Zeitgleichung

Die Zeitgleichung ist ein Parameter in der Astronomie zur Berücksichtigung für die relative scheinbare Bewegung der verwendete Sun in Bezug auf die mittlere Sonne , die voneinander um plus oder minus ein Viertel einer abweichen Stunde . Von einem Jahr zum nächsten wiederholt sich die Jahresverlaufskurve dieses Parameters fast identisch. Die Kenntnis der Zeitgleichung bietet die Möglichkeit, die von einer Sonnenuhr angegebene Zeit jederzeit zu korrigieren , um die gesetzliche Zeit des gleichmäßigen Flusses zu finden. In der Vergangenheit war es möglich, den Gang einer Uhr mit einem theoretisch gleichmäßigen Fluss in Bezug auf die Anzeigen einer Sonnenuhr zu steuern , insbesondere zur Zeit des damals gesellschaftlich wichtigen echten Mittags , einer Zeit, die auf ein Zifferblatt oder ein Meridian . Diese Verschiebung hat zwei Gründe: die Tatsache, dass die Umlaufbahn der Erde eine Ellipse ist, deren Brennpunkt die Sonne ist ( Keplers erstes Gesetz ) und dass die Erde diese Umlaufbahn nicht mit konstanter Geschwindigkeit bewegt ( Keplers zweites Gesetz ) und die Ursachen die Achse der Drehung der Erde zu kippen , in der Umlaufbahn.

Aufgrund der Charakteristik der Bewegung der Erde um die Sonne lässt sich die Zeitgleichung sehr genau berechnen. Detaillierte Tabellen finden Sie in den astronomischen Ephemeriden .

Definition

Die Zeitgleichung zu einem bestimmten Zeitpunkt ist per Konvention die Differenz zwischen der mittleren Sonnenzeit und der wahren Sonnenzeit .

Die mittlere Sonnenzeit basiert auf der durchschnittlichen Sonne, definiert als ein Objekt, das sich das ganze Jahr über mit konstanter Geschwindigkeit auf dem Äquator bewegt, da die Dauer des mittleren Sonnentages genau 24 Stunden beträgt.
Die Sonnenzeit oder Echtzeit ist ein Maß für die Zeit basierend auf der wahren Sonne, wie sie von einer Sonnenuhr angegeben wird. Insbesondere entspricht der Sonnenmittag dem Zeitpunkt des Tages, an dem die Sonne die Meridianhalbebene durchquert.

Ein positiver Wert der Zeitgleichung zeigt an, dass die wahre Sonne der mittleren Sonne hinterherhinkt, d. h. weiter nach Osten, und ein negativer Wert, dass sie voraus ist, d. h. weiter nach Westen. Wenn die Zeitgleichung beispielsweise + 8 Minuten beträgt, bedeutet dies, dass es 12:08 Uhr der mittleren Sonnenzeit ist, wenn die Sonnenuhr den wahren Mittag anzeigt.

Zumindest ist dies die Vorzeichenkonvention, die in Frankreich verwendet wird, wo die Zeitgleichung die Gleichung der wahren Zeit ist, dh was zur wahren Zeit addiert werden muss, um die durchschnittliche Zeit zu erhalten. In einigen Ländern, wie dem Vereinigten Königreich, den Vereinigten Staaten oder Belgien, wird die Zeitgleichung oft mit dem umgekehrten Vorzeichen definiert: Es ist die Gleichung der mittleren Zeit, d. h. der Betrag, der zur mittleren Zeit addiert werden muss die wahre Zeit. Die beiden Variablen "True-Time-Gleichung" und "Mean-Time-Gleichung" haben entgegengesetzte Werte.

Eine andere Form der Definition: Die Zeitgleichung ist zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Rektaszension der wahren Sonne und der der mittleren Sonne, also ist es die Gleichung der mittleren Rektaszension mit der hier angenommenen Vorzeichenkonvention .

Anmerkung zum Wort " Gleichung ": In der antiken Astronomie bezeichnete der Begriff "Gleichung" eine Korrektur, die einem Durchschnittswert algebraisch hinzugefügt wurde, um einen wahren Wert zu erhalten. Es ist eine solche Bedeutung, die im Ausdruck "Zeitgleichung" überlebt hat und die auch in " Gleichung des Zentrums " oder "Gleichung der Tagundnachtgleichen " zu finden ist. Es ist tatsächlich ein Parameter und keine Gleichung im üblichen Sinne (Gleichheit mit Unbekannten, wie es bei einer Polynomgleichung oder einer Differentialgleichung der Fall ist ).

Jährliche Entwicklung der Zeitgleichung

Die Variationen der Zeitgleichung über ein ganzes Jahr sind in der nebenstehenden Abbildung durch die rote Kurve dargestellt. In erster Näherung lässt sich seine Form als Ergebnis der Überlagerung zweier Sinuskurven analysieren :

in Blau auf dem Diagramm: eine Sinuskurve mit einer Periode von einem Jahr , mit einer Amplitude von 7,66 Minuten und Aufhebung, wenn die Erde die Apsiden durchquert : Perihel um den 4. Januar und Aphel um den 4. Juli . Diese Komponente spiegelt die Exzentrizität der Erdbahn wider;
Grün im Diagramm eine Sinuskurve mit einer Periode von einem halben Jahr , einer Amplitude von 9,87 Minuten und einer Aufhebung zu den Sonnenwenden und Tagundnachtgleichen . Diese Komponente resultiert aus der Schiefe der Ekliptik auf dem Äquator.

