem Widerspruch, lässt uns jedoch nicht wissen, welcher der beiden Sätze falsch ist. Die klassisch akzeptierte Disjunktion der beiden Negationen ist in der konstruktiven Analyse nicht so. ${\ displaystyle \ neg (A \ land B)}$ ${\ displaystyle \ neg A \ lor \ neg B}$

Von , ableiten , dass : klassisch, die Verwendung der contraposed ist eine Variante der Argumentation des Absurden. Es ist nicht konstruktiv gültig. ${\ displaystyle \ neg B \ rightarrow \ neg A}$ $A \ rightarrow B.$

${\ displaystyle A \ lor \ neg A}$ ( ausgeschlossenes drittes ): Wie gesagt, dieser klassische Satz wird nicht konstruktiv zugelassen, weil wir nicht wissen, ob A tatsächlich wahr oder ob A falsch ist.

${\ displaystyle \ neg \ neg A \ rightarrow A}$ (Eliminierung der doppelten Negation): Wir haben oben erklärt, dass die doppelte Negation als schwächer angesehen wird als die Bestätigung in der konstruktiven Analyse.

Daraus folgt : Die Tatsache, dass A B impliziert, wird nicht als konstruktiv ausreichend angesehen, um festzustellen, ob A falsch oder B wahr ist. Ein Beweis für die Implikation muss so sein, dass er einen Beweis für B liefert, wenn wir einen Beweis für A haben. Wenn wir keinen Beweis für A haben, ist es möglich, dass wir auch keinen Beweis für A haben . $A \ rightarrow B.$ ${\ displaystyle \ neg A \ lor B}$ $\ neg A.$

Von , deduce : wie wir bereits gesehen haben, unterscheidet konstruktive Analyse der beiden Begriffe der Existenz hier beteiligt. Aus dem zweiten können wir das erste ableiten, aber nicht das Gegenteil. ${\ displaystyle \ neg (\ forall x \; A (x))}$ ${\ displaystyle \ existiert x \; \ neg A (x)}$

Konstruktives Denken

Wir zeigen, dass die folgende Argumentation nicht die Argumentation des Absurden oder des ausgeschlossenen Dritten anspricht. Sie werden daher in die konstruktive Analyse aufgenommen.

${\ displaystyle \ neg A \ land \ neg B}$ klassisch, aber auch konstruktiv äquivalent zu . ${\ displaystyle \ neg (A \ lor B)}$

Daraus können wir ableiten , aber nicht umgekehrt. ${\ displaystyle \ neg A \ lor \ neg B}$ ${\ displaystyle \ neg (A \ land B)}$

${\ displaystyle \ neg (\ existiert x \; A (x))}$ klassisch, aber auch konstruktiv äquivalent zu . ${\ displaystyle \ forall x \; \ neg A (x)}$

Daraus können wir ableiten , aber nicht umgekehrt. ${\ displaystyle \ existiert x \; \ neg A (x)}$ ${\ displaystyle \ neg (\ forall x \; A (x))}$

Elemente der Analyse

Hier werden nur einige elementare Begriffe in Bezug auf Sequenzen und Funktionen vorgestellt, um zu verdeutlichen, was konstruktive Analyse ist.

Die echten

Die konstruktive Analyse stützt ihre Begriffe auf ganze Zahlen und Rationalitäten, die als elementare Objekte betrachtet werden und von Natur aus konstruktiv sind. Die Definition eines Real durch eine Cauchy-Folge von Rationalen wird nicht als konstruktiv angesehen. In der Tat liefert die Kenntnis eines bestimmten Elements der Sequenz die geringste Information über den Wert der Realität. Die folgenden Definitionen werden ersetzt:

Eine Folge von rationalen ist regelmäßig, wenn für jedes n und m streng positiv . In der konstruktiven Analyse definiert eine solche Sequenz ein reales x . $(x_ {n})$ ${\ displaystyle | x_ {n} -x_ {m} | \ leq {\ dfrac {1} {n}} + {\ dfrac {1} {m}}}$
Zwei reelle x und y sind gleich, wenn für jedes n , . Dies ist eine Äquivalenzbeziehung . Wir können auf diesen realen Operationen Operationen von Summe und Produkt, Maximum, Minimum, Absolutwert sowie Ungleichungen definieren. Etwas präziser : ${\ displaystyle | x_ {n} -y_ {n} | \ leq {\ dfrac {2} {n}}}$
Ein streng positives reelles x wird durch eine reguläre Folge und eine ganze Zahl n definiert, so dass . ${\ displaystyle x_ {n}> {\ dfrac {1} {n}}}$
Ein reales x ist positiv oder Null, wenn für jedes n , . ${\ displaystyle x_ {n} \ geq - {\ dfrac {1} {n}}}$
Ein reelles x ist Null, wenn für jedes n , . ${\ displaystyle | x_ {n} | \ leq {\ dfrac {1} {n}}}$
Ein anderes reales x als 0 wird durch eine reguläre Folge und eine ganze Zahl n definiert, so dass . ${\ displaystyle | x_ {n} |> {\ dfrac {1} {n}}}$

