In der Mathematik , insbesondere in der algebraischen Geometrie und Zahlentheorie , ist eine Bewertung oder Krull- Bewertung ein Maß für die Multiplizität. Der Begriff ist eine Verallgemeinerung des Begriffs des Grades oder der Reihenfolge der Aufhebung eines formalen Polynoms in der Algebra , des Grads der Teilbarkeit durch eine Primzahl in der Zahlentheorie , der Reihenfolge eines Pols in der komplexen Analyse oder der Anzahl der Kontaktpunkte zwischen zwei algebraischen Varietäten in algebraischer Geometrie .
Genannt eine Bewertung der Anwendung einer kommutativen Ring Einheit ungleich Null zu einer abelschen Gruppe bestellte völlig Vereinigung der unendlichen
Hiermit werden die folgenden Eigenschaften überprüft:
Anmerkungen:
Zwei Bewertungen v und v ' für A gelten als äquivalent, wenn ein Isomorphismus geordneter Halbgruppen vorliegt
Wenn die Gruppe G ℤ ist, wird v als Dedekind- Bewertung oder diskrete Bewertung bezeichnet . Zwei diskrete Bewertungen v und v ' für A sind genau dann äquivalent, wenn sie proportional sind , d. H. Wenn ein rationales k ungleich Null existiert, so dass
Die Äquivalenzklassen diskreter Bewertungen eines Rings werden als seine Orte bezeichnet .
Bewertung
wird triviale Bewertung genannt .
Sei A ein einheitlicher kommutativer Ring ungleich Null, der mit einer Bewertung v ausgestattet ist . So :
Die Orte von ℚ, d. H. Die diskreten Bewertungen von ℚ bis zu einem Proportionalitätsfaktor, sind diejenigen von:
Sei v eine Bewertung von A mit reellen Werten und ρ ∈] 0, 1 [. Wir assoziieren mit v einen ultrametrischen Absolutwert (der Begriff des Absolutwerts wird normalerweise auf einem Feld definiert, ist aber auf jedem Ring perfekt definierbar und induziert immer einen Abstand auf seiner zugrunde liegenden Menge; siehe unten) | ∙ | v durch Posieren
.Der mit diesem Absolutwert ( ) verbundene Abstand macht A zu einem topologischen Ring, dessen Topologie aus einem ultrametrischen Abstand abgeleitet wird .
Wenn A ein Feld ist, dann ist es ein Wertfeld, daher ist sein ausgefüllter Ring (für ) ein vollständig bewertetes Feld. Durch die Verlängerung der Ungleichungen ist der Absolutwert dieses Komplements immer noch ultrametrisch. Zum Beispiel können die Felder ℚ p und k (( T )) durch diese Konstruktion erhalten werden.
Die folgenden Anwendungen sind Bewertungen.
Lassen K ein Feld sein, K [ X ] der Ring von Polynomen mit Koeffizienten in K und weist ein Element K . Wir definieren den Antrag "Stornierungsauftrag in einem "
welches einem Nicht-Null- Polynom P die Reihenfolge der Multiplizität der Wurzel a in P zuordnet (Reihenfolge, die gleich 0 ist, wenn a keine Wurzel ist, und unendlich, wenn P Null ist).
Wenn P nicht Null ist, ist v a ( P ) gleich dem Grad des kleinsten Nicht-Null- Monoms von P ( a + X ) .
Anmerkung: Wenn a zu einer Erweiterung L von K gehört (zum Beispiel zum algebraischen Abschluss von K ), ist die Bewertung v a auf L [ X ] auf eine Bewertung auf K [ X ] beschränkt.
Lassen K ein Feld, sein K ( X ) der Körper von rationalen Funktionen mit Koeffizienten in K und weist ein Element K . Wir definieren die Anwendung
was einem rationalen Bruch die Differenz der Löschreihenfolgen des Zählers und des Nenners in a zuordnet . Wenn v ( R ) positiv ist, ist es die Reihenfolge der Aufhebung von R bei a , wenn v ( R ) streng negativ ist, ist es die Reihenfolge des Pols von R bei a .
Lassen K ein Feld und seine K [ X ] der Ring von Polynomen mit Koeffizienten in K . Wir definieren die Anwendung
was zu einem Polynom P das Gegenteil seines Grades assoziiert , mit der Konvention, dass der Grad des Nullpolynoms –∞ ist .
Auf dem Feld k (( T )) der formalen Laurent-Reihe über einem kommutativen Feld k haben wir eine Bewertung, indem wir alle Laurent-Reihen mit ihrer Reihenfolge verknüpfen.
Wenn U eine zusammenhängende nicht leere offene Menge des Feldes komplexer Zahlen ist und a ein Punkt von U ist , haben wir eine Bewertung über das Feld meromorpher Funktionen auf U, indem wir jeder meromorphen Funktion ihre Reihenfolge an Punkt a zuordnen .
Für p eine Primzahl definieren wir die Anwendung
was zu einer ganzen Zahl n den Exponenten von p in der Primfaktorisierung von n mit der Konvention v p (0) = ∞ assoziiert . Die Karte v p heißt p- adische Bewertung auf ℤ und setzt sich auf dem Feld der Brüche ℚ fort. Diese Bewertungs definieren den absoluten p -adic Wert , für die die Beendigung der q ist das Feld q p von p -adic Zahlen .
Sei K ein kommutatives Feld, das mit einer Bewertung v ausgestattet ist . Die Elemente von K mit positiver oder Nullbewertung bilden einen Teilring R , der als Bewertungsring bezeichnet wird und der Bewertung v auf K zugeordnet ist :
.Der Körper der Fraktionen von R ist K .
Wir haben v (1 / x ) = - v ( x ) für jedes Nicht-Null-Element x von K , und daher ist x genau dann ein invertierbares Element von R, wenn v ( x ) = 0. Daher ist R ein Ring lokal, dessen einzigartiges maximales Ideal M aus den Elementen einer streng positiven Bewertung besteht:
.Zum Beispiel (für die üblichen Bewertungen in diesen Feldern) ist der Bewertungsring von ℚ p ℤ p und der von k (( T )) (wobei k ein kommutatives Feld bezeichnet) k [[ T ]]. Diese beiden Beispiele sind ebenfalls diskrete Bewertungsringe .
Es gibt verschiedene Charakterisierungen von Bewertungsringen:
Sei R ein ganzzahliger Ring und K sein Bruchfeld . Die folgenden Bedingungen sind gleichwertig:
Zwei Bewertungen v und v ' auf K sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Bewertungsring haben.
Für jeden Bereich k und jede völlig geordnete abelschen Gruppe G existiert ein geschätztes Feld ( K, v ) , deren Gruppe von Aufträgen ist G und dessen Restfeld R / M ist k .