Die Zeitgleichung in Rot verschwindet viermal im Jahr, in Richtung der 15. April, das 13. JuniDer 1 st September und25. Dezember. Sein Maximum, erreicht in Richtung der11. Februar, ist gleich 14 min 15 s, und sein Minimum wird in Richtung . erreicht 3. November, ist gleich -16 min 25 s.

Analemma

Die jährliche Entwicklung der Zeitgleichung an einem bestimmten Ort kann mit Hilfe einer Kurve namens Analemma oder Kurve in 8 visualisiert werden , die wie folgt definiert ist: Jeder Punkt dieser Kurve repräsentiert einen Sonnenstand (wahr ) wenn es ist 12 Uhr für die mittlere Sonne, dh wenn diese durch die Mitte des Diagramms geht. Die Achsen sind wie folgt mit unterschiedlichen Maßstäben, um die leichte Asymmetrie der Kurve besser hervorzuheben:

die horizontale Achse repräsentiert den Azimut in Grad (180° entspricht Süden). Entlang dieser Achse wird die Zeitgleichung abgelesen, also als horizontale Abweichung von der 180°-Linie. Mit der übernommenen Vorzeichenkonvention ist sie links von der 180°-Linie positiv. Die Übereinstimmung zwischen Winkel und Zeit beträgt 360 ° = 24 h, also 1 ° = 4 Minuten;
die vertikale Achse stellt die Höhe der Sonne über dem Horizont dar, verbunden mit Variationen in ihrer Deklination;
die mittlere Sonne, mittlerer Mittag, steht in der Mitte des Diagramms (Azimut = 180 °, Höhe = 90 ° - Breitengrad des Ortes).

Im nebenstehenden Beispiel, das Greenwich in England betrifft , wird der erste Tag eines jeden Monats schwarz dargestellt und die Positionen der Sonnenwenden und Tagundnachtgleichen werden grün dargestellt. Wir lesen zum Beispiel:

das 3. November, maximaler Vorschub der wahren Sonne gegenüber der mittleren Sonne, und die negative Zeitgleichung beträgt - 16 min 23 s;
das 12. Februar, die Verzögerung ist maximal und die positive Zeitgleichung beträgt + 14 min 20 s;
zur Wintersonnenwende, in Richtung der 21. Dezember, die Höhe der Sonne ist minimal und beträgt 15,08 ° (Höhe zur Wintersonnenwende = Kolatitude des Ortes - Schiefe der Ekliptik = 38,52 ° - 23,44 °);
zur Sommersonnenwende, in Richtung der 21. Juni, die Höhe ist maximal und beträgt 61,96 ° (Höhe zur Sommersonnenwende = Kollage des Ortes + Neigung der Ekliptik = 38,52 ° + 23,44 °);
zu den Tagundnachtgleichen geht die Sonne in der Ebene des Äquators durch und hat zu dieser Zeit die gleiche Höhe wie die mittlere Sonne, die der Kolatitude des Ortes entspricht.

Einige Sonnenuhren haben ihr Analemma . Sie können sogar die Durchschnittszeit direkt angeben, entweder weil die Stundenlinien in um die Zeitgleichung korrigierte Kurven umgewandelt werden oder weil dem Gnomon eine Form gegeben wurde, die diese Korrektur berücksichtigt. In beiden Fällen müssen Sie die Jahreszeit berücksichtigen oder zwei Zifferblätter haben.

Begriffsklärung

Dieses Analemma ist nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen, historisch viel älteren Figur, mit der Sonnenuhren gezeichnet oder die Sonnenhöhe geometrisch ermittelt wurde. Sie resultiert aus der Projektion der Himmelskugel auf die Meridianebene.

Variation dieser Entwicklung im Laufe der Zeit

Die Form der „Zeitgleichung“-Kurve, also der Wert der Extrema und die Zeitpunkte, zu denen sie beobachtet werden, sowie die Zeiten, in denen die Kurve aufgehoben wird, entwickeln sich über die Jahre zumindest sehr langsam mindestens zwei Gründe:

die Erde in ihrer Bewegung um die Sonne wird von den anderen Planeten des Sonnensystems beeinflusst , was eine Variation der Exzentrizität ihrer Umlaufbahn sowie eine langsame Drehung der Linie verursacht, die das Perihel mit dem Aphel der Umlaufbahn verbindet. genannt die Linie der Apsiden;
die Erde, auf sich selbst in seiner Rotation erfährt der Einfluß des Paares (Mond, Sonne), die eine Variation seiner beinhaltet Schiefe in Neigung und Richtung; diese Phänomene sind bekannt und werden unter den Namen Nutation in Längengrad, Nutation in Schiefe und Präzession der Tagundnachtgleichen beschrieben .