Es kann gezeigt werden, dass für alle n , was das Verständnis der nachfolgenden Formulierung der vorhergehenden Definitionen ermöglicht. ${\ displaystyle | x_ {n} -x | \ leq {\ dfrac {1} {n}}}$

Wir sollten vorsichtig sein , dass, um zu zeigen , dass x nicht Null ist , müssen wir explizit definieren n , dass eine solche . Es reicht konstruktiv nicht aus, nur zu zeigen, dass die Bedingung zu einem Widerspruch führt. Daher lässt sich in der konstruktiven Analyse nicht darauf schließen , dass die Daten n fehlen . Auf der anderen Seite ergibt sich das . Konkret bedeutet die Tatsache, dass dies klassisch zu einem Widerspruch führt, dass x nicht Null ist und daher beispielsweise eine Ziffer ungleich Null in seiner Dezimalerweiterung existiert, aber das erlaubt uns nicht zu sagen, welchen Rang diese Dezimalstelle hat. Wir sehen daher wieder das Auftreten einer formalen Existenz, die in der konstruktiven Analyse nicht zugelassen ist. Wenn umgekehrt x im konstruktiven Sinne ungleich Null ist, können wir den Rang einer Dezimalstelle ungleich Null bestimmen. Numerisch ist der Unterschied wesentlich, da wir im zweiten Fall die Genauigkeit kennen, mit der die Berechnungen durchgeführt werden müssen, um x von 0 zu unterscheiden , während wir sie im ersten Fall ignorieren. Die konstruktive Analyse unterscheidet daher einen starken Unterschied von einem schwachen Unterschied . ${\ displaystyle | x_ {n} |> {\ dfrac {1} {n}}}$ ${\ displaystyle \ forall n \; | x_ {n} | \ leq {\ dfrac {1} {n}}}$ ${\ displaystyle \ neg (x = 0)}$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ neg (x = 0)}$ $x = 0$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ neg (x = 0)}$

Wenn wir das wissen, können wir das auch schließen , da die Schlussfolgerung sowohl vom ersten Satz der Disjunktion als auch vom zweiten bestimmt wird. Das Gegenteil gilt jedoch nicht für die konstruktive Analyse. Wir können sehr gut haben , ohne zu sein , welche der beiden Sätze der Lage zu bestimmen oder wahr ist. ${\ displaystyle x = 0 \ lor x> 0}$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ $x = 0$ $x> 0$

Schließlich ja , aber das Gegenteil wird in der konstruktiven Analyse nicht akzeptiert. $x> 0$ ${\ displaystyle \ neg (x \ leq 0)}$

Beispiele für konstruktive Aussagen

Wenn ja , dann gibt es eine positive Vernunft, so dass . Diese Eigenschaft wird konstruktiv wie folgt dargestellt. Das reelle x ist durch eine reguläre Folge gegeben , und es existiert (explizit impliziert) eine ganze Zahl n, so dass . Lassen Sie uns nehmen für eine rationelle . Wie haben wir: $x> 0$ ${\ displaystyle a <x}$ $(x_ {n})$ ${\ displaystyle x_ {n}> {\ dfrac {1} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}} (x_ {n} - {\ dfrac {1} {n}})}$ ${\ displaystyle | x-x_ {n} | \ leq {\ dfrac {1} {n}}}$

{\ displaystyle xa \ geq x_ {n} - {\ dfrac {1} {n}} - a = {\ dfrac {1} {2}} (x_ {n} - {\ dfrac {1} {n}} )> 0}

Wenn , dann oder . Ein konstruktiver Beweis besteht darin, zunächst ein rationales a so zu bestimmen, dass . Wir bestimmen dann ein rationales u, so dass . Dazu reicht es aus, eine ganze Zahl N strikt kleiner als zu nehmen und für u den Term der regulären Sequenz zu wählen , die x definiert . Wir bestimmen auf die gleiche Weise ein rationales v, so dass . Wir haben dann . Eine der beiden Rationen u und v ist daher streng größer als und da beide explizit bekannt sind, können wir wissen, welche. Wenn du es bist , dann . Wenn es v ist , dann . ${\ displaystyle x + y> 0}$ $x> 0$ $y> 0$ ${\ displaystyle a <x + y}$ ${\ displaystyle | xu | <{\ dfrac {a} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {a} {4}}}$ $x_ {N}$ ${\ displaystyle | yv | <{\ dfrac {a} {4}}}$ ${\ displaystyle u + v \ geq x + y- | xu | - | yv |> {\ dfrac {a} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {a} {4}}}$ ${\ displaystyle x> 0}$ $y> 0$

Wenn x und y zwei gegebene Realwerte sind, wird der Satz oder wird in der konstruktiven Analyse nicht akzeptiert. Nehmen wir die n- te Dezimalstelle von x gleich 1, wenn n eine ungerade perfekte Zahl ist, andernfalls 0 und y = 0. Wir wissen nicht, wie wir das oder konstruktiv zeigen sollen . Wenn andererseits y und z mit gegeben sind , ermöglicht eine ungefähre Berechnung mit genügend Dezimalstellen, eine der beiden Aussagen oder effektiv zu bestimmen . Wir können dieses Ergebnis allgemein konstruktiv nachweisen. Es reicht aus, dies zu bemerken und das vorhergehende Ergebnis anzuwenden, um daraus oder abzuleiten . Dieses Ergebnis ist von grundlegender Bedeutung, da viele konstruktive Demonstrationen darauf basieren. ${\ displaystyle x> y}$ ${\ displaystyle x \ leq y}$ ${\ displaystyle x> y}$ ${\ displaystyle x \ leq y}$ ${\ displaystyle y <z}$ ${\ displaystyle x> y}$ ${\ displaystyle x <z}$ ${\ displaystyle 0 <zy = (zx) + (xy)}$ ${\ displaystyle zx> 0}$ ${\ displaystyle xy> 0}$

Suiten

Konstruktiv konvergiert eine Folge von reellen Zahlen gegen eine reelle Zahl l, wenn für eine ganze Zahl k eine ganze Zahl existiert, so dass wir für jede ganze Zahl n größer oder gleich haben . Die Definition von muss explizit aus k sein . Zum Beispiel konvergiert die Sequenz gegen 0. Es genügt zu nehmen . $(x_ {n})$ $N_ {k}$ $N_ {k}$ ${\ displaystyle | x_ {n} -l | \ leq {\ dfrac {1} {k}}}$ $N_ {k}$ ${\ displaystyle ({\ dfrac {1} {n}})}$ ${\ displaystyle N_ {k} = k}$

Die Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn für alle ganzen Zahlen k eine ganze Zahl existiert, so dass wir für alle ganzen Zahlen n und m größer oder gleich haben . Wir können in der konstruktiven Analyse zeigen, dass eine Reihe von Realitäten genau dann konvergiert, wenn es sich um Cauchy handelt, ein Ergebnis analog zur klassischen Analyse, jedoch mit konstruktiven Definitionen. $N_ {k}$ $N_ {k}$ ${\ displaystyle | x_ {n} -x_ {m} | \ leq {\ dfrac {1} {k}}}$

In der klassischen Analyse konvergiert jedoch eine erhöhte real ansteigende Sequenz, während dieses Ergebnis in der konstruktiven Analyse nicht akzeptiert wird. Betrachten Sie eine zunehmende Folge von ganzen Zahlen gleich 0 oder 1, von denen wir jedoch nicht wissen, ob alle Terme der Folge Null sind. Klassischerweise ist das Limit dieser Sequenz 0 oder 1, aber wir können nicht sagen, was dieses Limit explizit ist. Konstruktiv wird das Folgende nicht als begrenzt angesehen.