Diese Entwicklungen bewirken insbesondere eine relative Verschiebung der Daten der Übergänge zu den Apsiden im Vergleich zu denen der Sonnenwenden und Tagundnachtgleichen, die durch die Konstruktion des tropischen Jahres festgelegt sind. Über einen Zeitraum von 70 Jahrhunderten, vom Jahr -2000 bis +5000, werden die Extrema durch die folgende Tabelle definiert:

Jahr	Erstes Maximum	Erstes Minimum	Zweites Maximum	Zweites Minimum
- 2000	+ 18:33, 31. Januar	- 12 Min. 45 Sek., 20. Mai	+ 2:06, 10. August	- 9 Min. 30 Sek., 26. Oktober
- 1000	+ 18 min 18 s, 3. Februar	- 10 min 14 s, 21. Mai	+ 2:06, 6. August	- 11 Min. 45 Sek., 27. Oktober
0	+ 17:27, 6. Februar	- 7 Min. 44 Sek., 20. Mai	+ 2:57, 1. August	- 13 Min. 45 Sek., 29. Oktober
+ 1000	+ 16:04, 9. Februar	- 5 Min. 27 Sek., 18. Mai	+ 4 Min. 30 Sek., 29. Juli	- 15:20, 1. November
+ 2000	+ 14 Min. 15 Sek., 11. Februar	- 3 Min. 41 Sek., 14. Mai	+ 6 Min. 30 Sek., 26. Juli	- 16 Min. 25 Sek., 3. November
+ 3000	+ 12:08, 14. Februar	- 2 Minuten 37 Sekunden, 10. Mai	+ 8:41, 25. Juli	- 16 Minuten 57 Sekunden, 6. November
+ 4000	+ 9 Min. 52 Sek., 15. Februar	- 2 min 24 s, 6. Mai	+ 10 Min. 48 Sek., 25. Juli	- 16 Min. 54 Sek., 9. November
+ 5000	+ 7 Min. 38 Sek., 15. Februar	- 3 min 00 s, 3. Mai	+ 12 Min. 38 Sek., 26. Juli	- 16 Min. 17 Sek., 12. November

Intuitive Analyse der Zeitgleichung

Die Dauer der Erdrotation um sich selbst in einem mit fernen Sternen verbundenen Bezugspunkt (Sterntag) ist praktisch konstant, ungefähr gleich 23 h 56 min; andererseits der Sonnentag, d. h. die Zeit, die zwischen dem Zeitpunkt vergeht, an dem die Sonne vor einem bestimmten Punkt auf der Erde steht (zu diesem Zeitpunkt der wahre Sonnenmittag) und dem Zeitpunkt, an dem die Sonne vorne steht von diesem Punkt am nächsten Tag sind es etwa 24 h; in der Tat, wenn die Erde in ihrer Umlaufbahn vorgerückt ist, während sie sich um sich selbst dreht, muss sie sich immer noch um ungefähr 1 ° um sich selbst drehen (was ungefähr 4 Minuten dauert), damit der betrachtete Punkt wieder der Sonne zugewandt ist. Diese zusätzliche Zeit variiert jedoch im Laufe des Jahres zwischen 3 Min. 30 Sek. und 4 Min. 30 Sek. ungefähr, was die Variationen der Länge des Sonnentages verursacht, die durch Akkumulation die Verschiebungen zwischen der wahren Sonnenzeit und der mittleren Sonnenzeit erzeugen.

Zwei Phänomene kommen zusammen, um diese Variationen zu erklären; in diesem Abschnitt werden sie der Reihe nach untersucht:

Einfluss der Elliptizität der Erdbahn .
Einfluss der Schiefe der Erde.

Einfluss der Elliptizität der Erdbahn

Wie das erste Keplersche Gesetz besagt , beschreibt die Erde eine elliptische Bahn um die Sonne, in der die Sonne einen der Brennpunkte einnimmt. Der Abstand Erde-Sonne variiert daher im Laufe des Jahres: Er ist minimal (147 100.000 km ) in Richtung der3. Januar, im Perihel, Maximum (152 100.000 km ) Anfang Juli, im Aphel, und gleich seinem Durchschnittswert Anfang April und Anfang Oktober. Diese Tatsache allein würde ausreichen, um Variationen zu erzeugen, da derselbe Bahnbogen unter einem Winkel gesehen wird, der ungefähr umgekehrt proportional zu der Entfernung ist, die ihn vom Beobachter trennt; aber es gibt auch die Tatsache, dass die Bewegungsgeschwindigkeit der Erde in ihrer Umlaufbahn variiert: Sie ist am Perihel ( 30,287 km / s ) maximal und am Aphel ( 29,291 km / s ) minimal . Das zweite Gesetz von Kepler (Flächengesetz) besagt, dass die Winkelgeschwindigkeit der Bewegung der Erde um die Sonne in der Ekliptikebene umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung Erde-Sonne ist.

Aus der Verbindung dieser beiden Phänomene ergibt sich, dass der Winkel, den die Erd-Sonne-Linien an einem Mittag (wahre Sonnenzeit) und am nächsten Tag zur gleichen Zeit bilden, im Laufe des Jahres stark variiert, da er ungefähr umgekehrt proportional zum Quadrat ist des Abstands Erde-Sonne. Von Oktober bis März ist der Winkel, den diese Linien bilden, größer als der Durchschnitt (ungefähr 3,3% Anfang Januar), was bedeuten würde (wenn die Schiefe der Erdachse die Dinge nicht verkompliziert), die die Erde nimmt , an jedem Tag dieser Periode, mehr Zeit als die durchschnittliche Zeit, um die komplementäre Rotation durchzuführen (bis zu 8 s länger), so dass die wahre Sonne, von der Erde aus gesehen, während dieses Teils (nachdem sie ihren Vorsprung verloren hat) hinterherhinkt des Jahres. Von April bis September ist die Situation umgekehrt; wir können daher sagen, dass die wahre Sonne allein durch die Elliptizität der Erdbahn ihre Verzögerung aufholt und dann die Führung übernimmt.

In erster Näherung variiert die Verzögerung aufgrund der Elliptizität sinusförmig mit einer Periode von einem Jahr, hebt sich an Perihel und Aphelie auf und ist zwischen diesen beiden Punkten extrem (blaue Kurve in der Abbildung Zeitgleichung ). Der Ausdruck dieser Verzögerung, ausgedrückt in Minuten, lautet wie folgt:

{\ displaystyle \ Delta T_ {C} (d) = 7 {,} 53 \ cos (B) +1 {,} 5 \ sin (B) = 7 {,} 678 \ sin (B + 1 {}, 374 )}

Siehe die Definition von B (d) unten.

Einfluss der Schiefe der Erde

Der Einfachheit halber wird hier angenommen, dass die Umlaufbahn der Erde kreisförmig ist. Trotzdem ist die scheinbare Bewegung der Sonne entlang des Himmelsäquators aufgrund der Neigung der Rotationsachse der Erde relativ zu ihrer Bahnebene nicht gleichmäßig.

Die nebenstehende Abbildung zeigt die drei Phasen der Rückkehr eines der Sonne zugewandten Meridians aus geozentrischer Sicht, d. h. die Erde ist in der Mitte der Figur fixiert und die Sonne umkreist die Erde:

eine vollständige Drehung (360 °) der Erde um sich selbst, um von 1 auf 2 zu gehen;
dabei ist die Sonne in ihrer Umlaufbahn um die Erde vorgerückt, und daher zeigt die Erde denselben Meridian nicht zur Sonne, sondern zu entfernten Sternen, Punkt 2;
eine komplementäre Drehung der Erde um sich selbst ist dann notwendig, damit der Meridian wieder der Sonne zugewandt ist, Punkt 3.

Die Sonne ist auf ihrer Bahn in der Ekliptikebene stetig vorgerückt , während die komplementäre Drehung der Erde um sich selbst zur Sonne in der Ebene des Himmelsäquators gemessen wird . Es ist daher notwendig, die Bewegung der Sonne in dieser Ebene des Himmelsäquators zu melden , um die Verzögerung oder das Vorrücken der Sonnenzeit im Verhältnis zu einer regulären Uhr einzuschätzen. Es ist dieser Vorgang, der als Reduktion am Äquator bezeichnet wird und erklärt, warum die scheinbare Bewegung der Sonne entlang des Himmelsäquators nicht gleichmäßig ist.

Da die Umlaufbahn als kreisförmig angenommen wird, ist der Modul des Geschwindigkeitsvektors der Sonne daher entlang ihrer Umlaufbahn konstant. Eine Komponente dieses Vektors wird von der Frühlingsachse getragen, die andere von einem zu dieser Frühlingsachse orthogonalen Vektor, der in der Ekliptikebene liegt . Die erste Komponente wird unverändert auf die Ebene des Himmelsäquators projiziert, die zweite wird mit einem Reduktionsfaktor gleich dem Kosinus der Schiefe projiziert. Intuitiv ist die Summe dieser beiden Projektionen auf der Ebene des Himmelsäquators minimal auf der Frühlingsachse und maximal auf der Quadratur dieser Achse. Die Geschwindigkeitsänderung wird daher an diesen vier Punkten null sein, und das gleiche für den Vorschub oder die Verzögerung.

In erster Näherung handelt es sich um eine Sinuskurve der Periodendauer eines halben Jahres (grüne Kurve der Abbildung Zeitgleichung, vgl. oben), die insbesondere zur Frühlings-Tagundnachtgleiche viermal im Jahr verschwindet . Der Ausdruck dieser Verzögerung aufgrund der Schiefe, ausgedrückt in Minuten, lautet wie folgt:

{\ displaystyle \ Delta T_ {R} (d) = - 9 {,} 87 \ sin (2B)}

Siehe die Definition von B (d) unten.

Eine andere intuitive Möglichkeit, den Beitrag der Schiefe zu verstehen, besteht darin, auf der Himmelssphäre einerseits die reale Sonne, die sich auf der Ebene der Ekliptik bewegt, und andererseits eine fiktive Sonne, die sich auf der Ebene bewegt, zu betrachten des Äquators, mit der gleichen Geschwindigkeit wie der erste.