Die Obergrenze

Der vorige Absatz zeigt, dass der Begriff der Obergrenze auch bei der konstruktiven Analyse ein Problem darstellt. Klassischerweise lässt jede Menge von Plus-Real eine Obergrenze zu. Es ist jedoch im Allgemeinen unmöglich, einen ungefähren Wert zu haben. Das Vorhandensein einer solchen Grenze ist in diesem Fall rein formal und wird in der konstruktiven Analyse nicht zugelassen. Betrachten wir wieder eine Sequenz , wo, für alle n , ist entweder 0 oder 1. Classically, wobei die obere dieser Sequenz gebunden ist Null , wenn alle Glieder der Folge gleich Null sind, und gleich 1 ist, wenn eine von ihnen nicht nein. Die genaue Bestimmung der Obergrenze setzt das oben erwähnte Prinzip der Allwissenheit voraus. Im Allgemeinen kann man jedoch nicht bestimmen, welche der beiden Aussagen wahr ist, selbst wenn man eine Definition oder einen Algorithmus hat, der es ermöglicht, für jedes gegebene n zu bestimmen . In diesem Fall wird der klassische Analytiker sagen, dass es eine Obergrenze gibt, aber dass er sie nicht kennt. Der konstruktivistische Analytiker wird sagen, dass diese Obergrenze nicht definiert ist, und sich weigern, Argumente zu berücksichtigen, die auf ihrer Existenz beruhen. $(x_ {n})$ $x_ {n}$ $x_ {n}$

In der konstruktiven Analyse können wir zeigen, dass ein begrenzter Teil A von tatsächlich eine Obergrenze zulässt, wenn und nur wenn für ein Paar ( x , y ) von Real mit entweder y Majors A oder x es nicht majestiert. Wenn das Paar gegeben ist, müssen wir daher explizit bestimmen, welche Alternative wahr ist, und in dem Fall, in dem x A nicht überlagert, explizit ein Element a von A zeigen, so dass . Die Existenz wird durch Hervorheben einer regelmäßigen Sequenz bewiesen, die diese Obergrenze definiert. Dies ist daher numerisch durch ungefähre Werte mit beliebiger Genauigkeit bekannt. Dies ist im Übrigen der Fall . Dies ist nicht der Fall für die Sequenz, in der wenn n eine ungerade perfekte Zahl ist und andernfalls = 0. Die Situation mag sich im zweiten Fall in Zukunft ändern, abhängig von der Zunahme unseres Wissens, aber unsere gegenwärtige Unwissenheit zeigt den nicht konstruktiven Charakter des Begriffs der Obergrenze im Allgemeinen. $\ mathbb {R}$ $x <y$ ${\ displaystyle x <a}$ ${\ displaystyle (1 - {\ dfrac {1} {n}})}$ $(x_ {n})$ ${\ displaystyle x_ {n} = 1}$

Die Funktionen

In der klassischen Analyse wird gezeigt, dass eine stetige Funktion auf einem Segment gleichmäßig stetig ist . Der Beweis basiert jedoch auf nicht konstruktiven Prinzipien der formalen Existenz, wie dem Bozen-Weierstraß-Theorem . Die konstruktive Analyse kann diesen Satz nicht beweisen. Wir definieren daher die Kontinuität einer Funktion f in einem Intervall I dadurch, dass sie über das in I enthaltene Segment J gleichmäßig stetig ist . Der zentrale Begriff in der konstruktiven Analyse ist daher die einheitliche Kontinuität, die durch ein Kontinuitätsmodul gegeben ist . Für alle ganzen Zahlen k müssen wir in der Lage sein, ein Real so zu geben, dass wir für alle x und y von J so schnell wie möglich haben . $\Omega$ ${\ displaystyle \ omega (k)}$ ${\ displaystyle | f (x) -f (y) | <{\ dfrac {1} {k}}}$ ${\ displaystyle | xy | <\ omega (k)}$

Wir können in einer konstruktiven Analyse zeigen, dass eine kontinuierliche Funktion in einem Segment eine Obergrenze und eine Untergrenze zulässt, aber wir können im Allgemeinen nicht zeigen, dass diese Grenzen ein Maximum und ein Minimum sind, in dem Sinne, dass es notwendig wäre, ein x aufzuweisen in dem das Maximum oder das Minimum erreicht wird. Betrachten Sie zum Beispiel eine Eigenschaft P für ganze Zahlen, für die wir nicht wissen, ob oder im Gegenteil (im konstruktiven Sinne haben wir keinen Beweis für die erste oder die zweite Aussage). Setzen wir, ob wahr ist, ob falsch und n gerade, wenn falsch und n ungerade. Lassen Sie uns zum Schluss posieren . Wir können nicht sagen, ob a Null ist, streng positiv oder streng negativ. Wenn wir die Funktion betrachten f affin auf und auf , so dass und die klassischen Analytiker sagen , dass f gesteht ein Maximum, aber er wird nicht in der Lage zu sagen , ob dieses Maximum in 0 oder erreicht ist . Der konstruktivistische Analytiker wird sich darauf beschränken zu sagen, dass f eine Obergrenze gleich max (0, a ) zulässt , eine numerische Annäherung davon, die mit jeder Genauigkeit erreicht werden kann. ${\ displaystyle \ forall n \; P (n)}$ ${\ displaystyle \ existiert n \; \ neg P (n)}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 0}$ $P (n)$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1}$ $P (n)$ ${\ displaystyle a_ {n} = - 1}$ $P (n)$ ${\ displaystyle a = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {a_ {n}} {3 ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle [0, {\ dfrac {1} {2}}]}$ ${\ displaystyle [{\ dfrac {1} {2}}, 1]}$ ${\ displaystyle f (0) = f (1) = 0}$ ${\ displaystyle f (1/2) = a}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}}}$