Stellen wir uns vor, dass diese beiden Sonnen im Frühlingspunkt zusammenfallen und analysieren von diesem Punkt aus ihre jeweiligen Bewegungen.

Die eigentliche Sonne geht über der Äquatorebene auf. Seine Flugbahn beginnt in einem Winkel, der der Schiefe der Ekliptikebene entspricht, und krümmt sich allmählich, wobei der Winkel, der in Bezug auf die Äquatorebene gebildet wird, allmählich verringert wird. Nach einer Vierteldrehung befindet er sich für einen Moment parallel zu dieser Ebene, bevor er umkehrt und sich allmählich mehr und mehr neigt, bis er das Gegenteil des Frühlingspunkts in einem Winkel erreicht, der wieder der Schiefe der Ekliptikebene entspricht.

Wenn wir uns für den Schnittpunkt der Bahn der beiden Sonnen mit den Meridianen der Himmelssphäre interessieren, verstehen wir intuitiv, dass die reale Sonne die Meridiane nicht gleichzeitig mit der fiktiven Sonne überquert, außer an vier bestimmten Punkten. : am Frühlingspunkt (1), am gegenüberliegenden Punkt (2) und an den beiden Punkten auf halbem Weg zwischen den vorherigen (3 und 4). Tatsächlich schneidet die fiktive Sonne die Meridiane immer in einem Winkel von 90 ° und dort, wo der Abstand zwischen diesen Meridianen am größten ist; die reale Sonne hingegen schneidet die Meridiane in einem variablen Winkel von weniger als 90 ° (außer in 3 und 4) und auf einem variablen Breitengrad, wobei der Abstand zwischen den Meridianen, gemessen an der Parallele, kleiner als ist der Abstand zwischen den Meridianen auf der Äquatorebene (außer in 1 und 2).

Um den Frühlingspunkt herum ist die Neigung der Bahn der wirklichen Sonne nahe der Schiefe, und der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Meridianen ist nahe dem auf dem Äquator. Folglich ist die Strecke, die die reale Sonne zurücklegen muss, um den nächsten Meridian zu erreichen, größer als die der fiktiven Sonne, und bei gleicher Geschwindigkeit auf der Himmelskugel dauert es länger. Es bedeutet auch, dass die scheinbare Winkelgeschwindigkeit der realen Sonne, von der Erde aus gesehen, geringer ist als die der fiktiven Sonne, und dass sie sich daher an einem Tag weniger "gedreht" hat als die fiktive Sonne. Die zusätzliche Bewegung, die die Erde nach ihrer vollständigen Drehung um sich selbst machen muss, um den lokalen Erdmeridian genau vor die reale Sonne zu verschieben, wird weniger wichtig sein als diese vor der fiktiven Sonne zu verschieben und wird weniger Zeit in Anspruch nehmen. : die echte Sonne ist also "der Uhr voraus".

Im Gegenteil, um den 90 ° vom Frühlingspunkt entfernten Punkt ist die Neigung der Flugbahn nahe Null und der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Meridianen ist geringer als am Äquator - wir befinden uns auf der maximalen Breite der Himmelskugel. Folglich ist die Strecke, die die reale Sonne zurücklegen muss, um den nächsten Meridian zu erreichen, geringer als die der fiktiven Sonne, und es dauert bei gleicher Geschwindigkeit auf der Himmelskugel weniger Zeit. Es bedeutet auch, dass die scheinbare Winkelgeschwindigkeit der realen Sonne, von der Erde aus gesehen, größer ist als die der fiktiven Sonne, und dass sie sich daher an einem Tag mehr "gedreht" hat als die fiktive Sonne. Die zusätzliche Bewegung, die die Erde nach ihrer vollständigen Drehung um sich selbst machen muss, um den lokalen Erdmeridian genau vor die reale Sonne zu verschieben, wird wichtiger sein, als diese vor der fiktiven Sonne zu verschieben, und wird länger dauern : die echte Sonne steht also „hinter der Uhr“.

An einem Zwischenpunkt, an dem die Abnahme des Meridianabstands den Einfluss der Schieflage der Bahn genau ausgleicht, nimmt die reale Sonne „keine weitere Verzögerung oder Fortbewegung auf der Uhr vor“ – der Abstand zur Uhr ist dann auf ihrem maximal.

Der kumulative Vorschub der wirklichen Sonne nimmt daher jeden Tag zwischen dem Frühlingspunkt und diesem Zwischenpunkt zu und nimmt dann jeden Tag bis zum Punkt bei 90 ° vom Frühlingspunkt ab, wo dieser Vorschub aufgehoben wird.

Wenn wir die Argumentation fortsetzen, verstehen wir, dass zwischen diesem Punkt bei 90 ° vom Frühlingspunkt und dem Punkt gegenüber dem Frühlingspunkt die reale Sonne eine Verzögerung akkumuliert, die bis zu einem Zwischenpunkt zunimmt und dann bis zum Punkt gegenüber dem Frühlingspunkt abnimmt , wobei diese Verzögerung wird aufgehoben.

Die gleiche Argumentation gilt für die zweite Jahreshälfte.

Vereinfachte Version der Zeitgleichung

Die Summe der beiden vorherigen Formeln liefert eine erste Annäherung an die Zeitgleichung :

\ Delta T (d) = \ Delta T_ {C} (d) + \ Delta T_ {R} (d)

das heißt :

{\ displaystyle \ Delta T (d) = 7 {,} 678 \ sin (B + 1 {,} 374) -9,87 \ sin (2B)}

mit :, ausgedrückt im Bogenmaß, hängt von der Zahl des Jahrestages ab: $B (d) = {\ frac {2 \ pi (d-81)} {365}}$

$d = 1$ der 1 st Januar; zur Frühlings-Tagundnachtgleiche . $d = 81$

Detaillierte Studie

Einfluss der Elliptizität der Erdbahn

Berechnung der mittleren Anomalie $M (d) = 357,5291 \ ^ {\ circ} + 0,98560028 \ mal d,$

$d$ ist die Anzahl der Tage (eventuell in Bruchteilen) zwischen dem gewünschten Datum und dem 01.01.2000 um 12.00 Uhr TT : diese Zahl kann mit der Julian Days-Technik bestimmt werden

Beitrag der Elliptizität der Trajektorie: es ist die Gleichung des Zentrums im Bogenmaß $C (M) = \ links (2e - {\ frac {1} {4}} e ^ {3} \ rechts) \ sin (M) + {\ frac {5} {4}} e ^ {2} \ sin (2M) + {\ frac {13} {12}} e ^ {3} \ sin (3M)$ wo ist die Exzentrizität der Bahn der Erde um die Sonne. $e = 0,01671$

Digitale Bewerbung:

C (M) = 1,9148 \ ^ {\ circ} \ sin (M) +0,0200 \ ^ {\ circ} \ sin (2M) +0,0003 \ ^ {\ circ} \ sin (3M) \ ,

Einfluss der Schiefe der Erde

Berechnung der ekliptikalen Länge $\ lambda _ {s} = 280,4665 \ ^ {\ circ} + 0,98564736 \ mal d + C,$ .

der kleine Unterschied in der Periode zwischen und M ist auf die Präzession der Tagundnachtgleichen zurückzuführen . $\ Lambda_ {s}$

Beitrag der Schiefe der Erde: es ist die Reduktion am Äquator (in Radiant) $R (\ lambda _ {s}) = (-y ^ {2}) \ sin (2 \ lambda _ {s}) + \ left ({\ frac {1} {2}} y ^ {4} \ right ) \ sin (4 \ lambda _ {s}) - \ left ({\ frac {1} {3}} y ^ {6} \ right) \ sin (6 \ lambda _ {s}) \,$ wo ; stellt die Neigung der Erdachse relativ zur Ebene der Ekliptik dar . $y = \tan (\epsilon / 2)$ $\ epsilon = {\ rm {23,43929 ^ {o}}}$

Digitale Bewerbung:

R (\ lambda _ {s}) = - 2.46569 \ ^ {\ circ} \ sin (2 \ lambda _ {s}) + 0,0530 \ ^ {\ circ} \ sin (4 \ lambda _ {s .) }) - 0,0014 \ ^ {\ circ} \ sin (6 \ lambda _ {s}) \,

Zeitgleichung

Zeitgleichung in Grad:

E (d) = C + R

, wobei C und R in Grad ausgedrückt werden.

Zeitgleichung in Minuten:

\ Delta T (d) = 4 \ mal E (d)

, wobei E in Grad ausgedrückt wird.

Erklärungen und Demonstration der Formel

Abbildung 1 zeigt die Erde, die sich um sich selbst dreht und sich in einem Jahr in der Ebene der Ekliptik um die Sonne dreht . Die dargestellte Situation entspricht dem Herbst. Der Punkt ist Perihel , erreicht Anfang Januar. Der Winkel wird als wahre Anomalie bezeichnet. Die Achse , auch Frühlingsachse oder Frühlingspunkt genannt , ist der Schnittpunkt der Ebene der Ekliptik mit der Äquatorialebene. Es wird als Ursprung für die Messung der ekliptischen Länge verwendet . $T$ $S$ $P$ $\ theta$ $\Gamma$ $\ Lambda_ {s}$

Abbildung 2 zeigt die Erde in einem festen Bezugssystem in Bezug auf die Sterne. Die Schiefe ist der Winkel zwischen der Ebene der Ekliptik und der Ebene des Äquators. $\ varepsilon$

Nennen wir die verstrichene Zeit. Betrachten Sie einen Punkt, der auf der Erde fixiert und auf dem Äquator positioniert ist. Es macht daher regelmäßig eine Umdrehung an einem siderischen Tag . $t$ $A \ links (t \ rechts)$

Ausgehend vom Erdmittelpunkt befindet sich der Punkt in Richtung der Sonne. Es liegt also auf dem Kreis der Ekliptik. Der Punkt geht in einem siderischen Jahr herum . $S \ links (t \ rechts)$ $S \ links (t \ rechts)$