Der Zwischenwertsatz

Der klassische Zwischenwertsatz wird in der konstruktiven Analyse nicht anerkannt. Ihre Demonstration basiert auf dem Begriff einer Obergrenze, deren allgemeine Existenz nicht konstruktiv ist.

Ein weiterer klassischer Beweis für diesen Satz beruht auf Dichotomie , ist aber auch nicht konstruktiv. Lassen Sie es sich im vorherigen Absatz angegeben und definieren f affin auf , und mit , , . Lassen Sie uns nach dem wirklichen c suchen, so dass . Die Dichotomiemethode berechnet und muss bestimmen, ob a Null, streng positiv oder streng negativ ist, was normalerweise nicht möglich ist. Im vorliegenden Fall kann man nicht sagen, ob c kleiner als 1/3, größer als 2/3 ist oder in der Zwischenzeit genommen werden kann . ${\ displaystyle [0, {\ dfrac {1} {3}}]}$ ${\ displaystyle [{\ dfrac {1} {3}}, {\ dfrac {2} {3}}]}$ ${\ displaystyle [{\ dfrac {2} {3}}, 1]}$ ${\ displaystyle f (0) = - 1}$ ${\ displaystyle f (1/3) = f (2/3) = a}$ $f (1) = 1$ ${\ displaystyle f (c) = 0}$ ${\ displaystyle f (1/2) = a}$ ${\ displaystyle [{\ dfrac {1} {3}}, {\ dfrac {2} {3}}]}$

Die konstruktive Analyse schlägt daher eine alternative Aussage zum Satz der Zwischenwerte vor. Lassen Sie f auf dem Segment fortfahren und so, dass . Dann gilt für alle und alle y aus gibt es x , so dass . $[0.1]$ ${\ displaystyle f (0) <f (1)}$ $\ varepsilon> 0$ ${\ displaystyle [f (0), f (1)]}$ ${\ displaystyle | f (x) -y | <\ varepsilon}$

Die effektive Existenz eines x , die durch Verstärkung der Hypothesen erhalten werden kann, beispielsweise durch Angabe, dass f streng zunimmt. Die Demonstration erfolgt dann nicht durch Dichotomie, sondern durch Trichotomie. Wir konstruieren eine Reihe verschachtelter Segmente . Ebenso ist es konstruktiv möglich zu entscheiden, ob oder ob und explizit als gleich oder gleich zu definieren . Das reelle x ist dann die Grenze der Sequenzen und . $f (x) = y$ $[a_n, b_n]$ ${\ displaystyle f (a_ {n} + {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n}} {3}}) <f (a_ {n} +2 {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n }} {3}})}$ ${\ displaystyle y> f (a_ {n} + {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n}} {3}})}$ ${\ displaystyle y <f (a_ {n} +2 {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n}} {3}})}$ $[a_ {n + 1}, b_ {n + 1}]$ ${\ displaystyle [a_ {n}, a_ {n} +2 {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n}} {3}}]}$ ${\ displaystyle [a_ {n} + {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n}} {3}}, b_ {n}]}$ $(Jahr)$ $(b_n)$

Die Prinzipien der Allwissenheit

Das Prinzip der Allwissenheit besteht darin, dass, wenn A eine Menge und P eine Eigenschaft ist, die von einem Parameter x- Element von A abhängt, alle Elemente von A P verifizieren oder eines der Elemente von A P nicht verifiziert . Es ist eine klassische Eigenschaft, die sich aus dem Prinzip des ausgeschlossenen Dritten ergibt , aber ihre Verwendung weist im Allgemeinen auf eine Aussage oder eine nicht konstruktive Demonstration hin. Ihre Verwendung ist daher in der konstruktiven Analyse nicht zulässig.