Wie der Erdbahn elliptisch ist und nach auf die Keplerschen Gesetze , dreht sich nicht richtig. Betrachten Sie den durchlaufenden Meridian und nennen Sie den Schnittpunkt dieses Meridians mit dem Äquator. Beachten Sie, dass an dem Punkt, an dem der Punkt diesen Meridian schneidet, Sonnenmittag ist (z. B. wenn die Punkte und zusammenfallen). $S \ links (t \ rechts)$ $S \ links (t \ rechts)$ $B \ links (t \ rechts)$ $BEIM$ $A \ links (t \ rechts)$ $A \ links (t \ rechts)$ $B \ links (t \ rechts)$

Beachten Sie auch, dass ein echter Sonnentag die Zeit zwischen zwei Kreuzungen von und ist . Allgemeiner ausgedrückt ist die wahre Sonnenzeit der Winkel zwischen und : $A \ links (t \ rechts)$ $B \ links (t \ rechts)$ $A \ links (t \ rechts)$ $B \ links (t \ rechts)$

H _ {{V}} \ left (t \ right) = \ widehat {BA} = \ widehat {B \ gamma} + \ widehat {\ gamma A}

$H V}}$ ist die Zeit, die von einer Sonnenuhr angezeigt wird.

Um die mittlere Sonnenzeit zu bestimmen, muss man sich auf regelmäßige Bewegungen (gemittelt) beziehen. Wir haben gesehen, dass der Punkt eine regelmäßige Bewegung hat. Dies ist bei dem Punkt oder gar dem Punkt nicht der Fall . Stattdessen betrachten wir einen virtuellen Punkt auf der Ekliptik, der eine regelmäßige Bewegung hat und die gleiche Periode hat (wir werden sehen, dass dies direkt mit der mittleren Anomalie zusammenhängt ). $A \ links (t \ rechts)$ $B \ links (t \ rechts)$ $S \ links (t \ rechts)$ $S \ links (t \ rechts)$ ${\ Tilde {S}} \ links (t \ rechts)$ ${\ Tilde {S}} \ links (t \ rechts)$ $M \ links (t \ rechts)$

Daher ist die mittlere Sonnenzeit:

H_{{M}}\links (t\rechts) = \widehat{{\tilde{S}}\gamma} + \widehat{\gamma A}

Per Definition ist die Zeitgleichung der Unterschied:

E \ left (t \ right) = H _ {{M}} - H_ {{V}} = \ widehat {{\ tilde {S}} \ gamma} + \ widehat {\ gamma B}

Nun ergibt eine Trigonometriebeziehung:

\ tan \ left (\ widehat {\ gamma B} \ right) = \ cos \ varepsilon \ tan \ left (\ widehat {\ gamma S} \ right)

Lassen Sie uns vom Erdmittelpunkt aus das kugelförmige Dreieck auf der Tangentialebene auf die Erde im Frühlingspunkt projizieren . Es wird ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel an der Spitze und angrenzender Seite und Hypotenuse . Wir leiten die Beziehung ab . $S \ gamma B$ $\Gamma$ $\ varepsilon$ $\Gamma$ $a = \ tan (\ widehat {\ gamma B})$ $h = \ tan (\ widehat {\ gamma S})$ $a = h \ cos \ varepsilon$

Wir folgern:

\ tan \ left (\ widehat {\ gamma {\ tilde {S}}} + E \ right) = \ cos \ varepsilon \ tan \ left (\ widehat {\ gamma S} \ right)

und der Ausdruck der Zeitgleichung:

E \ left (t \ right) = - \ widehat {\ gamma {\ tilde {S}}} + \ arctan \ left (\ cos \ varepsilon \ tan \ left (\ widehat {\ gamma S} \ right) \ right )

Bemerkungen

In dieser letzten Gleichung ist alles bekannt. Aus Abbildung 1 geht einerseits hervor, dass der Winkel mit der ekliptischen Länge um $\ Widehat {\ gamma S}$ $\lambda_{{s}}$ $\ widehat {S \ gamma} + \ lambda _ {{s}} = (\ widehat {\ overrightarrow {TS}, \ gamma}) + (\ widehat {\ gamma, \ overrightarrow {ST}}) = \ pi$

und selbst in Bezug auf die wahre Anomalie durch , wo ist die Länge des Perihel. Deshalb $\lambda_{{s}}$ $\ theta \ links (t \ rechts)$ $\ lambda _ {{s}} = \ theta + \ overline {\ omega}$ $\ überstreichen {\ omega}$

{\ begin {Matrix} \ widehat {\ gamma S} & = & \ theta \ left (t \ right) + \ overline {\ omega} - \ pi & \ simeq & \ theta \ left (t \ right) +102,94 \ ^ {\ circ} \ end {matrix}}

Ähnlich verhält es sich mit der mittleren Anomalie um $\widehat{\gamma{\tilde{S}}}$ $M \ links (t \ rechts)$

\ widehat {\ gamma {\ tilde {S}}} = M \ left (t \ right) + \ overline {\ omega} - \ pi

Traditionell teilen wir es wie folgt auf: $Und)$ $E \ left (t \ right) = \ underbrace {\ left (\ widehat {\ gamma S} - \ widehat {\ gamma {\ tilde {S}}} \ right)} _ {{C}} + \ underbrace { \ left (- \ widehat {\ gamma S} + \ arctan \ left (\ cos \ varepsilon \ tan \ left (\ widehat {\ gamma S} \ right) \ right) \ right)} _ {{R}}$ .

Der erste Term wird als "Beitrag der Elliptizität" oder Gleichung des Zentrums bezeichnet . Wir haben: . ist auf die Elliptizität der Erdbahn zurückzuführen. In einem Modell, in dem die Erde eine kreisförmige und regelmäßige Bewegung hätte, hätten wir und nur der zweite Term , genannt Reduktion am Äquator und aufgrund der Schiefe , würde eingreifen. Beachten Sie, dass dieser letzte Term null wäre , wenn wir (die Sonne ständig in der Ebene des Äquators) hätten. $VS$ $C = \ left (\ widehat {\ gamma S} - \ widehat {\ gamma {\ tilde {S}}} \ right) = \ theta \ left (t \ right) -M \ left (t \ right)$ $VS$ ${\tilde{S}} = S$ $R$ $\ varepsilon$ $\ varepsilon = 0$

Mit einer begrenzten Erweiterung und Einstellung von kann der obige Äquatorreduktionsterm geschrieben werden $y = \ tan {\ frac {\ varepsilon} {2}} \ simeq 0.20$

{\ begin {aligned} R & = & \ arctan \ left (\ cos \ varepsilon \ tan \ left (\ widehat {\ gamma S} \ right) \ right) - \ widehat {\ gamma S} \\ & = & \ arctan \ left (\ cos \ varepsilon \ tan \ left (\ lambda _ {{s}} - \ pi \ right) \ right) - \ left (\ lambda _ {{s}} - \ pi \ right) \ \ & = & - \ arctan \ left ({\ frac {\ sin \ left (2 \ lambda _ {{s}} \ right) y ^ {{2}}} {1 + y ^ {{2}} \ cos \ left (2 \ lambda _ {{s}} \ right)}} \ right) \\ & \ simeq & -y ^ {{2}} \ sin \ left (2 \ lambda _ {{s}} \ rechts) + {\ frac {1} {2}} y ^ {{4}} \ sin \ left (4 \ lambda _ {{s}} \ right) - {\ frac {1} {3}} y ^ { {6}} \ sin \ left (6 \ lambda _ {{s}} \ right) + \ ldots \\\ end {aligned}}

Hinweise und Referenzen

In den Astronomical Ephemeris, herausgegeben von der Astronomical Society of France , ist der Wert der Zeitgleichung für jeden Tag des Jahres bei 0 Uhr Weltzeit angegeben .
Caillemer und Le Cocq 1983 , Kap. 2 , § 4 , S. 2 . 24.
Siehe die Definition des „Institute of Celestial Mechanics and Ephemeris Calculation“ (Paris Observatory - Bureau des longitudes - CNRS) Wahre Zeit, mittlere Zeit, Zeitgleichung .
Siehe die Definition von Laplace in seinem Buch Exposition of the world system - Book One, Kapitel 3 , Ende von §3.
Diagramm erstellt anhand von Höhen- und Azimutdaten, die von der JPL Horizons- Website bereitgestellt werden
Ein ähnliches Diagramm finden Sie auf der Website [1]
Anaximanders Analemma an Ptolemäus
J. Meeus und D. Savoie (vgl. Bibliographie).
Inspiriert vom Abschnitt "Die Sonne bewegt sich nicht in der Ebene des Äquators" der Seite http://freveille.free.fr/Equation_du_temps.html

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

Externe Links

Literaturverzeichnis

Pierre-Simon de Laplace , Ausstellung des Systems der Welt
Jean Meeus und Denis Savoie, L'Équation du temps , in der Zeitschrift L'Astronomie , vol. 109,Juni 1995, pp. 188-193.
[Alhalel 2001] Thierry Alhalel , „ Der Unterschied zwischen mittlerer Sonnenzeit und wahrer Sonnenzeit: die Zeitgleichung “, Bulletin der Vereinigung der Physiker , vol. 95, n o 838 (1),November 2001, s. 1557-1577 ( Zusammenfassung , online lesen ).
[Sanfrè 2007] Béatrice Sanfrè " Die Zeitgleichung ", Les Cahiers Clairaut , n o 119,Herbst 2007( Zusammenfassung , online lesen ).
[Caillemer und Le Cocq 1983] André Caillemer und Catherine Le Cocq , Positionsastronomie, Geodäsie , Paris, Technip, Coll. "Publikationen des Französischen Erdölinstituts / Nationale Schule für Erdöl und Motoren / Zentrum für Höhere Studien in geologischer und geophysikalischer Prospektion",1983, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1971), 1 Vol. , 264- [1] p. , krank. , 24 cm ( ISBN 2-7108-0439-5 , EAN 9782710804390 , OCLC 300.395.015 , Ankündigung BnF n o FRBNF34716757 , SUDOC 005.732.190 , online lesen ).