Am häufigsten wird eine nicht-konstruktiven Vorschlag nutzt das wenig Prinzip der Allwissenheit, in dem es heißt, wenn eine Folge von ganzen Zahlen ist, dann für alle n , null oder es existiert n , so dass nicht Null ist. In der konstruktiven Analyse wird dies abgelehnt, da es keinen Algorithmus gibt, mit dem entschieden werden kann, welche der beiden Eigenschaften überprüft wird. Ein Programm wie: $(Jahr)$ $Jahr$ $Jahr$

n : = 1 während a n = 0 do n : = n + 1 ende während

findet schließlich den Index n , beispielsweise wenn ein solcher Index existiert, wird aber endlos wiederholt, wenn er nicht existiert. Dieses kleine Prinzip entspricht der Aussage, dass für jedes echte x entweder x Null oder x nicht Null ist. In der konstruktiven Analyse kennen wir reelle Zahlen x, für die wir weder den Beweis haben, dass sie Null sind, noch dass sie nicht Null sind, so dass die Disjunktion nicht konstruktiv beweisbar ist. ${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$

Aus dem kleinen Prinzip der Allwissenheit können wir das folgende Prinzip ableiten, das Prinzip Markov : für alle reellen x , . Dies bedeutet auch, dass für jede Folge von ganzen Zahlen angegeben wird . Aber wir können nur auf das kleine Prinzip der Allwissenheit aus dem Markov-Prinzip zurückgreifen, indem wir die Argumentation des Absurden verwenden. In der konstruktiven Analyse wird das Markov-Prinzip daher als schwächer und weniger restriktiv angesehen als das kleine Prinzip der Allwissenheit. Darüber hinaus hat das Markov-Prinzip einen besonderen Status. Wir kennen keinen konstruktiven Beweis dafür, der dazu führen würde, dass er abgelehnt wird, aber wir kennen kein Gegenbeispiel in der konstruktiven Analyse. In den meisten logischen Systemen, einschließlich konstruktiver Systeme, besteht ein Beweis darin, zu beweisen . Sein Status als konstruktives Axiom wird daher diskutiert. ${\ displaystyle \ neg (x = 0) \ rightarrow x \ neq 0}$ $(Jahr)$ ${\ displaystyle \ neg (\ forall n \; a_ {n} = 0) \ rightarrow \ existiert n \; a_ {n} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ neg (\ forall n \; a_ {n} = 0)}$ ${\ displaystyle \ existiert n \; a_ {n} \ neq 0}$

Das Markov-Prinzip kommt auch in der folgenden Frage ins Spiel. Eine Funktion f soll schwach injektiv sein, wenn . Es soll jedoch stark injektiv sein . In der konstruktiven Analyse ist eine stark injektive Funktion schwach injektiv, aber das Gegenteil erfordert die Verwendung des Markov-Prinzips. ${\ displaystyle \ forall x \ forall y \; (f (x) = f (y) \ rightarrow x = y)}$ ${\ displaystyle \ forall x \ forall y \; (x \ neq y \ rightarrow f (x) \ neq f (y))}$

Siehe auch

Literaturverzeichnis

Die wichtigsten Fortschritte in der konstruktiven Analyse wurden von Erret Bishop erzielt:

(en) Erret Bishop, Grundlagen der Konstruktiven Mathematik , McGraw Hill (1967)
(en) Erret Bishop, Douglas Bridges, Konstruktive Analyse , Springer-Verlag (1985)
(en) Hermann Weyl, Das Kontinuum: Eine kritische Untersuchung der Grundlagen der Analyse , Thomas Jefferson University Press (1987)

Externe Links

(de) Konstruktive Mathematik auf der Website ncatlab.org

Anmerkungen und Referenzen

diesem Thema kann man Thierry Coquant, Herbrand und das Programm von Hilbert , Gazette des SMF, Nr. 118, Oktober 2008, lesen , erhältlich in der Mathematical Society of France, " Das wissenschaftliche Erbe von Jacques Herbrand " [PDF] .
Wir nennen eine schwer fassbare Eigenschaft eine Eigenschaft, deren Richtigkeit oder Falschheit wir für eine bestimmte Ganzzahl überprüfen können, von der wir jedoch nicht wissen, ob sie für alle Ganzzahlen wahr oder falsch ist. Diese Art von Eigenschaft ermöglicht es, den Unterschied zwischen klassischer Analyse und konstruktiver Analyse zu verstehen. vgl. Jean Cavaillès, Method Axiomatics and Formalism, Aufsatz über das Problem der Grundlagen der Mathematik , Hermann, 1981, S. 35 und folgende.